1．（2014•武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数和二次函数）关系中的一种．下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据．
| 材料板的宽x（单位：cm） | 24 | 30 | 42 | 54 |
| 成本c（单位：元） | 96 | 150 | 294 | 486 |
| 销售价格y（单位：元） | 780 | 900 | 1140 | 1380 |
（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．
①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；
②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．
2．（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
| x（十万元） | 0 | 1 | 2 |
| y | 1 | 1.5 | 1.8 |
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
3．（2014•合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变化关系如表：
| 日产量x（千件/台） | … | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | … |
| 次品数p（千件/台） | … | 0.7 | 0.6 | 0.7 | 1 | 1.5 | … |
（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；
（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
4．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
| 价格x（元/个） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 销售量y（万个） | … | 5 | 4 | 3 | 2 | … |
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
5．（2013•沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了四组关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的数据，如表
| x | 10 | 12 | 14 | 16 |
| y | 300 | 240 | 180 | 120 |
（2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销售利润是多少？
（3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
6．（2012•新区二模）某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：
| x（万元） | 1 | 2 | 2.5 | 3 | 5 |
| yA（万元） | 0.4 | 0.8 | 1 | 1.2 | 2 |
（1）求出yB与x的函数关系式；
（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式；
（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
7．“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部用于产品B的研发．经测算，每年投入到产品A中x万元时产生的利润y1（万元）满足下表的关系
| x（万元） | 10 | 20 | 30 | 40 |
| y1（万元） | 2 | 8 | 10 | 8 |
（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y1与x的函数关系式？
（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？
（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？
8．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．而且物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，通过市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）的变化如下表：
| 销售价x（元/千克） | 21 | 23 | 25 | 27 |
| 销售量w（千克） | 38 | 34 | 30 | 26 |
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式，并求出y与x所满足的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
9．某商品每件成本60元，试销阶段每件商品的销售价x（元）与商品的日销售量y（件）之间的关系如下表，其中日销售量y是销售价x的函数．
| x（元） | 50 | 60 | 65 | 70 | … |
| y （件） | 100 | 80 | 70 | 60 | … |
（2）要使每日的销售利润最大，每件商品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？
（3）要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为多少？请直接写出结果．
10．某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
| 销售单价x（元∕件） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 每天销售量y（件） | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．
11．（2011•南昌模拟）阅读下列文字
2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为a件，与时间t天的关系如下表：
| 时间t（天） | 1 | 3 | 6 | 10 | 36 | … |
| 日销售量a（件） | 94 | 90 | 84 | 76 | 24 | … |
（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
12．2009年11月4日，上海市新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准．相应的周边城市效应也随即带动，某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车，列车走完全程包含启动加速、均匀运行、制动减速三个阶段，已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速运行共需200秒，在这段时间内的相关数据如表所示：
| 时间 t（秒） | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 |
| 速度V（米/秒） | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
| 路程s（米） | 0 | 750 | 3000 | 6750 | 12000 |
（2）最新研究表明，此种列车的稳定运行速度可达180米/秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中，路程、速度随时间的变化关系任然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同，根据以上要求，至少要建多长的轨道才能满足实验检测要求？
13．（2013•蕲春县模拟）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表：
| 周数x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 价格y（元/千克） | 2 | 2.2 | 2.4 | 2.6 |
（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；
（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
14．（2014•宜兴市模拟）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下表：
| 月份x（月） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 二氧化碳排放量y（吨） | 48 | 46 | 44 | 42 | 40 | … |
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y与x的函数关系式；
（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p（万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？
（3）受国家的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：，，）
15．（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件 （21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．
16．综治委在对全国各省市自治区2010年社会治安综合治理考评中，重庆市以93.48分居全国第一，成为全国最安全、最稳定的城市之一． 市非常重视交巡警平台的建设，据统计，某行政区在去年前7个月内，交巡警平台的数量与月份之间的关系如下表：
| 月份x（月） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 交巡警平台数量y1（个） | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 |
（1）请观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）2012年一月份，计划该区的交巡警平台数量比去年12份减少a%，在去年12月份的基础上每一个交巡警平台所需的资金量将增加0.1a%，某民营企业为表示对“平安重庆”的鼎力支持，决定在1月份对每个交巡警平台分别赞助30000元．若计划一月份用于交巡警平台的资金总额为126万元，请参考以下数据，估计a的整数值．
（参考数据：872=7569，882=7744，2=7921）
17．（2012•重庆模拟）樱桃含铁量位于各种水果之首，常食樱桃可促进血红蛋白再生，既可防治缺铁性贫血，又可增强体质，健脑益智．樱桃营养丰富，具有调中益气，健脾和胃，祛风湿，“令人好颜色，美志性”之功效，对食欲不振，消化不良，风湿身痛等症状均有益处，今年4月份，某樱桃种植基地种植的樱桃喜获丰收，4月1日至10日，销售价格y（元/千克）与天数x（天）（1≤x≤10且x为整数）的函数关系如下表：
| 天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 市场价格y | 19.5 | 19 | 18.5 | 18 | 17.5 | 17 | 16.5 | 16 | 15.5 | 15 |
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若采摘樱桃的人员费用m（元）与销售量z（千克）之间的函数关系式为：m=0.1z+100．则4月份前10天，哪天销售樱桃的利润最大，求出这个最大利润；
（3）在（1）问的基础上，4月11日至4月12日，该樱桃种植基地调整了销售价格，每天都比前一天增加a%（0＜a＜20），在此影响下，销售量每天都比前一天减少100千克，若这两天销售樱桃的利润为80330元，请你参考以下数据，通过计算估算出整数值．
（参考数据：742=5476，74.52=5550.25，752=5625）
18．该厂生产了一种成本为20元∕个的小镜子投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
| 销售单价x（元∕个） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 每天销售量y（个） | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
（2）当销售单价定为多少时，该厂试销这种镜子每天获得的总利润最大？最大利润是多少？（总利润=每个镜子的利润×销售量）
参与试题解析
一．解答题（共18小题）
1．（2014•武汉四月调考）某工厂生产一种矩形材料板，其长宽之比为3：2．每张材料板的成本c（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张材料板的销售价格y（单位：元）与其宽x之间满足我们学习过的三种函数（即一次函数、反比例函数和二次函数）关系中的一种．下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据．
材料板的宽x
| （单位：cm） | 24 | 30 | 42 | 54 |
| 成本c （单位：元） | 96 | 150 | 294 | 486 |
| 销售价格y （单位：元） | 780 | 900 | 1140 | 1380 |
（2）若一张材料板的利润w为销售价格y与成本c的差．
①请直接写出一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系，不要求写出自变量的取值范围；
②当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大？最大利润是多少．
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）根据图表可知所有点在一条直线上，故是一次函数； （2）①因为长宽之比为3：2，当宽为x时，则长为1.5x，根据矩形的面积公式可得x和y的关系进而得到c和x的关系，所以一张材料板的利润w与其宽x之间的函数关系可求出；②利用①中的函数性质即可求出当材料板的宽为多少时，一张材料板的利润最大，以及最大利润是多少． |
| 解答： | 解：（1）根据表中的数据判断，销售价格y于宽x之间的函数关系不是反比例函数关系， 假设是一次函数，设其解析式为y=kx+b， 则24k+b=780，30k+b=900， 解得：k=20，b=300， 将x=42，y=1140和x=54，y=1380代入检验，满足条件 所以其解析式为y=20x+300； （2）①∵矩形材料板，其长宽之比为3：2， ∴当宽为x时，则长为1.5x， ∴w=yx•1.5x﹣x•1.5x =（20x+300）x•1.5x﹣x•1.5x， =﹣x2+20x+300； ②由①可知：w=﹣x2+20x+300， =﹣（x﹣60）2+900， ∴当材料板的宽为60cm时，一张材料板的利润最大，最大利润是900元． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得． |
2．（2001•安徽）某工厂生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销量为100万件，为了获得更好的效益，厂家准备拿出一定的资金做广告；根据统计，每年投入的广告费是x（十万元），产品的年销量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：
| x（十万元） | 0 | 1 | 2 |
| y | 1 | 1.5 | 1.8 |
（2）如果把利润看成销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元的函数关系式）；
（3）如果投入的年广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，工厂获得的利润最大？最大利润是多少？
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | （1）根据题意可求出y与x的二次函数关系式． （2）根据题意可知S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10； （3）根据解析式求最值即可． |
| 解答： | 解：（1）设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c， 由题意得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为：y=﹣0.1x2+0.6x+1； （2）∵利润=销售总额减去成本费和广告费， ∴S=（3﹣2）×100y÷10﹣x=﹣x2+5x+10； （3）S=﹣x2+5x+10=﹣（x﹣2.5）2+16.25， 当x=2.5时，函数有最大值．所以x＜2.5是函数的递增区间， 由于1≤x≤3，所以1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大． ∴x=2.5时利润最大，最大利润为16.25（十万元）． |
| 点评： | 求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．要学会用二次函数解决实际问题． |
3．（2014•合肥模拟）某工厂共有10台机器，生产一种仪器元件，由于受生产能力和技术水平等因素，会产生一定数量的次品．每台机器产生的次品数p（千件）与每台机器的日产量x（千件）（生产条件要求4≤x≤12）之间变化关系如表：
| 日产量x（千件/台） | … | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | … |
| 次品数p（千件/台） | … | 0.7 | 0.6 | 0.7 | 1 | 1.5 | … |
（1）观察并分析表中p与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识求出p（千件）与x（千件）的函数解析式；
（2）设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y（千元），试将y表示x的函数；并求当每台机器的日产量x（千件）为多少时所获得的利润最大，最大利润为多少？
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）由表格中的数据可以看出p与x是二次函数关系，根据对称点找出顶点坐标（6，0.6），设出顶点式代入点求得函数即可； （2）根据实际利润=合格产品的盈利﹣生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润y（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；再进一步求得最值即可． |
| 解答： | 解：（1）根据表格中的数据可以得出：p与x是二次函数关系，且图象经过的顶点坐标为（6，0.6）， 设函数解析式为p=a（x﹣6）2+0.6，把（8，1）代入，的 4a+0.6=1 解得a=0.1， 所以函数解析式为p=0.1（x﹣6）2+0.6=0.1x2﹣1.2x+4.2； （2）y=10[1.6（x﹣p）﹣0.4p] =16x﹣20p =16x﹣20（0.1x2﹣1.2x+4.2） =﹣2x2+40x﹣84（4≤x≤12） y=﹣2x2+40x﹣84 =﹣2（x﹣10）2+116， ∵4≤x≤12 ∴当x=10时，y取得最大值，最大利润为116千元 答：当每台机器的日产量为10千件时，所获得的利润最大，最大利润为116千元． |
| 点评： | 此题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键． |
4．（2013•乌鲁木齐）某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：
| 价格x（元/个） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 销售量y（万个） | … | 5 | 4 | 3 | 2 | … |
（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．
（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万个）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？
（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | （1）根据数据得出y与x是一次函数关系，进而利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据z=（x﹣20）y﹣40得出z与x的函数关系式，求出即可； （3）首先求出40=﹣（x﹣50）2+50时x的值，进而得出x（元/个）的取值范围． |
| 解答： | 解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系， 设解析式为：y=ax+b， 则， 解得：， 故函数解析式为：y=﹣x+8； （2）根据题意得出： z=（x﹣20）y﹣40 =（x﹣20）（﹣x+8）﹣40 =﹣x2+10x﹣200， =﹣（x2﹣100x）﹣200 =﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200 =﹣（x﹣50）2+50， 故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元． （3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60． 如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60． 而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少， 因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式、二次函数最值问题等知识，根据已知得出y与x的函数关系是解题关键． |
5．（2013•沙市区三模）某公司准备购进一批产品进行销售，该产品的进货单价为6元/个．根据市场调查，得到了四组关于日销售量y（个）与销售单价x（元/个）的数据，如表
| x | 10 | 12 | 14 | 16 |
| y | 300 | 240 | 180 | 120 |
（2）按照（1）中的销售规律，请你推断，当销售单价定为17.5元/个时，日销售量为多少？此时，获得日销售利润是多少？
（3）为了防范风险，该公司将日进货成本控制在900元（含900元）以内，按照（1）中的销售规律，要想获得的日销售利润最大，那么销售单价应定为多少？并求出此时的最大利润．
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| 分析： | （1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同； （2）根据销售利润=每个商品的利润×销售量计算即可； （3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润． |
| 解答： | 解：（1）y是x的一次函数，设y=kx+b， 图象过点（10，300），（12，240）， ， 解得：， ∴y=﹣30x+600， 当x=14时，y=180；当x=16时，y=120， 即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上． ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣30x+600； （2）w=（x﹣17.5）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600， 即w与x之间的函数关系式为w=﹣30x2+780x﹣3600； （3）由题意得：6（﹣30x+600）≤900， 解得x≥15． w=﹣30x2+780x﹣3600的对称轴为：x=﹣=13， ∵a=﹣30＜0， ∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小， ∴当x=15时，w最大=1350， 即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数的应用；要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）． |
6．（2012•新区二模）某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，所获利润yA（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：
| x（万元） | 1 | 2 | 2.5 | 3 | 5 |
| yA（万元） | 0.4 | 0.8 | 1 | 1.2 | 2 |
（1）求出yB与x的函数关系式；
（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系，并求出yA与x的函数关系式；
（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
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| 专题： | 阅读型；图表型． |
| 分析： | （1）用待定系数法将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式yB=ax2+bx求解即可； （2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式； （3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值． |
| 解答： | 解：（1）由题意得，将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式yB=ax2+bx， 求解得： ∴yB与x的函数关系式：yB=﹣0.2x2+1.6x （2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数， 故设函数关系式yA=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：， 解得：， 则yA=0.4x； （3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元， W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8 即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大，为7.8万元． |
| 点评： | 本题考查了函数关系式以及其最大值的求解问题． |
7．“哪里的民营经济发展得好，哪里的经济就越发达．”恒强科技公司在重庆市这一执政理念的鼓舞下，在已有高科技产品A产生利润的情况下，决定制定一个开发利用高科技产品B的10年发展规划，该规翘晦年的专项投资资金是50万元，在前五年，每年从专项资金中最多拿出25万元投入到产品A使它产生利润，剩下的资金全部用于产品B的研发．经测算，每年投入到产品A中x万元时产生的利润y1（万元）满足下表的关系
| x（万元） | 10 | 20 | 30 | 40 |
| y1（万元） | 2 | 8 | 10 | 8 |
（1）请观察题目中的表格，用所学过的一次函数、二次函数或反比例函数的相关知识，求出y1与x的函数关系式？
（2）按照此发展规划，求前5年产品A产生的最大利润之和是多少万元？
（3）后5年，专项资金全部投入到产品A、产品B使它们产生利润，求后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是多少万元？
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| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）根据表格数据特点，可发现，y1与x不是一次函数关系，也不是反比例函数关系，故可设y1=ax2+bx+c，选择三点代入可得出答案． （2）利用配方法确定A产品每年的最大利润，继而可得前5年产品A产生的最大利润之和； （3）设每年投入B a万元，则每年投入A （50﹣a）万元，设后5年每年产生的最大利润为W，利用配方法求出最值，继而可得后5年产品A、产品B产生的最大利润之和． |
| 解答： | 解：（1）设y1=ax2+bx+c， 则， 解得：， 故可得y1=﹣x2+x﹣8． （2）y1=﹣x2+x﹣8=﹣（x﹣30）2+10， ∵0＜x≤25， ∴当x=25时，y1取得最大，y1最大=9.5万元， 故前5年产品A产生的最大利润之和=9.5×5=47.5万元． （3）设每年投入B a万元，则投入A （50﹣a）万元，后5年每年产生的最大利润为W， 则W=﹣a2+a﹣202﹣（50﹣a）2+（50﹣a）﹣8=﹣a2+60a﹣200=﹣（a﹣30）2+700， 当a=30时，W取得最大，W最大=700万元， 故后5年产品A、产品B产生的最大利润之和是3500万元． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握配方法求二次函数最值的应用，计算量较大，注意细心求解． |
8．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．而且物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，通过市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）的变化如下表：
| 销售价x（元/千克） | 21 | 23 | 25 | 27 |
| 销售量w（千克） | 38 | 34 | 30 | 26 |
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出w与x所满足的函数关系式，并求出y与x所满足的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？
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| 分析： | （1）从表格看出，x每增加2，w就减少4，由此可确定是一次函数关系式，设w=kx+b，把（21，38），（23，34）代入求出k和b即可得到w和x的关系，因为y=（x﹣20）w，所以可得到y与x的函数关系式； （2）先利用配方法将（1）的函数关系式变形，再利用二次函数的性质即可求解即可； （3）先把y=150代入（1）的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值． |
| 解答： | 解：（1）设w=kx+b，把（21，38），（23，34）代入得： ， 解得：． ∴w=﹣2x+80， ∵y=（x﹣20）∙w， =（x﹣20）（﹣2x+80） =﹣2x2+120x﹣1600， ∴y与x的函数关系式为：y=﹣2x2+120x﹣1600． （2）y=﹣2x2+120x﹣1600 =﹣2 （x﹣30）2+200， ∵x≤28∴当x=28时，y有最大值192． ∴当销售价定为28元/千克时，每天可获最大销售利润192元． （3）当y=150时，可得方程﹣2 （x﹣30 ）2+200=150． 解这个方程，得 x1=25，x2=35． 根据题意，x2=35不合题意，应舍去． ∴当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的应用，难度适中．得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，利用配方法或公式法求解二次函数的最值问题是常用的解题方法． |
9．某商品每件成本60元，试销阶段每件商品的销售价x（元）与商品的日销售量y（件）之间的关系如下表，其中日销售量y是销售价x的函数．
| x（元） | 50 | 60 | 65 | 70 | … |
| y （件） | 100 | 80 | 70 | 60 | … |
（2）要使每日的销售利润最大，每件商品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少？
（3）要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为多少？请直接写出结果．
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| 分析： | （1）根据一次函数的性质利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用W=销量×每件商品利润，进而结合二次函数最值求法得出即可； （3）分别求出这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%时，商品售价，进而得出定价范围． |
| 解答： | 解：（1）根据表格中数变化情况可得出这种函数是一次函数，设解析式为：y=kx+b， 将（50，100），（60，80）代入得出： ， 解得：， ∴此函数解析式为：y=﹣2x+200； （2）设每日的销售利润为：W，则 W=y（x﹣60） =（﹣2x+200）×（x﹣60） =﹣2x2+320x﹣12000 =﹣2（x﹣80）2+800， 故每件商品的销售价应定为80元，此时每日销售利润是800元； （3）∵每件商品的利润率不得高于40%， ∴每件商品的售价应不高于：60×（1+40%）=84（元）， 当每日销售利润是600元，则600=﹣2（x﹣80）2+800， 解得：x1=70，x2=90， ∴当70≤x≤90时，这种商品每日的销售利润不低于600元， ∴要使这种商品每日的销售利润不低于600元，且每件商品的利润率不得高于40%，那么该商品的销售价x应定为：70≤x≤84． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识，利用二次函数的性质得出x的取值范围是解题关键． |
10．某厂设计了一款成本为20元∕件的公益用品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
| 销售单价x（元∕件） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 每天销售量y（件） | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
（2）当销售单价定为多少时，该厂试销该公益品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）当地民政部门规定，若该厂销售此公益品单价不低于成本价且不超过46元/件时，该厂每销售一件此公益品，国家就补贴该厂a元利润（a＞4），公司通过销售记录发现，日销售利润随销售单价的增大而增大，求a的取值范围．
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| 分析： | （1）直接运用待定系数法根据统计表的数据就可以求出y与x之间的函数关系式； （2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，先表示出每件的利润为（x﹣20），再根据总利润=销售总价﹣成本总价建立等式即可得出结论； （3）设总利润为m元，根据条件可以得出每件工艺用品的利润为（x﹣20+a）元，再根据总利润=销售总价﹣成本总价建立函数关系式即可． |
| 解答： | 解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据统计表，得 ， 解得：， 故函数关系式是y=﹣10x+800； （2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得 W=（x﹣20）（﹣10x+800） =﹣10x2+1000x﹣16000 =﹣10（x﹣50）2+9000 则当x=50时，W有最大值9000． 故当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元． （3）设总利润为m元，则每件工艺用品的利润为（x﹣20+a）元，由题意，得 M=（﹣10x+800）（x﹣20+a）， =﹣10x2+10（100﹣a）x﹣16000+800a， =﹣10（x﹣50+a）2+（100﹣a）2﹣16000+800a， ∵a=﹣10＜0， ∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧M随x的增大而增大． ∴x=50﹣a时，M有最大值． ∵日销售利润M随销售单价x的增大而增大，且x≤46， ∴50﹣a≥46， ∴a≤8． ∵a＞4， ∴4＜a≤8． |
| 点评： | 本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，不等式的解法和运用，解答时建立二次函数的解析式，根据二次函数的解析式求解是关键． |
11．（2011•南昌模拟）阅读下列文字
2010年广州亚运会前夕某公司生产一种时令商品每件成本为20元，经市场发现该商品在未来40天内的日销售量为a件，与时间t天的关系如下表：
| 时间t（天） | 1 | 3 | 6 | 10 | 36 | … |
| 日销售量a（件） | 94 | 90 | 84 | 76 | 24 | … |
（1）分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数，反比例函数知识确定一个满足这些数据的a与t的函数关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中该公司决定销售一件就捐赠n元（n＜4）利润给亚运会组委会，通过销售记录发现前20天中，每天扣除捐赠后利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
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| 专题： | 代数综合题． |
| 分析： | （1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式； （2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论； （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n的取值范围． |
| 解答： | 解：（1）将代入一次函数a=kt+m， 有 ∴a=﹣2t+96， 经检验，其他点的坐标均适合以上解析式 故所求函数的解析式为a=﹣2t+96． （2）设前20天日销售利润为P1，后20天日销售利润为P2 由P1=（﹣2t+96）（t+5）=﹣t2+14t+480=﹣（t﹣14）2+578， ∵1≤t≤20，∴当t=14时，P1有最大值578元， 由P2=（﹣2t+96）（﹣t+20）=t2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16， ∵21≤t≤40且对称轴为t=44，∴函数P2在21≤t≤40上随t的增大而减小， ∴当t=21时，P2有最大值为（21﹣44）2﹣16=529﹣16=513（元）， ∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元． （3）P3=（﹣2t+96）（t+5﹣n）=﹣t2+（14+2n）t+480﹣96n， ∴对称轴为t=14+2n， ∵1≤t≤20， ∴14+2n≥20得n≥3时，P3随t的增大而增大， 又∵n＜4， ∴3≤n＜4． |
| 点评： | 本题考查二次函数的应用，注意：（1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；（2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围． |
12．2009年11月4日，上海市新闻办宣布上海迪斯尼项目报告已获国家有关部门核准．相应的周边城市效应也随即带动，某周边城市计划开通至上海的磁悬浮列车，列车走完全程包含启动加速、均匀运行、制动减速三个阶段，已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速运行共需200秒，在这段时间内的相关数据如表所示：
| 时间 t（秒） | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 |
| 速度V（米/秒） | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
| 路程s（米） | 0 | 750 | 3000 | 6750 | 12000 |
（2）最新研究表明，此种列车的稳定运行速度可达180米/秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中，路程、速度随时间的变化关系任然满足（1）中的函数关系式，并且制动减速所需路程与启动加速的路程相同，根据以上要求，至少要建多长的轨道才能满足实验检测要求？
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| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）利用描点法可描出两个函数关系的大致图象，从而可确定速度v与时间t是一次函数关系，路程s与时间t是二次函数关系，然后利用待定系数法确定两函数解析式，再把其他对应数据代入验证； （2）把v=180代入v=t，求出加速的时间t=300，然后把t=300代入s=t2；可计算出从启动加速到稳定匀速运行的路程，然后根据题意即可得到要建的轨道最少的长度． |
| 解答： | 解：（1）通过描点知道速度v与时间t是一次函数关系，路程s与时间t是二次函数关系， 设v=kt+b，s=at2+bt+c， 把（0，0），（50，30）代入v=kt+b得b=0，50k+b=30，解得k=，b=0， ∴v=t， 点（100，60），（150，90），（200，120）都满足v=t， ∴在加速阶段（0≤t≤200）速度v与时间t的函数关系为v=t； 把（0，0），（50，750），（100，3000）代入s=at2+bt+c得，c=0，a×502+b×50+c=750，a×1002+b×100+c=3000，解得a=，b=0，c=0， ∴s=t2， 点（150，6750），（200，12000）都满足s=t2， ∴在加速阶段（0≤t≤200）路程s与时间t的函数关系为s=t2； （2）把v=180代入v=t，得t=300秒， 把t=300秒代入s=t2=27000米=27千米， 而180×100=18000（米）=18千米， ∴要建的轨道最少的长度=27×2+18=72（千米）． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的应用：先通过待定系数法确定二次函数关系式，然后给定自变量的值求出对应的函数值．也考查了一次函数的应用． |
13．（2013•蕲春县模拟）今年我国多个省市遭受严重干旱，受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如表：
| 周数x | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 价格y（元/千克） | 2 | 2.2 | 2.4 | 2.6 |
（2）进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=﹣x2+bx+c，请求出5月份y与x的函数关系式；
（3）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2，5月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？
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| 专题： | 应用题；压轴题；图表型． |
| 分析： | （1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式，继而代入两点可得出解析式； （2）把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=﹣x2+bx+c可求b、c的值，确定二次函数解析式； （3）根据一次函数，二次函数的性质及自变量的取值范围，求最大利润； |
| 解答： | 解：（1）通过观察可见四月份周数y与x 的符合一次函数关系式，设这个关系式为：y=kx+b， 则， 解得：， ∴4月份y与x 的函数关系式为y=0.2x+1.8； （2）将（1，2.8）（2，2.4）代入y=﹣x2+bx+c． 可得： 解之： 即y=x2x+3.1． （3）4月份此种蔬菜利润可表示为：W1=y﹣m=（0.2x+1.8）﹣（x+1.2），即：W1=﹣0.05x+0.6； 由函数解析式可知，四月份的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W=﹣0.05×1+0.6=0.55（元/千克）， 5月份此种蔬菜利润可表示为：W2=y﹣m=（x2x+3.1）﹣（﹣x+2）， 即：W2=x2﹣x+1.1 由函数解析式可知，五月份的利润随周数变化符合二次函数且对称轴为：x=﹣=﹣， 即在第1至4周的利润随周数的增大而减小，所以应在第一周的利润最大，最大为：W=﹣+1.1=1（元/千克）． |
| 点评： | 本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度． |
14．（2014•宜兴市模拟）在气候对人类生存压力日趋加大的今天，发展低碳经济，全面实现低碳生活逐渐成为人们的共识，某企业采用技术革新，节能减排，今年前5个月二氧化碳排放量y（吨）与月份x（月）之间的关系如下表：
| 月份x（月） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 二氧化碳排放量y（吨） | 48 | 46 | 44 | 42 | 40 | … |
（1）请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数关系能表示y和x的变化规律，请写出y与x的函数关系式；
（2）随着二氧化碳排放量的减少，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润p（万元）与月份x（月）的函数关系如图所示，那么今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元？
（3）受国家的鼓励，该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%，要使今年6、7月份月利润的总和是今年5月份月利润的3倍，求a的值（精确到个位）（参考数据：，，）
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）根据表格数据可以看出随着月份的增加二氧化碳排放量的均匀减少，由此可以确定y和x是一次函数关系，然后利用待定系数法即可确定函数关系式； （2）根据图象可以知道利润p（万元）与月份x是一次函数关系，并且随着月份的增加利润也增加，首先根据图象确定利润p与x的函数关系，然后利用函数的增减性即可确定今年哪月份，该企业获得的月利润最大？最大月利润是多少万元； （3）由于该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%，与此同时，每排放一吨二氧化碳，企业相应获得的利润在上一个月的基础上都增加50%． |
| 解答： | 解：（1）根据表格知道y和x是一次函数关系，利用待定系数法得到y=﹣2x+50； （2）根据图象知道当x=1，p=80， 当x=4，p=95， 设p=kx+b， ∴， k=5，b=75， ∴p=5x+75；根据k＞0，p随x增大而增大， ∴当x=5时，p最大，p=5×5+75=100万元； ∴5月份的利润是：100万×40=4000万元； （3）∵该企业决定从今年6月份起，每月二氧化碳排放量在上一个月的基础上都下降a%， 而当x=5时，y=40， ∴6月份的二氧化碳排放量为40（1﹣a%）， 7月份的二氧化碳排放量为40（1﹣a%）2， 5月份的利润为4000万元， ∴6月份的利润为100（1+50%）×40（1﹣a%）， 7月份的利润为100（1+50%）×（1+50%）×40（1﹣a%）2， ∴100（1+50%）×40（1﹣a%）+100（1+50%）×（1+50%）×40（1﹣a%）2=3×4000， ∴a=13． |
| 点评： | 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． 这类题目我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． |
15．（2010•安庆一模）某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与时间t（天）的关系如图．未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t（天）的函数关系式为（1≤t≤20，且t为整数），后20天每天的价格30元/件 （21≤t≤40，且t为整数）．下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m（件）与t（天）之间的关系式；
（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．
| 考点： | 二次函数的应用；一次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式； （2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论； （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围． |
| 解答： | 解：（1）经分析知：m与t成一次函数关系．设m=kt+b（k≠0）， 将， 代入， 解得， ∴m=﹣2t+96． （3分） （2）前20天日销售利润为P1元，后20天日销售利润为P2元， 则 = ∴当t=14时，P1有最大值，为578元． （6分） P2=（﹣2t+96）•（30﹣20）=﹣20t+960 ∵当21≤t≤40时，P2随t的增大而减小， ∴t=21时，P2有最大值，为540元． ∵578＞540， ∴第14天日销售利润最大． （10分） （3） =（12分） 对称轴t=14+2a， 因为a=﹣，只有当t≤2a+14时，P随t的增大而增大 又每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大， 故：20≤2a+14 ∴a≥3， 即a≥3时，P1随t的增大而增大， 又a＜4， ∴4＞a≥3． （14分） |
| 点评： | 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性； （2）最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围． |
16．综治委在对全国各省市自治区2010年社会治安综合治理考评中，重庆市以93.48分居全国第一，成为全国最安全、最稳定的城市之一． 市非常重视交巡警平台的建设，据统计，某行政区在去年前7个月内，交巡警平台的数量与月份之间的关系如下表：
| 月份x（月） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 交巡警平台数量y1（个） | 32 | 34 | 36 | 38 | 40 | 42 | 44 |
（1）请观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）2012年一月份，计划该区的交巡警平台数量比去年12份减少a%，在去年12月份的基础上每一个交巡警平台所需的资金量将增加0.1a%，某民营企业为表示对“平安重庆”的鼎力支持，决定在1月份对每个交巡警平台分别赞助30000元．若计划一月份用于交巡警平台的资金总额为126万元，请参考以下数据，估计a的整数值．
（参考数据：872=7569，882=7744，2=7921）
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| 专题： | 应用题． |
| 分析： | （1）根据图表可以得到每个月增加2个，因而是一次函数，根据每个月增加2个即可写出函数解析式，同理可以写出8月到12月的函数关系式； （2）表示出2012年的平台数以及每个平台的投入数，根据总投入=投入+赞助数，即可列出方程，从而求解． |
| 解答： | 解：（1）根据表可以得到每月增加2个，则一定是一次函数，则： y=32+2（x﹣1），即y1=2x+30（1≤x7）； y2=26﹣3（x﹣8），即y2=﹣3x+50（8≤x≤12）． （2）去年12月份的平台有14个，每个平台投入0.2×12+12=14.4万元． 则2012年的平台数是：14（1﹣a%），每一个平台投入的资金14.4（1+0.1a%）． 则根据题意得：14（1﹣a%）×14.4（1+0.1a%）=126+3×14（1﹣a%）． 设a%=x，整理方程得出：12x 2+83x﹣20=0， 解得：x1=≈0.25，x 2=（不合题意舍去）， 故a≈25． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． |
17．（2012•重庆模拟）樱桃含铁量位于各种水果之首，常食樱桃可促进血红蛋白再生，既可防治缺铁性贫血，又可增强体质，健脑益智．樱桃营养丰富，具有调中益气，健脾和胃，祛风湿，“令人好颜色，美志性”之功效，对食欲不振，消化不良，风湿身痛等症状均有益处，今年4月份，某樱桃种植基地种植的樱桃喜获丰收，4月1日至10日，销售价格y（元/千克）与天数x（天）（1≤x≤10且x为整数）的函数关系如下表：
| 天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 市场价格y | 19.5 | 19 | 18.5 | 18 | 17.5 | 17 | 16.5 | 16 | 15.5 | 15 |
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出z与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若采摘樱桃的人员费用m（元）与销售量z（千克）之间的函数关系式为：m=0.1z+100．则4月份前10天，哪天销售樱桃的利润最大，求出这个最大利润；
（3）在（1）问的基础上，4月11日至4月12日，该樱桃种植基地调整了销售价格，每天都比前一天增加a%（0＜a＜20），在此影响下，销售量每天都比前一天减少100千克，若这两天销售樱桃的利润为80330元，请你参考以下数据，通过计算估算出整数值．
（参考数据：742=5476，74.52=5550.25，752=5625）
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| 分析： | （1）结合图象以及图表得出函数关系，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用W=yz﹣m，利用（1）中所求代入求出函数关系式，再利用二次函数最值公式求出即可； （3）根据已知表示出4月11日至4月12日销量和人员费用，再利用这两天销售樱桃的利润为80330元，得出等式方程求出即可． |
| 解答： | 解：（1）根据图表可以得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b， 将（2，19），（4，18）代入得： ， 解得：， 故解析式为：y=﹣x+20， 根据图象可以得出z与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+h， 将（1，1600），（10，2500）代入得： ， 解得：， 故解析式为：z=100x+1500， （2）令利润为W， 则W=yz﹣m=（﹣x+20）（100x+1500）﹣[0.1（100x+1500）+100] =﹣50x 2+1240x+29750 当x=10时，W最大=37150； （3）根据4月11日至4月12日销量和人员费用分别为： ∵2400﹣100=2300，0.1×2300+100=330， 2500﹣100=2400，0.1×2400+100=340， ∴15（1+a%）×2400﹣340+15（1+a%） 2×2300﹣330=80330， 令m=1+a%， 故23m 2+24m﹣54=0， 解得：m 1=，m 2=＜0（舍去）， 5544更接近5550.75， 故m≈≈1.097， 则a≈10． |
| 点评： | 此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用以及一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用． |
18．该厂生产了一种成本为20元∕个的小镜子投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
| 销售单价x（元∕个） | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
| 每天销售量y（个） | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
（2）当销售单价定为多少时，该厂试销这种镜子每天获得的总利润最大？最大利润是多少？（总利润=每个镜子的利润×销售量）
| 考点： | 二次函数的应用．菁优网版权所有 |
| 分析： | （1）首先描点，由图可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性； （2）根据总利润=销售总价﹣成本总价=单件利润×销售量．据此得表达式，运用性质求最值． |
| 解答： | 解：（1）将各点在坐标系中描出，由图可猜想y与x是一次函数关系， 设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）， ∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点， ∴， 解得：， 故函数关系式是：y=﹣10x+800． （2）设该厂试销该小镜子每天获得的利润是W元， 依题意得W=（x﹣20）（﹣10x+800）=﹣10x2+1000x﹣16000=﹣10（x﹣50）2+9000 当x=50时，W有最大值9000元． 所以，当销售单价定为50元∕个时，该厂试销小镜子每天获得的利润最大，最大利润是9000元． |
| 点评： | 此题考查了二次函数的性质及其应用，要运用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． |
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