基于加窗插值FFT算法的间谐波检测方法研究

现　代　电　力

Ｍｏｄｅｒｎ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ

Ｖｏｌ．２９　Ｎｏ．５

Ｏｃｔ．２０１２

文章编号：１００７－２３２２（２０１２）０５－００２８－０４文献标识码：Ａ中图分类号：ＴＭ７１１

基于加窗插值ＦＦＴ算法的间谐波检测方法研究

王晓亮，李　娜

（山东大学电气工程学院，山东济南　２５００６１）

Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　Ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　Ｕｓｉｎｇ　Ｗｉｎｄｏｗｓ　ａｎｄ

Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ＦＦＴ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ

ＷＡＮＧ　Ｘｉａｏｌｉａｎｇ，ＬＩ　Ｎａ

（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ　２５００６１，Ｃｈｉｎａ）

摘　要：电网中间谐波的存在，会对电能质量以及供电可靠性带来不利影响，故准确检测间谐波对电力系统稳定运行意义重大。根据间谐波特性，在一般ＦＦＴ算法基础上，提出了基于加窗插值ＦＦＴ算法的间谐波检测方法。通过分析对比不同窗函数的特点，选取检测精度较高的Ｈａｎｎｉｎｇ窗作为所加分析窗，同时确定所加窗函数的宽度及采样周期，可准确检测出系统中的谐波及间谐波。在ＭＡＴＬＡＢ环境下仿真得到一般ＦＦＴ算法及加窗插值ＦＦＴ算法对谐波和间谐波的检测结果，通过对所得频率和幅值估计结果的对比分析可知，加窗插值ＦＦＴ算法检测精度更高、实用性更强。

关键词：间谐波；傅里叶变换；快速傅里叶变换；加窗插值Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ｉｎ　ｐｏｗｅｒ　ｇｒｉｄ　ｍａｙ　ｃａｕｓｅ　ｎｅｇ－ａｔｉｖｅ　ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ　ｏｎ　ｐｏｗｅｒ　ｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　ｐｏｗｅｒ　ｓｕｐｐｌｙ　ｒｅｌｉａｂｉｌｉ－ｔｙ，ｓｏ　ｔｈｅ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｄｅｔｅｃｔｉｎｇ　ｏｆ　ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ｉｓ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔｆｏｒ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｌｅ　ｏｐｅｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｗｅｒ　ｓｙｓｔｅｍ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ　ｔｏｔｈｅ　ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ，ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ＦＦＴ　ａｌｇｏ－ｒｉｔｈｍ，ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ＦＦＴ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｔｏ　ｄｅｔｅｃｔｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ．Ｔｈｒｏｕｇｈ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｗｉｎｄｏｗ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ，Ｈａｎｎｉｎｇ　ｗｉｎｄｏｗ　ｉｓ　ｓｅｌｅｃｔｅｄａｓ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｗｉｎｄｏｗ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｗｉｎｄｏｗ－ｌｅｎｇｔｈ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｓａｍ－ｐｌｉｎｇ　ｐｅｒｉｏｄ　ａｒｅ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ，ｗｈｉｃｈ　ｃａｎ　ｄｅｔｅｃｔ　ｈａｒｍｏｎｉｃｓａｎｄ　ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．Ｂｅｓｉｄｅｓ，ＦＦＴ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｎｄｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ＦＦＴ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ａｒｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ＭＡＴＬＡＢ．Ｂｙｃｏｎｔｒａｓｔｉｎｇ　ａｎｄ　ａｎａｌｙｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ，ｉｔ　ｃａｎ　ｂｅ　ｓｅｅｎ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｗｉｎｄｏｗｓ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｐｏ－ｌａｔｅｄ　ＦＦＴ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｃａｎ　ｄｅｔｅｃｔ　ｈａｒｍｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎ－ｉｃｓ　ｏｆ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｓｉｇｎａｌ　ｍｕｃｈ　ｍｏｒｅ　ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ．

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｒ－ｈａｒｍｏｎｉｃｓ；Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ＦＦＴ；ｗｉｎ－ｄｏｗｓ　ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ　ＦＦＴ

０　引　言

随着大量非线性电气设备的引入，电力系统谐

波和间谐波污染日渐严重。谐波／间谐波不仅会对电能造成严重的污染，增加能量损失，而且会降低电力系统的供电可靠性［１］。由于数字化处理过程的某些局限性以及间谐波本身的隐蔽性，使间谐波的检测比谐波检测更加困难。

目前，对间谐波的检测已有较多研究，基于傅里叶变换的间谐波检测方法［２－３］、基于信号模型的间谐波信号检测方法［４］、基于小波理论的检测方法［５］以及基于最小二乘法的间谐波检测算法［６］均为有效方法，其中基于傅里叶变换及其改进方法对间谐波检测精度较高。文献［２］提出了ＦＦＴ算法的一种改进算法———双峰谱线修正算法，并推导出几种常用窗函数的近似公式。文献［３］为减小非同步采样的影响，提出了基于Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（ＩＩＩ）窗插值算法的间谐波参数估计方法，分析和推导了基于Ｒｉｆｅ－Ｖｉｎｃｅｎｔ（ＩＩＩ）窗的间谐波频率、幅值的估计公式，并通过仿真验证了该方法的精确性。文献［７］分析讨论了多种窗函数的选取规则并推导了各种分析窗的近似宽度公式，最后通过仿真，验证了其可靠性。文献［８］提出基于三次样条函数的Ｂｌａｃｋ－ｍａｎ－ｈａｒｒｉｓ窗插值ＦＦＴ算法的检测方法。

本文在一般ＦＦＴ算法基础上，分析对比不同窗函数对间谐波检测的影响，选择合适的窗函数，提出了加窗插值ＦＦＴ算法的间谐波检测算法，并仿真验证了该算法的精确性。

１　ＦＦＴ算法及其改进算法原理

１．１　ＤＦＴ及ＦＦＴ算法

为方便信号处理，实现谐波间谐波分析，常用方法为离散傅里叶变换（ＤＦＴ）。

在满足采样定理的条件下，可以将一个连续信号ｆ（ｔ）采样得到离散信号ｆ（ｎ），对此离散信号进行傅里叶变换即得离散傅里叶变换。

设序列ｆ（ｎ）长度为Ｎ，当ｎ≤０或ｎ≥Ｎ时，ｆ（

ｎ）＝０，则ｆ（ｎ）的ＤＦＴ为ｆ（

ｋ）＝∑Ｎ－１

ｎ＝０

ｆ（

ｎ）Ｗｎｋ

Ｎ（１

）式中：ＷＮ＝ｅ

－ｊ

（２π／Ｎ）。

为克服ＤＦＴ算法在运算中的缺陷，提出快速傅里叶算法（ＦＦＴ）。根据ＷＮ的周期性（ＷｋＮ＝

Ｗｋ＋ＮＮ）和对称性（ＷｋＮ＝－Ｗｋ＋Ｎ／２

Ｎ

），把一个Ｎ项序列（设Ｎ＝２ｋ，ｋ为正整数），分为两个Ｎ／２项的子序列，每个Ｎ／２点ＤＦＴ变换需要（Ｎ／２）

２

次运算，再用Ｎ次运算把两个Ｎ／２点的ＤＦＴ变换组合成一

个Ｎ点的ＤＦＴ变换。该算法可大大提高计算速度且不影响运算精确度。１．２　选取窗函数

一般ＦＦＴ算法可检测谐波信号，但对含有间谐波分量的信号，由于采样的非同步性使得谐波／间谐波的频谱相互干扰，产生频谱泄露和栅栏效应，难以准确检测出谐波／间谐波分量

［９－

１０］。为精

确检测谐波和间谐波，可通过加窗插值算法进行修正，较简单的方法为加矩形窗对信号进行截断，但精确度较低。加矩形窗后主频对旁瓣的泄漏最大达－１３ｄＢ，对远隔２～１０次旁瓣的泄漏大约为－

３０ｄＢ［７］

，可能将间谐波的频谱完全淹没，为在较大程度上减小上述情况的频谱泄露，可增加窗函数的宽度，但计算量会随之增加。实际中更实用的是Ｈａｎｎｉｎｇ窗、Ｈａｍｍｉｎｇ窗、Ｂ

ｌａｃｋｍａｎ窗等几种窗函数［

２］

。常用的窗函数中，Ｈａｎｎｉｎｇ窗的旁瓣最大泄漏为－３１ｄＢ，对远隔旁瓣以－６ｄＢ／个的速度下降；Ｈａｍｍｉｎｇ窗旁瓣最大泄露是－４

２ｄＢ，对远隔旁瓣以－２ｄＢ／个速度下降。这两种窗的主瓣宽度为矩形窗的２倍，对邻近的谐波／间谐波泄露较严重，故分析窗宽度应是信号周期的两倍以上。Ｂｌａｃｋｍａｎ窗旁瓣最大泄露为－５８ｄＢ，对远隔旁瓣以－６ｄＢ／个速度下降，由于该窗主瓣宽度为矩形窗的３倍，对邻近的一、二次谐波泄露十分严重，故分析窗宽度应是信号周期的３倍以上。同时，应进一步增加分析窗的宽度，才能使检测结果更加精确。

假设所用窗函数的主瓣宽度是Ｍ×２πＮ

（Ｍ

为与所加窗函数有关的系数，Ｎ为加窗宽度），旁瓣最大泄露为Ａ１（ｄＢ），衰减的速度是Ｄ（ｄＢ／个），若距离谐波１／Ｂ信号周期的间谐波与该谐波的频率分辨率要求是ΔＡ（ｄＢ）

，则分析窗的宽度应是ｄ＝（Δ

Ａ－Ａ１）×Ｂ／Ｄ＋Ｍ＋０．５（２）　　根据各种窗函数对频谱的影响分析，Ｂｌａｃｋｍａｎ窗函数的旁瓣衰减最大，计算量也相对较大，实际应用较少。Ｈａｍｍｉｎｇ窗与Ｈａｎｎｉｎｇ窗相比较，虽

然其旁瓣衰减最大，但随旁瓣增加其衰减速度反而减小。综合比较，加Ｈａｎｎｉｎｇ窗进行快速傅里叶变换的算法计算量较小，且有较好地抑制频谱泄漏的作用。

２　加Ｈａｎｎｉｎｇ窗Ｆ

ＦＴ算法原理根据ＤＦＴ的性质，加Ｈａｎｎｉｎｇ窗ＦＦＴ算法检测间谐波精确度较高。对任意未知的电号，满足采样定理的前提下，可按式（２）选择Ｈａｎｎｉｎｇ窗

的宽度，进行加窗插值修正。

加Ｈａｎｎｉｎｇ窗ＦＦＴ算法，即在一般ＦＦＴ算法基础上，对有限长度的信号进行加Ｈａｎｎｉｎｇ窗截断，通过选取合适的采样周期及采样点数，对加窗截断后的信号进行ＦＦＴ变换后，可得到信号的频谱，根据频谱分析及频率和幅值的推导公式，进而可得到信号所含的谐波／间谐波频率及幅值。由文献［２］中Ｈａｎｎｉｎｇ窗的时域表达式可得其ＤＴＦＴ表达式：ｗＨ（ｎ）＝０．５－０．５ｃｏｓ２πｎＮ

，ｎ＝０，１，２，…，Ｎ－１

ＷＨ（ｅｊω）＝ＷＨ（ω）

ｅ－ｊ

ω（Ｎ－１）／Ｎ（３）ＷＨ（ω）＝０．５ＷＲ（ω）＋

０．２５　

ＷＲ（ω－２πＮ－１）＋ＷＲ（ω＋２πＮ－１

［］

）（４

）

　　若第ｈ次谐波／间谐波信号表达式为

ｘｈａ（

ｔ）＝Ａｈｅｊ（２πｆｈｔ＋φｈ）（５）　　该谐波信号经过加Ｈａｎｎｉｎｇ窗截断以后得到

的序列为

ｘｈ（ｎ）＝ｘｈａ（

ｎＴｓ）ｗＨ（ｎ），ｎ＝１，２，…，Ｎ（６）式中：ｘｈａ（ｎＴｓ）为ｘｈａ（ｔ）的无限长采样序列；Ｔｓ为采样周期；ｆｓ＝１Ｔｓ

为采样频率；ｗＨ（ｎ）为所加Ｈａｎｎｉｎｇ窗；Ｎ为采样点数；ｆｈ为谐波频率。　　无限长采样序列的频谱即为

ｘｈａ（ｅｊω）＝２πδ（ω－ωｈ）

ｅｊωｈ（７

）９

２第５期王晓亮等：基于加窗插值ＦＦＴ算法的间谐波检测方法研究

式中：ωｈ＝２πｆｈ／ｆｓ。

由傅里叶变换的性质可知，加窗截断所得采样序列ｘｈ（

ｎ）的ＤＴＦＴ结果为ｘｈ（

ｅｊ

ω）＝１２π

∫

π

－π

ｘｈａ（

ｅｊθ）ＷＨ［ｅｊ

（ω－θ）］ｄθ＝ＷＨ（ω－ωｈ）

ｅｊ［φｈ－Ｎ－１ω

］（８）　　设该次谐波或间谐波信号对应采样序列的离散频点是

ｋｈ＋δｈ＝

Ｎｆｈ

ｆｓ

（９

）式中：ｋｈ是整数，０≤δｈ≤

１，同时考虑采样点数Ｎ一般较大，则可推得谐波或间谐波的幅值估计公式

为

Ａｈ＝｜ｘｈ（ｅｊω）｜ω＝ｋｈ２πＮ×２πδｈ（１－δ２

ｈ）ｓｉｎ（πδｈ）

（１０）式中：δｈ＝２βｍ－１１＋βｍ，βｍ＝｜ｘｈ（ｅｊω）｜ω＝（ｋｈ＋１）２πＮ｜ｘｈｅｊω｜ω＝ｋｈ２πＮ

。频率近似公式为

ｆｈ＝ｆｓ（ｋｈ＋δｈ）

／Ｎ（１１）　　由于Ｈａｎｎｉｎｇ窗对旁瓣衰减较大，对有限长

度的信号采样截断时，可在很大程度上减小频谱泄露及栅栏效应，加窗截断后频域分析可分清各种频率信号的频谱，且彼此间相互泄露小，克服了ＦＦＴ算法的缺点，能较精确检测出各次谐波／间谐波参数。

根据推导所得的谐波

／间谐波幅值、频率的近似公式，可由频谱分析求得电号中的各次谐波／间谐波对应的频率及幅值大小，精确度相对较高。

３　仿真结果及分析

对于工频信号，设定其中所含谐波／间谐波如表１所示，在ＭＡＴＬＡＢ中采用一般ＦＦＴ算法及

加窗插值ＦＦＴ算法对谐波／间谐波进行仿真检测。对比分析两种方法对间谐波频率及幅值检测的精确性。

由式（１０）、（１１）得到谐波／间谐波的频率和幅值估计结果，如表２和表３所示。对比分析可知，一般ＦＦＴ算法无法检测出靠近基波的间谐波，基波频点和谐波频点会将间谐波的频点完全淹没，而无法准确得到间谐波的估计值，该方法对于含有间谐波的信号检测精确度不够，偏差较大。加Ｈａｎ－ｎｉｎｇ窗Ｆ

ＦＴ算法克服了间谐波频谱易被相邻的基波或谐波频谱淹没的缺点，同时各频谱间的干扰大

大降低，产生的相互泄露较小，不仅降低谐波检测的误差，还可较准确检测出电网中所含的间谐波，检测所得频率偏差维持在０．０６％之内，幅值偏差基本都维持在０．１％左右，精确度较高，可应用于工程实际。

表１　谐波／间谐波参数设置

表２　一般ＦＦＴ与加Ｈａｎｎｉｎｇ窗Ｆ

ＦＴ算法的谐波／间谐波频率估计对比

波形

频率设定值／Ｈｚ一般ＦＦＴ

加窗插值ＦＦＴ

频率估计值／Ｈｚ偏差／％

频率估计值／Ｈｚ

偏差／％间谐波３０　０　

１００　２

９．９９７－０．０１谐波５０　５０．１２　０．２４　５０．０３　０．０６间谐波７５　０　１００　

７５．０２　

０．０２７谐波１５０　１４９．２５

－０．５　１

４９．９９－０．００６　７间谐波１６０　１６０．３５　０．２２　１６０．０９　０．０５６间谐波２３０　２２８．９１－０．４７　２２９．９８－０．００８　７谐波２５０　２５０．５２　０．２１　２５０．０２　０．００８谐波

３５０　

３５１．３５　０．３９　３５０．０９　

０．０２６

表３　一般ＦＦＴ与加Ｈａｎｎｉｎｇ窗Ｆ

ＦＴ算法的谐波／间谐波幅值估计对比波形

幅值设定值／Ｖ一般ＦＦＴ

加窗插值ＦＦＴ

幅值估计／Ｖ偏差／％幅值估计／Ｖ偏差

／％间谐波０．５　０　１００　０．４９９　７　０．０６谐波１００　１００　０　

１００　

０

间谐波０．５　０　

１００　０．５００　５　０．

１０谐波１０　１０．１７　１．７０　９．９９０　７　０．０９间谐波０．２　０　１００　０．２００　１　０．０５间谐波０．１　０　

１００　０．０９９　９　０．

１０谐波３　３．０００　６　０．２０　２．９９６　９　０．１１间谐波

１　

０．９９４　８　０．５２　０．９９８　８　０．

１２０

３现　代　电　力　　　２

０１２年

根据间谐波特性，在傅里叶变换的基础上引入了计算量较小的ＦＦＴ算法，为了提高检测精度，提出了ＦＦＴ的改进算法———加窗插值ＦＦＴ算法。同时，选取计算量较小且抑制频谱泄露效果好、检测精度也较高的Ｈａｎｎｉｎｇ窗作为所加分析窗，在ＭＡＴＬＡＢ环境下，对加Ｈａｎｎｉｎｇ窗ＦＦＴ算法与一般ＦＦＴ算法进行谐波／间谐波的检测仿真，对比分析各次谐波／间谐波对应的频率及幅值估计结果，验证了加Ｈａｎｎｉｎｇ窗插值ＦＦＴ算法的精确性和实用性。

参考文献

［１］　扬帆，李晓明，郑秀玉，等．电力系统分数次谐波的产生机理、危害与特征［Ｊ］．高电压技术，

２００７，３３（１２）：１５３－１５６．

［２］　庞浩，李东霞，俎云霄，等．应用ＦＦＴ进行电力系统谐波分析的改进算法［Ｊ］．中国电机工程学

报，２００３（６）：５０－５４．

［３］　钱昊，赵荣祥．基于插值ＦＦＴ算法的间谐波分析［Ｊ］．中国电机工程学报，２００５，２５（２１）：８７－９１．［４］　金国彬，李玲，李天云，等．间谐波高精度检测新方法［Ｊ］．电力系统及其自动化学报，２００９，２１

（２）：２５－３０．

［５］　刘桂英，粟时平．利用小波傅里叶变换的谐波与间谐波检测［Ｊ］．高电压技术，２００７，３３（６）：１８４－

１８８．

［６］　曹健，林涛，张蔓，等．电力系统间谐波检测方法［Ｊ］．高电压技术，２００８，３４（８）：１７４５－１７５０．［７］　祈才君，王小海．基于插值ＦＦＴ算法的间谐波参数估计［Ｊ］．电工技术学报，２００３，１８（１）：９２－９５．［８］　许珉，刘凌波．基于三次样条函数的加Ｂｌａｃｋｍａｎ－ｈａｒｒｉｓ窗插值ＦＦＴ算法［Ｊ］．电力自动化设备，

２００９，２９（２）：５９－６３．

［９］　惠锦，杨洪耕．用于谐波／间谐波分析的奇数频点插值修正法［Ｊ］．中国电机工程学报，２０１０，３０

（１６）：６７－７２．

［１０］　张惠娟，汪友华，王艳廷，等．基于ＡＲ模型的电力系统间谐波分析［Ｊ］．电工技术学报，２０１０，２５

（７）：１４４－１４９．

收稿日期：２０１２－０２－１４

作者简介：

王晓亮（１９８７－），男，硕士研究生，主要研究方向为风力发电；

李　娜（１９８７－），女，硕士研究生，主要研究方向为电力系统运行与控制。

（责任编辑：杨秋霞）

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第５期王晓亮等：基于加窗插值ＦＦＴ算法的间谐波检测方法研究