基于水工标准反应谱的人工地震动合成及其校正

J of China T hree Go rg es U niv,(N atural Sciences)V ol.28N o.6Dec.2006

收稿日期:2006-12-05

基金项目:国家自然科学基金资助项目(90510017)

作者简介:牛志国(1979-),男,博士研究生,主要研究方向为水工结构数值分析.

基于水工标准反应谱的人工地震动合成及其校正

牛志国1 李同春1 崔绍峰2 王亚莉3

(1.河海大学水利水电工程学院,南京 210098; 2.聊城市水利勘测设计院,山东聊城 252061; 3.滕州市水务局,山东滕州 277500)

摘要:给出了进行水工建筑物抗震设计时,根据水工标准反应谱合成人工地震波及修正方法,为了消除人工波中残余长周期分量的影响,通过利用最小二乘法拟合原始加速度均值,利用加速度均值对人工地震动加速度进行校正,纠正了位移时程的漂移.

关键词:人工地震波; 设计反应谱; 最小二乘法; 幅值谱; 功率谱中图分类号:TU 435 文献标识码:A 文章编号:1672-948X(2006)06-0513-05

The Synthesis and Correction of Simulated Earthquake Wave

on Hydraulic Design Response Spectru m

Niu Zhig uo 1 Li T ong chun 1 Cui Shaofeng 2 Wang Yali 3

(1.Co lleg e o f Water Conserv ancy &H ydr opow er Engineering,H ohai U niv.,Nanjing 210098,China; 2.L-i

aocheng Sur vey ing &Design Institute of Water Reso urces,Liaocheng 252061,China; 3.Tengzhou Water Affair s Bureau,Tengzhou 277500,China)

Abstract A m ethod that can sim ulate earthquake w av e based on hy draulic design respo nse spectrum is pres -ented.It can be used after the initial w ave is produced in the seism ic design of hy draulic structure,and also can be used to modify the initial w av e.In or der to eliminate the influence of remaining long period com po -nents,the least square metho d is used to simulate average value of the primitive acceleratio n.The average value is used to adjust the acceleration of sim ulated ear thquake w ave,so that the shift of displacement dia -g ram is corrected.

Keywords simulated earthquake w ave; design response spectrum; least square m ethod; amplitude spec -trum; pow er spectrum

目前,我国是世界上修建大坝最多的国家,同时也是地震灾害频繁的国家之一,全球已发生了3000多起破坏性地震(M >5),其中35%的强震(M >7)发生在中国.我国的主要强震区是西部地区,而全国80%的水能资源集中于该地区,因此,适宜修建高坝大库的陡峻河谷,地震的强度和频度都很高,抗震问题尤为突出.

由于地震动记录数量的有限性和它的不可重复性,在抗震分析中经常需要人工合成符合某些指定统

计特征的非平稳地震动,人工地震波因其在满足需求的烈度、持时及频谱特性方面具有任意性,而被广泛采用;随着抗震技术的发展,一些大尺度空间结构,如大坝、桥梁等抗震分析中,考虑地震动的多点输入、结构-地基的动力相互作用等逐步成为研究热点,相应地,在结构的抗震计算中,除了需要地震加速度时程外,还要输入地震动的速度和位移时程,然而,在人工地震动合成计算中,人们往往比较注重对加速度时程的研究,而对速度时程和位移时程的研究较少,仅仅

是将地震加速度时程进行简单的积分得到地震动速度与位移时程[1].由于加速度波中长周期分量的存在是难免的,从而导致直接积分后的位移时程出现零线漂移,这对需要考虑输入地震动位移时程的大尺度空间结构动力分析影响很大.在利用反应谱合成地震波的过程中,除了修正功率谱和幅值谱外,还进行了最小二乘校正,从而能够得到有效的速度、加速度记录.

1 地震加速度合成的基本原理

合成人工地震动常用的方法是把地面加速度时程看作非平稳随机过程

[2]

,表示为

a(t)=f (t)#a s (t)

(1)

式中,f (t)是考虑非平稳性的外包线函数;主要有两类:一类是单峰状连续函数,另一类是具有上升、平稳和衰减3段的包络函数,后一种被工程界广泛应用,日本和美国核电站抗震设计规范、我国现行的重大工程场址地震小区划中合成地震动时程都采用该模型,其形式为

f (t)=

(t/t 1)2

t exp (c(t-t 3))

t \ 2

(2)

式中,c 是常数,用来控制衰减的快慢,t 1和t 2分别控制平稳段的首末时刻;a s (t)为具有零均值和(单边)功率谱密度函数的高斯平稳随机过程.

按照(1)式模型,先构造一个平稳的高斯过程

a s (t)=

E N

C

k

#cos (X k t +U

k )(3)

式中,U k 为(0,2P )内均匀分布的随机相位角,三角级数的各幅值分量C k 通过反应谱和功率谱密度函数给定;其相互关系为S(X k )=

N P X k

#[S T a (X k )]2

#

1

ln -P

X k T ln (1-P)

(4)

$X =2P T d

,X k =$X #k,C k =[4S(X k )#$X ]1

2

(k =1,2,3,,,N )

式中,S T a (X k )为给定的目标加速度反应谱;N 为阻尼比;P 为反应超过反应谱值的概率,P [15%;S (X k )为(3)式平稳高斯过程的功率谱密度函数;T d 为随机过程a(t)的总持续时间.按上述方法得到人工地震波后,其反应谱与给定的目标反应谱有一定的差距,为

了提高拟合精度,通常还需要进行多次迭代修正,这

是地面运动模拟的常规方法,它具有原理简单,计算

速度快,对反应谱的拟合较好等特点.为了提高计算

效率,通常采用快速傅立叶变换(FFT )技术计算a(t),设a(t)的傅立叶谱为f (X ),为了消除长周期分量的影响,当频率低于某一数值,便令其傅立叶谱为零,这就是所谓的数字滤波法[3].

2 初始波的修正

由反应谱与功率谱的近似转换关系,按上述方法得到的初始地震波,其反应谱与目标反应谱之间必然存在着较大的误差,这就需要采用某种方法对初始波进行修正,使其反应谱逐步逼近目标反应谱.

1986年,胡聿贤等在对幅值谱修正时,考虑了傅氏谱各分量对最大反应贡献的正负,并对幅值谱修正不能满足要求的顽固点,提出了相位谱修正的方法,取得了较好的拟合结果[4]

.但相位谱的调整比较复杂,不易掌握,1995年翟希梅等利用功率谱修正能降低高频区误差的作用,先进行功率谱修正,然后在进行幅值谱修正,人工波反应谱与标准反应谱拟合良好

[5]

.该方法计算精度高、迭代简单、易于掌握.设X k 为某一指定拟合点的频率,其对应的人工

波计算反应谱值为S T

a (X k ),对应目标反应谱值,则相对误差为

E(X k )=

S a (X k )-S T a (X k )

S T

a (X k )

(5)

幅值调整系数为

R(X k )=S T a (X k )

S a (X k )

(6)

当E(X k )大于容许误差E 时,就要对第k 个拟合点的功率谱和幅值谱进行修正.

功率谱的修正

S

i+1

(X k )=S i

(X k )#

S T a (X k )

S a (X k )

2

(7)

式中,i 为功率谱迭代的次数;对第k 个控制点周围的非拟合点(非控制点)用线性插值的方法进行修正[6]

.

幅值谱的修正:第k 个控制点周围点对应的幅值修正为

C c i =C i #[R(X i )]q

(8)

式中,C i 为第k 个控制点周围点(包括第k 点)对应的幅值.q 取值为1或-1,具体取值根据傅里叶谱各个分量对最大反应贡献的正负,其方法详见文献[7]中.

由图1、2可以看出,初始人工波的反应谱在高频段与标准反应谱拟合误差很大,按照上述方法修正,迭代15次,相对误差控制在5%以内,修正后结果见图3、4.

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三峡大学学报(自然科学版) 2006年12月

图1

初始人工波

图2

初始人工波反应谱与标准反应谱

图3

修正后的人工波

图4 修正后的人工波反应谱与标准反应谱

3 地震动的最小二乘校正法

尽管对初始波进行修正后,人工地震波的反应谱

能够和标准谱拟和良好,但是,积分求得速度时程、位移时程,地震输入或利用粘弹性边界进行抗震分析,可行的,因为在加速度时程合成计算中,一定的修正手段,它们虽然不会导致加速度时程的漂移,但是却会对积

分后的位移时程产生严重的漂移(见图7),用这样的位移时程进行计算,将会导致计算结果的失真.许多学者已对此进行了广泛的研究,认为加速度时程中的

少量长周期分量是导致位移时程漂移的主要原因[8]

,因此,采用什么方式滤掉这些长周期分量,便是解决该问题的关键.在前人对时域优化校正算法研究的基础上,通过采用不同形式的非零基线,对加速度时程作高通滤波处理,以消除位移时程的漂移现象.

3.1 非零基线的确定

在对比大量的积分位移时程的拟合均值线后,按照位移点在均值线两侧分布均匀和多项式阶数尽可能低的准则,认为四次多项式模拟程度较好[9],即

s(t)=a 1t+a 2t 2+a 3t 3+a 4t 4(9)式中,s(t)为拟合的位移均值线,考虑加速度、速度及

位移间的积分关系,与式(4)对应的速度、加速度时程分别为

v(t)=a 1+2a 2t +3a 3t 2+4a 4t 3

(10)

a(t)=a 2+6a 3t+12a 4t 3(11)考虑到速度时程为零初值曲线,则参数a 1为零,(11)式便是所需要的非零基线形式,非零基线的表达式次数过高,就会导致计算繁琐,此外,在基线漂移中的随机干扰是一些长周期分量,而二次曲线对相当于二倍持续时间长的长周分量有一定的过滤作用[3].从原始的加速度时程中除去非零基线,可以从根源上消除式

(9)表达的积分位移基线漂移现象,该法处理简单,且避免了仅对积分位移作高通滤波处理对加速度、速度和位移之间积分关系的破坏,保证了校正后3者之间的自然积分关系.

3.2 非零基线的最小二乘拟合

设a(t)=a 0+a 1t +a 2t 2为加速时程的非零基线,原始加速度记录为(t i ,g i )(i =0,1,2,3,,,n ),则各离散点偏差及其最小平方和为

u i =a(t i )-g i (i =1,2,3,,,n)(12)

(

E

n

i =1u 2

i

)min =

E

n

i=0[a(t i )-g i ]2=

E n

i=0

[a

+a 1t i +a 2t 2

i -g i ]2

=U (a 0,a 1,a 2)

(i =1,2,3,,,n)(13)

要求最小二乘多项式a =a 0+a 1t +a 2t 2

,就归结为求

U (a 0,a 1,a 2)的最小值点(a *0,a *1,a *

2)问题,由多元函

数微分学知识可知,a *0,a *1,a *

2满足

0+a 1t i +a 2t 2i -g i ]=0[a 0+a 1t i +a 2t 2

i -g i ]=0[a 0+a 1t i +a 2t 2i -g i ]=0(14)515

第28卷 第6期 牛志国等 基于水工标准反应谱的人工地震动合成及其校正

经整理得

(n +1)a 0+(E n

i=1

t i )a

1

+(

E n

i=1t i )a

2

=E n

i=1y

i

(E n

i=1t i )a

+(E n

i =1

t

2i )a 1+(E n

i=1

t 3i )a

2

=E n

i=1t i y

i

(

E n

i=1

t 2i

)a

+(

E n

i =1

t

3i

)a 1+(

E n

i=1

t 4i )a

2

=

E n

i=1

t 2i y

i

(15)

令

S k =E n

i =1t k i ,f j =E n

i =1

y i x j

i ,k =0,1,2,3,4;j =0,1,2

(16)

将(16)带入(15)式,得

S 0a 0+S 1a 1+S 2a 2=f 0S 1a 0+S 2a 1+S 3a 2=f 1S 2a 0+S 3a 1+S 4a 2=f 2

(17)

解上面方程组,求出a 1、a 2、a 3的值,便可得到加速度时程的零线表达式[10].

根据上述校正方法,对如图1所示的人工地震波

g(t)进行校正,按照最小二乘原理,计算得到其均值线方程

a(t)=-0.008412

39+0.000

84661t +(-2

.4609158@10

-5

)t

2

在人工震波g (t)中减去校正曲线,即得处理后的加速度

a(t)=g(t)-a(t)

(18)

将上式积分,便可得到修正的速度波和位移波,见图12、13.

通过图5~9对比图10~14可以看出:

(1)最小二乘校正法对加速度、速度时程没有产生任何显著影响,这说明最小二乘校正法仅滤掉了极低频信号,而且这部分信号对加速度、速度影响都很小,却有效地纠正了积分位移漂移现象.从而保证了加速度、速度、位移3者之间的自然积分关系.

(2)从傅里叶谱来看,小于15的周期分量对应的傅立叶谱值没有发生变化,而周期大于15的分量傅立叶谱值明显降低,说明了通过最小二乘法的校正,滤掉一些的长周期分量,而且这些长周期分量的存在对傅立叶谱的影响很小.

(3)从加速度反应谱来看,反应谱只是在1.2~3.0这段周期范围内个别数值出现了很小的变化,变化的结果是更加逼近标准反应谱,说明滤波过程中滤掉的一些长周期分量中包含有拟合过程中的顽固点.因此,无论从波形还是频谱特性来看,最小二乘校正法对原人工地震波的主要频谱特征和反应谱性质几乎没有影响.

图5 人工地震动加速度波

图6 人工地震动速度波

图7 人工地震动位移波

图8 人工地震动傅立叶谱

图9 人工地震动反应谱

516三峡大学学报(自然科学版) 2006年12月

图10 校正后的加速度

波

图11

校正后的速度波

图12

校正后的位移波

图13 校正后

的傅立叶谱

图14 校正后的反应谱

4 结 语

通过合成人工地震波,并对其进行修正和最小二乘法校正,不但得到了满足精度要求的人工地震波,而且还纠正了人工地震波积分后位移时程的零线漂移现象,说明该方法有以下几个特点:

(1)利用功率谱修正能降低高频区误差作用,进

行功率谱调整和幅值谱修正的同时,还通过最小二乘法对人工地震波进行了校正,有效地纠正了位移时程的漂移,这种方法拟合精度高、简洁,容易掌握.

(2)最小二乘法修正不影响加速度、速度、位移3者的自然积分关系,有利于保持动力计算的数值稳定性.

(3)在抗震分析中,输入地震动的频谱特征是一个重要指标,修正方法对原地震时程频谱改变的大小,是校正成功与否的重要指标,而该方法校正后的

加速度时程仍具有原人工地震动的主要频率特征和反应谱性质;表明校正方法是合理的、可信的.

按照上述方法编制的人工地震波程序,方便地获取了有效的加速度、速度、位移时程记录,对结构抗震计算中,输入地震波的获取带来了方便.参考文献:

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[责任编辑 周丽丽]

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