广西南宁三中2015届高三第二次月考数学(理)试题

出题人：邹信武  审题人：韦国亮           

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1. 设集合则＝(　　)

A．(－2，1]              B．(－∞，－4]

C．(－∞，1]              D．[1，＋∞)

2．复数（为虚数单位）的模是（   ）

A.                B.               C.5                D.8

3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则＝(　　)

A.                 B.           C．2          D．10

4．设为两个不同平面，m、 n为两条不同的直线，且有两个命题：

P：若m∥n,则∥；q：若m⊥, 则⊥. 那么（   ）

A．“或q”是假命题               B．“且q”是真命题  

C．“非p或q”是假命题            D．“且q”是真命题

5．如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图

均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如

图，则该几何体的全面积为（   ）

A．2+3    B．2+2   

C．8+5    D．6+3 

6．有两个等差数列，她们的前n项和分别为

若，则（    ）

A．         B．          C．        D．

7．执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．－1        B.              C.             D．4

8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)

A．3             B．2                C．             D．

9．若函数在上单调递减，则可以是(    )

A．1           B．         C．       D． 

10．如图，正方形街道，已知小白从出发，沿着正方形边缘匀速走动，小白与连线扫过的正方形内阴影部分面积是时间的函数，这个函数的大致图像是（   ）

11. 设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为(    )  

A.           B.            C.           D. 

12．小白散步后不慎走丢了，家里很着急，小新和阿呆等6人分配到A,B,C三条街道中寻找，每条街道至少安排1人，其中小新和阿呆同组，且小新不能分配到A街道，则不同的分配方案有（    ）种

A．132         B150．           C．80             D．100

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共四小题，每题5分。

13．在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△PBC的面积小于的概率是           ．

14. 如图, 在中,,是边上一点,

,则的长为          . 

15．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为             

16．已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数a的取值范围是             

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，且是和的等差中项，等差数列满足，.

（1）求数列、的通项公式；  

（2）设，数列的前项和为，证

18．（本小题满分12分）

小白被“老大”找到了！小伙伴们喜大普奔啊有木有！为了答谢“老大”，小新他们决定帮助“老大”做一件事，就是调查双叶幼稚园小朋友在20：00～21：00时间段在做什么？最后小新等做成了下面的数据表：

　 　休闲方式

(2)根据以上数据，吉永老师能否有99%的把握认为“在20：00～21：00时间段的休闲方式与性别有关系”？

参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

参考数据：

如图，在三棱锥中，，，°，

平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：；（2）求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C方程为，已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点

（1）若直线ＡＢ的斜率为，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；

（2）当Ａ、B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。

21．(本小题满分12分)

已知函数， 

（1）证明： 

（2）证明： 

22．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知，求证： 

南宁三中2015届第二次月考理科数学参

1.C.  ∵∁RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，∴(∁RS)∪T＝{x|x≤1}．故选C.

2.A.   ,

3.B.   ∵a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，2y＋4＝0，则x＝2，y＝－2.∴a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．∴＝＝.故选B.

4.D.    p为假，q为真，故选D

5.A.    

6.A.    

7.D.    根据程序框图计算得S＝4，i＝1；S＝－1，i＝2；S＝，i＝3；S＝，i＝4；S＝4，i＝5，由此可知S的值呈周期出现，循环周期为4，所以i＝9时与i＝5时输出的值相同.

8.B    易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．

因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2.

9.C.    根据y=cosx的图像，A、B显然不成立，C答案，，在上递减，故选C。

10.A. 设小白速度为v，则在OB段时，t时刻的面积，面积成匀速变化，故导数图像为线段，同理，BC段也是线段。 

11.C. 设，不妨设，故，又由假设得是最小角，故

，即

，则

12.D  小新和阿呆同组，可将他们看成1个单位，故总体个数为5，则可分为3-1-1，2-2-1两种情况，则

13.如图，在当点落在EF线段上时，，故P落在

阴影部分时符合条件。

14.由正弦定理：

15. 3. 如图可得阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域，而直线ax－y＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，

若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC，因为△ABC的点A和B的坐标分别为A(0，1)和B(1，0)，且S△ABC＝2，设点C的坐标为C(1，y)，则×1×y＝2⇒ y＝4，将点C(1，4)代入ax－y＋1＝0得a＝3. 

16.依题意得，如图，当时，，设，则，而图像如图，故

17. （1）∵是和的等差中项，

∴                           

当时，，∴                                   

当时，， 

∴，即                                

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，

∴，                                          

设的公差为，，，∴                 

∴                    

（2）                   

  ∴   

∴数列是一个递增数列      ∴. 综上所述，       ……………12分  

18. (1)依题意，随机变量X的取值为：0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为p＝.

方法一：P(X＝0)＝C ()3＝，P(X＝1)＝C ()2()＝，

P(X＝2)＝C ()()2＝，P(X＝3)＝C ()3＝.

∴X的分布列为：

方法二：根据题意可得X～B(3，)，∴P(X＝k)＝C ()3－k()k，k＝0,1,2,3.

∴E(X)＝np＝3×＝.

(2)提出假设H0：休闲方式与性别无关系，

根据样本提供的2×2列联表得，故没有99%的把握认为“在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别有关系”

19、（1）连结PD，

PA=PB，

 PD  AB．                   

，BC  AB，

DE AB．                       

又 ，

AB平面PDE                   

PE平面PDE，

ABPE ．                    

（2）法一：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．

则DE PD,又ED AB， PD平面AB=D

DE平面PAB,

过D做DF垂直PB与F，连接EF，则EF  PB

∠DFE为所求二面角的平面角

则：DE=，DF=，则，故二面角的大小为

法二：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，PD平面ABC．

如图，以D为原点建立空间直角坐标系

 B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0) ，

=(1，0， )，=(0， ， ）． 

设平面PBE的法向量，

令

得．                  

DE平面PAB，

平面PAB的法向量为． 

设二面角的大小为，

由图知，，所以即二面角的大小为

20、（1）设（，），B（，），直线AB的方程为，代入

中整理得，△＞0－4＜＜4，+=，=

四边形APBQ的面积=，当时

（2）当＝时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为，则PB的斜率为－，PA的直线方程为，代入中整理得

+=0，2+=，

同理2+=，+=，－=，

从而=，即直线AB的斜率为定值.

21. （1）令  

，          （1分）

令，     

，         （4分）

，    （5分）

故。    （6分）

（2）由（1），得    （7分）

令，故      （9分）

    （11分）

即

则成立。    （12分）

22.依题意得：