2014年考研数学一真题与解析

一、选择题  1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是

（A）             （B）

（C）             （D）

【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．

【详解】对于，可知且，所以有斜渐近线

应该选（C）

2．设函数具有二阶导数，，则在上（  ）

（A）当时，  （B）当时， 

（C）当时，  （D）当时， 

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的．

显然此题中，则，而，

故当时，曲线是凸的，即，也就是，应该选（C）

【详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凸的，从而，即，也就是，应该选（C）

３．设是连续函数，则

（Ａ）

（Ｂ）　　　　

(Ｃ）　　　　

（Ｄ）

【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．

【详解】积分区域如图所示

如果换成直角坐标则应该是

，（A），（B）

两个选择项都不正确；

如果换成极坐标则为

．

应该选（D）

４．若函数，则

（Ａ）　　　（Ｂ）　　　　（Ｃ）　　　　（Ｄ）　

【详解】注意，，

，

所以

所以就相当于求函数的极小值点，显然可知当时取得最小值，所以应该选（A）．

５．行列式等于

（A）             （B）

（C）             （D）

【详解】

应该选（B）．

6．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的

（A）必要而非充分条件             （B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件                 （D） 非充分非必要条件

【详解】若向量线性无关，则

（，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．

而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（A）．

7．设事件A，B想到，则（     ）

（A）0.1     （B）0.2          （C）0.3           （D）0.4

【详解】．

所以， ．故选择（B）．

8．设连续型随机变量相互，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则

（A）      （B）

（C）      （D）

【详解】，

，

故应该选择（D）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．曲面在点处的切平面方程为        ．

【详解】曲面在点处的法向量为，所以切平面方程为，即．

10．设为周期为4的可导奇函数，且，则                ．

【详解】当时，由可知，即；为周期为4奇函数，故．

11．微分方程满足的解为             ．

【详解】方程的标准形式为，这是一个齐次型方程，设，得到通解为，将初始条件代入可得特解为．

12．设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分              ．

【详解】由斯托克斯公式可知

．

其中取上侧，．

13．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是              ．

【详解】由配方法可知

由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．

14．设总体X的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数=            ．

【详解】，所以，由于是的无偏估计，故，．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

16．（本题满分10分）

设函数由方程确定，求的极值．

【详解】

解：在方程两边同时对求导一次，得到

，　　　　　　　　　　　（１）

即

令及，得到函数唯一驻点．

在（１）式两边同时对求导一次，得到

（

把代入，得到，

所以函数在处取得极小值．

17．（本题满分10分）

设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．

【详解】

设，则，

;

；

由条件，

可知

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

其中为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为．

故非齐次方程通解为．

将初始条件代入，可得．

所以的表达式为．

18．（本题满分10分）

设曲面的上侧，计算曲面积分：

【详解】

设取下侧，记由所围立体为，则高斯公式可得

在取下侧上，，

所以=

19．（本题满分10分）

设数列满足，且级数收敛．

（1）证明；

（2）证明级数收敛．

【详解】

（1）证明：由，及可得

，所以，

由于级数收敛，所以级数也收敛，由收敛的必要条件可得．

（2）证明：由于，

所以

由于级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数收敛．

20．（本题满分11分）

设，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组的一个基础解系；

（2）求满足的所有矩阵．

【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：

，

得到方程组同解方程组

得到的一个基础解系．

（2）显然B矩阵是一个矩阵，设

对矩阵进行进行初等行变换如下：

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为

，，

即满足的所有矩阵为

其中为任意常数．

21．（本题满分11分）

证明阶矩阵与相似．

【详解】证明：设， ．

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

，

所以A的个特征值为；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；

所以B的个特征值也为；

对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵B存在个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且

从而可知阶矩阵与相似．

22．（本题满分11分）

设随机变量X的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布．

（1）求的分布函数；

（2）求期望

【详解】（1）分布函数

当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

所以分布函数为

（2）概率密度函数为，

．

23．（本题满分11分）

设总体X的分布函数为，其中为未知的大于零的参数，是来自总体的简单随机样本，

（1）求；（2）求的极大似然估计量．

（３）是否存在常数，使得对任意的，都有．

【详解】（１）先求出总体X的概率密度函数

，

；

（２）极大似然函数为

当所有的观测值都大于零时，，

令，得的极大似然估计量为；

（３）因为同分布，显然对应的也同分布，又有（１）个可知，由辛钦大数定律，可得，

由前两问可知，，所以存在常数，使得对任意的，都有．