函数奇偶性各种题型及方法

(一)函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：

1、定义域是否关于原点对称；

2、数量关系哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

  ⑴、           ⑵、 

⑶、           ⑷、  

⑸、   ⑹、

解：⑴为奇函数         ⑵为偶函数         ⑶为非奇非偶函数  

⑷为非奇非偶函数   ⑸为非奇非偶函数   ⑹既是奇函数也是偶函数

例2：判断函数的奇偶性。

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

(二)关于函数按奇偶性的分类

全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

(三)关于函数奇偶性的简单应用

1、利用奇偶性求函数值

例1：已知且，那么

练习题：

1、已知为奇函数，，则=    ．

2、若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则f（x）在（－∞，0）上有（　　）

A．最小值－5　　　　B．最大值－5　　　C．最小值－1　　　D．最大值－3

2、利用奇偶性比较大小

例2：已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。

3.利用奇偶性求解析式

例3：已知为偶函数，求的解

析式

练习题:

1、已知y=f(x)为奇函数,当x>0时,f(x) =(1-x)x,则当x<0时，f(x)的解析式为__________.

2、已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______； g（x）的解析式是_________．

3、已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．

4、利用奇偶性讨论函数的单调性

例4：若是偶函数，讨论函数的单调区间。

练习题1.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性

例5：已知函数是偶函数，判断

的奇偶性。

6、利用奇偶性求参数的值

例6：定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？

练习题：

1、设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．

2、设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)7、利用图像解题

例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,   f(x)的图象如右图,则不等式的解是                       .

8.利用定题

例8.已知函数，若为奇函数，则________。

练习题：

1、已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（　　）　

A．，b＝0　 B．a＝－1，b＝0   C．a＝1，b＝0　　D．a＝3，b＝0

2、若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．

3、若函数在上是奇函数,则的解析式为________.