典型数学问题、物理问题、数学物理问题

世界近代三大数学难题之一。哥德是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为彼得堡科学院院士。1742年，哥德在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的想法:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是着名的哥德猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德猜想(a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德”。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

1920年，挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”。 

1924年，德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7 ”。

1932年，英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”。

1937年，意大利的蕾西(Ricei)先後证明了“5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和“2 + 366 ”。1938年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5 ”。

1940年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”。

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”，其中c是一很大的自然数。

1956年，中国的王元证明了 “3 + 4 ”。

1957年，中国的王元先後证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”。

1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”。

1965年，苏联的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB)，及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1 + 3 ”。

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。

三、数学经典问题·费马最后定理

　　被公认的世界报“纽约时报”於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是“在陈年数学困局中，终於有人呼叫‘我找到了’”。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的男人照片。这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马小传请参考附录）。费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，在三百六十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理这个定理的内容是有关一个方程式 xn + yn =zn的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2，此处z表一直角形之斜边而x、y为其之两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和，这个方程式当然有整数解（其实有很多），例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13...等等。

　　费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解，例如：方程式x3 +y3=z3就无法找到整数解。

　　当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题，三百多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最後定理也就成了数学界的心头大患，极欲解之而後快。

　　十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六０年两度悬赏金质奖章和三百法郎给任何解决此一难题的人，可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫斯克尔（P. Wolfskehl）在1908年提供十万马克，给能够证明费马最後定理是正确的人，有效期间为100年。其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克，虽然如此仍然吸引不少的“数学痴”。

　　二十世纪电脑发展以後，许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确的（注286243-1为一天文数字，大约为25960位数）。

　　虽然如此，数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解决了，这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明。

　　五○年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，後来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八○年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起，而威利斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最後定理也是正确的。这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。1997年6月，威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金，不过威利斯领到时，只值五万美金左右，但威利斯已经名列青史，永垂不朽了。

　　要证明费马最後定理是正确的

　　（即xn + yn = zn 对n≥3 均无正整数解）

　　只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp（p为奇质数），都没有整数解。

　　附录：费马小传

　　费马（Pierre de Fermat）是十七世纪最伟大的数学家之一，1601年8月20日生於法国南部土鲁士（Toulous）附近的一个小镇，父亲是一个皮革商，1665年1月12日逝世。

　　费马在大学时专攻法律，学成後成为专业的律师，也曾经当过土鲁士议会议员。

　　费马是一位博览群书见广多闻的谆谆学者，精通数国语言，对於数学及物理也有浓厚的兴趣，是一位多采多艺的人。虽然他在近三十岁才开始认真专研数学，但是他对数学的贡献使他赢得业余王子（the prince of amateurs）之美称。这个头衔正足以表彰他在数学领域的一级成就，他在笛卡儿（Descartes）之前引进解析几何，而且在微积分的发展上有重大的贡献，尤其为人称道的是费马和巴斯卡(Pascal)被公认是机率论的先驱。然而人们所津津乐道的则是他在数论上的一些杰作，例如费马定理（又称费马小定理，以别於费马最後定理）：ap≡ a(modp)，对任意整数a及质数p均成立。这个定理第一次出现於10年的一封信中，此定理的证明後来由欧拉（Euler）发表。费马为人非常谦虚、不尚名利，生前很少发表论文，他大部分的作品都见诸於与友人之间的信件和私人的札记，但通常都未附证明。最有名的就是俗称的费马最后定理，费马天生的直觉实在是异常敏锐，他所断言的其他定理，後来都陆续被人证出来。有先见之明的费马实在是数学史上的一大奇葩。

四、经典数学问题：四 色 猜 想

世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 

1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后，即10年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。

五、“蜂窝猜想”问题

加拿大科学记者德富林在《环球邮报》上撰文称,经过1600年努力,数学家终于证明蜜蜂是世界上工作效率最高的建筑者。

四世纪古希腊数学家佩波斯提出,蜂窝的优美形状,是自然界最有效劳动的代表。他猜想,人们所见到的、截面呈六边形的蜂窝,是蜜蜂采用最少量的蜂蜡建造成的。他的这一猜想称为"蜂窝猜想但这一猜想一直没有人能证明。

美密执安大学数学家黑尔宣称,他已破解这一猜想。蜂窝是一座十分精密的建筑工程。蜜蜂建巢时,青壮年工蜂负责分泌片状新鲜蜂蜡,每片只有针头大校而另一些工蜂则负责将这些蜂蜡仔细摆放到一定的位置,以形成竖直六面柱体。每一面蜂蜡隔墙厚度及误差都非常小。6面隔墙宽度完全相同,墙之间的角度正好120度,形成一个完美的几何图形。人们一直疑问,蜜蜂为什么不让其巢室呈三角形、正方形或其他形状呢?隔墙为什么呈平面,而不是呈曲面呢?虽然蜂窝是一个三维体建筑,但每一个蜂巢都是六面柱体,而蜂蜡墙的总面积仅与蜂巢的截面有关。由此引出一个数学问题,即寻找面积最大、周长最小的平面图形。

1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。1943年,匈牙利数学家陶斯巧妙地证明,在所有首尾相连的正多边形中,正多边形的周长是最小的。但如果多边形的边是曲线时,会发生什么情况呢?陶斯认为,正六边形与其他任何形状的图形相比,它的周长最小,但他不能证明这一点。而黑尔在考虑了周边是曲线时,无论是曲线向外突,还是向内凹,都证明了由许多正六边形组成的图形周长最校他已将19页的证明过程放在因特网上,许多专家都已看到了这一证明,认为黑尔的证明是正确的。

六、丢番都方程

一个(或一组)整系数的不定方程，如果只要求它的整数解，这不定方程叫做“丢番都方程”。

希腊时代，代数学获得重大的发展，代表人物是丢番都(约公元246—339年)，被誉为代数学的鼻祖。他写了三部书，其中最出色的是《算术》。这部伟大的著作在历史上的重要性可以和欧几里得《几何原本》一比高下。《算术》是讲数的理论的，不过大部分的内容可以划入代数的范围内。书中举出并解决了许多不定方程。

丢番都是系统研究整系数不定方程的整数解的先行者，因此，人们习惯上把这种不定方程叫做“丢番都方程”。丢番都在处理等类型的不定方程时显示出惊人的技巧。例如，《算术》中有一题是：

“把16分为两个平方米之和”。

丢番都设一个平方数为，则另一个数为。为了使也是平方数，他巧妙地设：

即得x。所以一个数为，另一个数为。这个问题具有很大的历史价值，因为它引出了著名的“费马大定理”。

丢番都对于各个都用特殊的方法去解决，很少给出一般的法则，甚至性质很相近的题解法也不同，这是他的一个不足之处。难怪一位德国数学史家说：“近代数学家研究了丢番都100个题后，去解101题，仍然感到困难。”因此近代的数论家如欧拉、拉格朗日、高斯等解决不定方程时不得不另觅途径。1900年德国大数学家希尔伯特提了的23个著名的数学难题中，第10个问题就是关于丢番都方程的：“是不是可以设计一种计算步骤，以判定一个整系数方程有没有整数解?”有人曾用数理逻辑中递归函的概念，定出了这种计算步骤，并得到了公认。但又有数学家证明了这种算法并不能判定丢番都方程有没有整数解。至今希尔伯特等10个问题仍是悬案，有待进一步探讨。

七、七桥问题

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示:

这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

後来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶.

七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。

八、连续统之迷

注：文中将阿拉夫零记为alf(0)，阿拉夫一记为alf(1)，依次类推…)

由于alf(0)是无穷基数，阿拉夫是有异于有限运算的神奇运算，因而，以下的结果也不足为怪：　

alf(0)+ 1 = alf(0) alf(0) + n = alf(0) alf(0) + alf(0) = alf(0) alf(0) X n = alf(0) alf(0) X alf(0) = alf(0)　

alf(0)是自然数集的基数。一个无穷基数，只要是可数集，其基数必为alf(0)。由可排序性，可知如整数集、有理数集的基数为alf(0)；或由它们的基数为alf(0)，得它们为可数集。而实数集不可数（可由康托粉尘线反证不可数）推之存在比alf(0)更大的基数。乘法运算无法突破alf(0),但幂集可突破：２alf(0) = alf(1) 可以证明实数集的基数card(Ｒ) = alf(1)。进而，阿拉夫"家族"一发而不可收：２alf(1) = alf(2); ２alf(2) = alf(3); …… alf(2)究竟有何意义？人们冥思苦想，得出：空间所有曲线的数目。但而后的alf(3)，人类绞尽脑汁，至今为能道出眉目来。此外，还有一个令人困惑的连续统之迷："alf(0)与alf(1)之间是否还存在另一个基数？" 

公元１８７８年，康托提出了这样的猜想：在alf(0)与alf(1)之间不存在其它的基数。但当时康托本人对此无法予以证实。 

公元１９００年，在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，德国哥庭根大学教授希尔伯特提出了举世闻名的２３个二十世纪须攻克的数学问题中，连续统假设显赫的排在第一个。然而这个问题的最终结果却是完全出人意料的。

公元１９３８年，奥地利数学家哥德尔证明了"连续统假设决不会引出矛盾"，意味着人类根本不可能找出连续统假设有什么错误。１９６３年，美国数学家柯亨居然证明了："连续统假设是的"，也就是说连续统假设根本不可能被证明。

平面几何作图只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。

九.几何三大问题

几何三大问题是：

1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆；

2.三等分任意角； 

3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 

圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。 

三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。/18=20。)。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。 

第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。 

1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。

十、数学经典问题·希尔伯特23个数学问题

　　在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。

　　希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。

　　（1）康托的连续统基数问题。

　　1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思（P.Choen）证明连续统假设与ZF公理彼此。因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。

　　（2）算术公理系统的无矛盾性。

　　欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定。根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。

　　（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。

　　问题的意思是：存在两个登高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等德思（M.Dehn）1900年已解决。

　　（4）两点间以直线为距离最短线问题。

　　此问题提的一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在对称距离情况下，问题获解决。

　　（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。

　　这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决。1953年，日本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。

　　（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。

　　1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率理化。后来，在量子力学、量子场论方面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。

　　（7）某些数的超越性的证明。

　　需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理数（例如，2√2和eπ）。苏联的盖尔封特（Gelfond）1929年、德国的施奈德（Schneider）及西格尔（Siegel）1935年分别地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目前，确定所给的数是否超越数，尚无统一的方法。

　　（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德猜想和孪生素共问题。

　　素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德（Goldbach）猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德猜想和孪生素数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。

　　（9）一般互反律在任意数域中的证明。

　　1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷（E.Artin）各自给以基本解决。而类域理论至今还在发展之中。

　　（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？

　　求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210-290，古希腊数学家）方程可解。1950年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnan）、罗宾逊（Robinson）等取得关键性突破。1970年，巴克尔（Baker）、费罗斯（Philos）对含两个未知数的方程取得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学有密切联系。

　　（11）一般代数数域内的二次型论。

　　德国数学家哈塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果。60年代，法国数学家魏依（A.Weil）取得了新进展。

　　（12）类域的构成问题。

　　即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星结果，离彻底解决还很远。

　　（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。

　　七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德（Arnold）证明了任一在［0，1］上连续的实函数f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1～9)，这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1，x2，x3)可写成形式∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1～7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选取可与f完全无关。19年，维土斯金（Vituskin）推广到连续可微情形，对解析函数情形则未解决。

　　（14）某些完备函数系的有限的证明。

　　即域K上的以x1,x2,...,xn为自变量的多项式fi（i=1,...，m），R为K［X1，…，Xm]上的有理函数F（X1，…，Xm）构成的环，并且F（f1，…，fm）∈K[x1，…，xm]试问R是否可由有限个元素F1，…，FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。

　　（15）建立代数几何学的基础。

　　荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。

　　注一：舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础。

　　一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建立。

　　（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。

　　此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部要求讨论备dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N（n）和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对n=2（即二次系统）的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3；1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了（E2）不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系统最多有4个极限环，并且是（1，3）结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构问题，并为研究希尔伯特第（16）问题提供了新的途径。

　　（17）半正定形式的平方和表示。

　　实系数有理函数f(x1,...，xn)对任意数组（x1，…,xn）都恒大于或等于0，确定f是否都能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。

　　（18）用全等多面体构造空间。

　　德国数学家比贝尔（Bieberbach）1910年，莱因哈特（Reinhart）1928年作出部分解决。

　　（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？

　　德国数学家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和苏联数学家彼德罗夫斯基（1939）已解决。

　　（20）研究一般边值问题。

　　此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。

　　（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。

　　此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔（H.Rohrl）于1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅（Deligne）作出了出色贡献。

　　（22）用自守函数将解析函数单值化。

　　此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯（P.Koebe）对一个变量情形已解决而使问题的研究获重要突破。其它方面尚未解决。

　　（23）发展变分学方法的研究。

　　这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。 

看来人们对客观世界的探索、研究是无穷无尽的。以下大体按照物理学的历史发展过程来叙述物理学的发展及其内容。

经  典  力  学

经典力学研究宏观物体低速机械运动的现象和规律，宏观是相对于原子等微观粒子而言的。人们在日常生活中直接接触到的物体常常包含巨量的原子，因此是宏观物体。低速是相对于光速而言的。最快的喷气客机的速度一般也不到光速的一百万分之一，在物理学中仍算是低速。物体的空间位置随时间变化称为机械运动。人们日常生活直接接触到的并首先加以研究的都是宏观低速的机械运动。

自远古以来，由于农业生产需要确定季节，人们就进行天文观察。16世纪后期，人们对行星绕太阳的运动进行了详细、精密的观察。17世纪J.开普勒从这些观察结果中总结出了行星绕日运动的三条经验规律。差不多在同一时期,伽利略进行了落体和抛物体的实验研究,从而提出关于机械运动的初步的现象性理论，并把用实验验证理论结果的方法引入了物理学。I.牛顿深入研究了这些经验规律和初步的现象性理论，发现了宏观低速机械运动的基本规律：包括三条牛顿运动定律和万有引力定律，为经典力学奠定了基础。根据对天王星运行轨道的详细天文观察，并根据牛顿的理论，预言了海王星的存在；以后果然在天文观察中发现了海王星。于是牛顿所提出的力学定律和万有引力定律被普遍接受了。

经典力学中的基本物理量是质点的空间坐标和动量。

一个力学系统在某一时刻的状态由它的每一个质点在这一时刻的空间坐标和动量表示。对于一个不受外界影响，也不影响外界，不包含其他运动形式（如热运动、电磁运动等）的力学系统来说，它的总机械能就是每一个质点的空间坐标和动量的函数，其状态随时间的变化由总能量决定。在经典力学中，力学系统的总能量和总动量有特别重要的意义。物理学的发展表明，任何一个孤立的物理系统，无论怎样变化，其总能量和总动量数值是不变的，它们是守恒量。这种守恒性质的适用范围已经远远超出了经典力学的范围，还没有发现它们的局限性。

在经典力学中出现了三个最普遍的基本物理概念：质量、空间和时间。质量可以作为物质的量的一种度量，空间和时间是物质存在的普遍形式。现有一切物理量的量纲原则上都可以由质量、空间、时间的量纲结合起来表达。具有不同量纲的物理量之间存在着质的差异。量纲在一定程度上反映物理量的质。量纲相同的物理量的质可以相同，但未必一定相同。

在经典力学中，时间和空间之间没有联系。空间向上下四方延伸，同时间无关；时间从过去流向未来，同空间无关。因此，就存在绝对静止的参照系，牛顿运动定律和万有引力定律原来是在这种参照系中表述的。相对于绝对静止的参照系作匀速运动的参照系称为惯性参照系。任何一个质点的坐标，在不同的惯性参照系中取不同的数值，这种不同数值之间的变换关系称为伽利略变换。在这种变换中，尺的长度不变，时钟运行的速度不变，经典力学基本规律的数学形式也不变。利用力学实验方法，无法确定哪些惯性参照系是绝对静止的参照系，因而绝对静止的参照系就成了一个假设。

早在19世纪，经典力学就已经成为物理学中一个成熟的分支学科，它包含了丰富的内容。例如：质点力学、刚体力学、分析力学、弹性力学、塑性力学、流体力学等。经典力学的哈密顿正则方程已成为物理学中的重要方程，并应用到统计物理学、量子力学等近代物理学的理论中。经典力学的应用范围，涉及到能源、航空、航天、机械、建筑、水利、矿山建设直到安全防护等各个领域。当然，工程技术问题常常是综合性的问题，还需要许多学科进行综合研究，才能完全解决。

机械运动中，很普遍的一种运动形式是振动和波动。声学就是系统研究这种运动的产生、传播、转化和吸收的分支学科。声波是传递信息的重要媒介，而且常常是其中不可缺少的环节。人的声带、口腔和耳就是声波的产生器和接收器。人们通过声波传递信息。有许多物体，不易为光波和电磁波透过，却能为声波透过。利用声波研究这种物体的内部性质，例如利用声波在媒质中的传播特性研究地层结构和海洋深处及海底的现象和性质，就有优越性。频率非常低的声波能在大气和海洋中传播到遥远的地方，因此能迅速传递地球上任何地方发生的地震、火山爆发或核爆炸的信息；频率很高的声波和声表面波已经用于固体的研究、微波技术、医疗诊断等领域；非常强的声波已经用于工业加工。

  　 热学、热力学和经典统计力学

热学研究热的产生和传导，研究物质处于热状态下的性质和这些性质如何随着热状态的变化而变化。人们很早就有冷热的概念。利用火是人类文明发展史中的一个重要的里程碑。对于热现象的研究逐步澄清了关于热的模糊概念（例如：区分了温度和热量，发现它们是密切联系而又有区别的两个概念）。在此基础上开始探索热现象的本质和普遍规律。关于热现象的普遍规律的研究称为热力学。到19世纪，热力学已趋于成熟。

　　能量可以有许多种存在形式，力学现象中物体有动能和位能。物体有内部运动，因此有内部能量。19世纪的系统实验研究证明：热是物体内部无序运动的能量的表现，因此称这种能量为内能，以前称作热能。19世纪中期，J.P.焦耳等用实验确定了热量和功之间的定量关系，从而建立了热力学第一定律：宏观机械运动的能量与内能可以互相转化。就一个孤立的物理系统来说，不论能量形式怎样相互转化,总的能量的数值是不变的,热

力学第一定律就是能量守恒与转换定律的一种表现。　　在S.卡诺研究结果的基础上，R.克劳修斯等提出了热力学第二定律。它提出了一切涉及热现象的客观过程的发展方向，表达了宏观非平衡过程的不可逆性。例如：一个孤立的物体，其内部各处的温度不尽相同，那么热就从温度较高的地方流向温度较低的地方，最后达到各处温度都相同的状态，也就是热平衡的状态。相反的过程是不可能的，即这个孤立的、内部各处温度都相等的物体不可能自动回到各处温度不尽相同的状态。应用熵的概念，还可以把热力学第二定律表达为：一个孤立的物理系统的熵不能随着时间的流逝而减少，只能增加或保持不变。当熵达到最大值时，物理系统就处于热平衡状态。热力学是一种唯象的理论。深入研究热现象的本质，就产生了统计力学。统计力学根据物质的微观组成和相互作用，研究由大量粒子组成的宏观物体的性质和行为的统计规律，是理论物理的一个重要分支。

宏观物体内部包含着大量的粒子。要研究其中每一个分子在每一时刻的状态实际上办不到。为了认识热现象的规律，也无需那么详细的知识。统计力学应用统计系综的方法,研究大量粒子的平均行为。20世纪初,J.W.吉布斯奠定了平衡态的统计力学的基础。它的关于统计分布的基本假设是：对于一个具有给定能量的给定物理系统，各种可能的状态出现的几率是等同的。热力学中的各种物理量以及它们之间的关系都可以用这种统计分布的平均值表达。温度一方面同物体内部各分子无序运动的那部分能量有关，另一方面也决定了这种内部能量在物体内部运动状态之间的分布。

非平衡统计力学所研究的问题复杂，直到20世纪中期以后才取得了比较大的进展。对于一个包含有大量粒子的宏观物理系统来说，无序状态的数目比有序状态的数目大得多，实际上多得无法比拟。系统处于无序状态的几率超过了处于有序状态的几率。孤立物理系统总是从比较有序的状态趋向比较无序的状态。在热力学中，这就相应于熵的增加。

处于平衡状态附近的非平衡系统的主要趋向是向平衡状态过渡。平衡态附近的主要非平衡过程是弛豫、输运和涨落。这方面的理论逐步发展，已趋于成熟。近20～30年来人们对于远离平衡态的物理系统如耗散结构等进行了广泛的研究，取得了很大的进展，但还有很多问题等待解决。

在一定时期内，人们对客观世界的认识总是有局限性的，认识到的只是相对的真理，经典力学和以经典力学为基础的经典统计力学也是这样。经典力学应用于原子、分子以及宏观物体的微观结构时，其局限性就显示出来，因而发展了量子力学。与之相应，经典统计力学也发展成为以量子力学为基础的量子统计力学。

经典电磁学、经典电动力学

经典电磁学研究宏观电磁现象和客观物体的电磁性质。人们很早就接触到电的现象和磁的现象，并知道磁棒有南北两极。在18世纪，发现电荷有两种：正电荷和负电荷。不论是电荷还是磁极都是同性相斥，异性相吸，作用力的方向在电荷之间或磁极之间的连接线上，力的大小和它们之间的距离的平方成反比。在这两点上和万有引力很相似。18世纪末发现电荷能够流动，这就是电流。但长期没有发现电和磁之间的联系。

　　19世纪前期，H.C.奥斯特发现电流以力作用于磁针。而后 A.-M.安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直。不久之后，M.法拉第又发现，当磁棒插入导线圈时，导线圈中就产生电流。这些实验表明，在电和磁之间存在着密切的联系。

两个质点之间的万有引力沿着它们之间的连接线起作用。两个电荷之间的作用力也是这样。这些力曾经被认为是超距作用。也就是说：这种力的传递既不需要时间，也不需要媒介。但是在电和磁之间的联系被发现以后，就认识到电磁力的性质在一些方面同万有引力相似，另一些方面却又有差别。为此法拉第引进了力线的概念，认为电流产生围绕着导线的磁力线，电荷向各个方向产生电力线，并在此基础上产生了电磁场的概念。现在人们认识到，电磁场是物质存在的一种特殊形式。电荷在其周围产生电场，这个电场又以力作用于其他电荷。磁体和电流在其周围产生磁场，而这个磁场又以力作用于其他磁体和内部有电流的物体。电磁场也具有能量和动量，是传递电磁力的媒介。它弥漫于整个空间。

19世纪下半叶，J.C.麦克斯韦总结了宏观电磁现象的规律，并引进位移电流的概念。这个概念的核心思想是：变化着的电场能产生磁场；变化着的磁场也能产生电场。在此基础上他提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律。这套方程称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程，其中包含着电荷、电流如何产生电磁场的规律；也包含着电场和磁场相互影响，导致它们在时间和空间中如何变化的规律。麦克斯韦的电磁理论预言了电磁波的存在，其传播速度等于光速。这一预言后来为H.R.赫兹的实验所证实。遂使人们认识到麦克斯韦的电磁理论正确地反映了宏观电磁现象的规律，肯定了光也是一种电磁波。

由于电磁场能够以力作用于带电粒子，一个运动中的带电粒子既受到电场的力，也受到磁场的力，H.A.洛伦兹把运动电荷所受到的电磁场的作用力归结为一个公式，人们就称这个力为洛伦兹力。描述电磁场基本规律的麦克斯韦方程组和洛伦兹力就构成了经典电动力学的基础。

事实上发电机无非是利用电动力学的规律，将机械能转化为电磁能；电动机无非是利用电动力学的规律将电磁能转化为机械能。电报、电话、无线电、电灯也无一不是经典电磁学和经典电动力学发展的产物。经典电动力学对生产力的发展起着重要的推动作用，从而对社会产生普遍而重要的影响。

　　　　　光 学 和 电 磁 波

光学研究光的性质及其和物质的各种相互作用，光是电磁波。虽然可见光的波长范围在 4×10□ ～ 7.6×10□cm之间,只占电磁波中很窄的一个波段，但早在认识到光是电磁波以前,人们就对光进行了研究。17世纪对光的本质提出了两种假说：一种假说认为光是由许多微粒组成的；另一种假说认为光是一种波动。19世纪在实验上确定了光有波的独具的干涉现象，以后的实验证明光是电磁波。20世纪初又发现光具有粒子性，人们在深入研究微观世界后，才认识到，光具有波粒二象性。

光可以为物质所发射、吸收、反射、折射和衍射。当所研究的物体或空间的大小远大于光波的波长时，光可以当作沿直线进行的光线来处理；但当研究深入到现象细节，其空间范围和光波波长差不多大小的时候，就必须着重考虑光的波动性。而研究光和微观粒子的相互作用时，还要考虑光的粒子性。

光学方法是研究大至天体、小至微生物以至分子、原子结构的非常有效的方法。利用光的干涉效应可以进行非常精密的测量。物质所放出来的光携带着关于物质内部结构的重要信息，例如：原子所放出来的原子光谱就和原子结构密切相关。近年来利用受激光辐射机制所产生的激光能够达到非常大的功率，且光束的张角非常小，其电场强度甚至可以超过原子内部的电场强度。利用激光已经开辟了非线性光学等重要研究方向；激光在工业技术和医学中已经有重要的应用。

现在用人工方法产生的电磁波的波长，长的已经达几千米，短的不到一百万亿分之一厘米，覆盖了近20个数量级的波段。电磁波传播的速度大，波段又如此宽广，已成为传递信息的非常有力的工具。在经典电磁学的建立与发展过程中，形成了电磁场的概念。在物理学尔后的发展中，场成了非常基本、非常普遍的概念，变得十分重要。在现代物理学中，场的概念已经远远超出了电磁学的范围，成为物质的一种基本的、普遍的存在形式。

　         　　　　   狭义相对论和相对论力学

在经典力学取得很大成功以后，人们习惯于将一切现象归结为由机械运动所引起的。在电磁场概念提出以后，人们假设存在一种名叫“以太”的媒质，它弥漫于整个宇宙，渗透到所有的物体中，绝对静止不动，没有质量，对物体的运动不产生任何阻力，也不受万有引力的影响。电磁场被认为是以太中的应力，电磁波是以太中的弹性波，它在以太中向各方向的传播速度都一样大（见以太论）。

　可以将以太作为一个绝对静止的参照系，因此相对于以太作匀速运动的参照系都是惯性参照系。在相对于以太作匀速运动的惯性参照系中观察，电磁波的传播速度应该随着波的传播方向而改变。例如：在一个运动的惯性参照系中观察，沿着参照系运动方向传播的光的速率看起来应该慢一些；逆着参照系运动方向传播的光的速率看起来应该快一些。这就给利用测量不同方向光速的方法，在所有的惯性参照系中确定那些是绝对静止的参照系提供了可能性。但实测的结果却出乎意料之外，在不同的、相对作匀速运动的惯性参照系中，测得的光速同传播方向无关，都完全相等。特别是A.A.迈克耳孙和E.W.莫雷进行的非常精确的实验，可靠地证明了这一点。这一实验事实显然同经典物理学中关于时间、空间和以太的概念相矛盾。A.爱因斯坦从这些实验事实出发，对空间、时间的概念进行了深刻的分析，从而建立了新的时空观念，在此基础上他提出了狭义相对论。狭义相对论的基本假设是：

①在一切惯性参照系中，基本物理规律都一样，都可用同一组数学方程来表达；

②对于任何一个光源发出来的光，在一切惯性参照系中测量其传播速率，结果都相等。　　在狭义相对论中，空间和时间是彼此密切联系的统一体,空间距离是相对的,时间也是相对的。在相对于尺和钟作匀速运动的惯性参照系中的观察者看来，尺变短了,钟变慢了。因此尺的长短, 时间的长短都是相对的。但在狭义相对论中，并不是一切都是相对的。

　　　　广义相对论和万有引力的基本理论

　　狭义相对论给牛顿万有引力定律也带来了新问题。牛顿提出的万有引力被认为是一种超距作用，它的传递不需要时间，产生和到达是同时的。这同狭义相对论提出的光速是传播速度的极限相矛盾。而且在狭义相对论中，“同时”是一种相对的概念。因此，必须对牛顿的万有引力定律也加以改造。改造的关键来自R.V.厄缶的实验，它以很高的精确度证明：惯性质量和引力质量相等，因此不论行星的质量多大多小，只要在某一时刻它们的空间坐标和速度都相同，那末它们的运行轨道都将永远相同。引力所决定的运行轨道和运行物体的质量无关,对于所有物体都一样。这个结论提供了一个线索,启发爱因斯坦设想：万有引力效应是空间、时间弯曲的一种表现，从而提出了广义相对论。根据广义相对论，空间、时间的弯曲结构决定于物质的能量密度、动量密度在空间、时间中的分布；而空间、时间的弯曲结构又反过来决定物体的运行轨道。在引力不强，空间、时间弯曲很小的情况下，广义相对论的预言就同牛顿万有引力定律和牛顿运动定律的预言趋于一致；引力较强，空间、时间弯曲较大的情况下，就有区别。但这种区别常常很小，很难在实验中观察到。从广义相对论提出到现在已经过去了70年，至今还只有四种实验能检验出这种区别。

所有这四种实验观察结果都支持广义相对论而不支持牛顿万有引力定律的结论。

广义相对论不仅对于天体的结构和演化的研究有重要意义，对于研究宇宙的结构和演化也有重要意义。

  　　　原子物理学、量子力学、量子电动力学

原子物理学研究原子的性质、内部结构、内部受激状态，以及原子和电磁场、电磁波的相互作用以及原子之间的相互作用。原子是一个很古老的概念。古代就有人认为：宇宙间万物都是由原子组成的。原子是不可分割的、永恒不变的物质最终单元。17年J.J.汤姆孙发现了电子。这才使人们认识到原子不是不可分割的、永恒不变的，而是具有内部结构的粒子。于是在19世纪末，经典物理学的局限性进一步暴露出来。根据经典物理学和原子中存在着电子的实验事实可以推导出：假使空腔壁的温度不为零，一个具有有限体积的空腔内的电磁辐射的能量是无穷大的。这显然不符合客观事实（见黑体辐射）。经典物理学也无法解释光电效应。为此，M.普朗克和爱因斯坦提出了同经典物理学相矛盾的假设：光是由一粒一粒光子组成的，每一粒光子的能量E为

式中为光的频率, h是一个常数,称为普朗克常数。这一假设导出的结论和黑体辐射及光电效应的实验结果符合。于是，19世纪初被否定了的光的微粒说又以新的形式出现。

　　1911年,E.卢瑟福用□粒子散射实验(见原子结构)发现原子的质量绝大部分以及内部的正电荷集中在原子中心一个很小的区域内，这个区域的半径只有原子半径的万分之一左右，因此称为原子核。这才使人们对原子的内部结构得到了一个定性的、符合实际的概念。在某些方面，原子类似一个极小的太阳系，只是太阳和行星之间的作用力是万有引力，而原子核和电子间的作用力是电磁力。

　　用经典物理学来解释原子的内部结构和原子发射出来的光的频谱遇到了不可克服的困难。按照经典电动力学理论，围绕原子核运行的电子因加速运动会辐射电磁波，从而损失能量，电子轨道的半径将逐渐缩小，放出的电磁波的频率会愈来愈高，并连续改变；最后，电子因损失能量而落入原子核中。因此，原子不可能有稳定的结构。但实验表明：原子有很稳定的结构，放出来的电磁波的频谱并不连续，而是分立的，而且这种分立的频谱具有明显的规律性。　　为了解释原子的结构和原子光谱的规律，N.玻尔提出了他的氢原子理论，在经典力学所容许的所有运动状态中，只有那些电子的轨道角动量为的整数倍的状态才是客观规律所允许的状态（见玻尔氢原子理论）。因此原子内部电子围绕原子核运动的能量只能取一系列分立的数值，称为能级。原子吸收或放出光子时,就从一个能级跃迁到另一个能级，光的频率□和光子的能量 □之间有如上述爱因斯坦光子假说的公式所表达的关系。光子的能量 □为这两个能级的能量差。玻尔的氢原子理论在解释氢原子的结构和光谱时取得了很大的成功；但是用来研究氦原子结构时就遇到了困难。显然，经典物理学的可用范围不包括微观世界；而上述普朗克、爱因斯坦、玻尔的学说虽包含了微观世界的部分真理，但都不是微观世界物理现象的完整的基本理论。

　　原子物理学的基本理论是在20世纪20年代中期和后期由L.V.德布罗意、W.K.海森伯、E.薛定谔、P.A.M.狄□克、W.泡利等所创建的量子力学和量子电动力学。它们区别于经典力学和经典电动力学的主要特点是：　

1物理量所能取的数值常常是不连续的，当然，某些物理量在一定范围内也可以取连续的数值；　　

2它们所反映的规律不是确定性的规律，而是统计规律。

这两个特点之间又存在着密切的联系。量子力学和量子电动力学应用于研究原子结构、原子光谱、原子发射、吸收、散射光的过程以及电子、光子和电磁场的相互作用和相互转化过程非常成功。理论结果同最精密的实验结果相符合。

微观客体的一个基本性质是波粒二象性。所有一切微观粒子如：光子、电子、原子等都具有波粒二象性。

对于所有微观粒子,能量E和频率之间、动量和波长之间都有如下的关系：                

这两个关系式表达了微观客体的粒子性和波动性之间的深刻联系。粒子和波是人在宏观世界的实践中形成的概念，它们各自描述了迥然不同的客体。但从宏观世界实践中形成的概念未必恰巧适合于描述微观世界的现象。

现在看来，需要粒子和波动两种概念互相补充，才能全面地反映微观客体在各种不同的条件下所表现的性质。

这一基本特点的另一种表现方式是海森伯的测不准关系。这一关系说明：不可能同时测准一个粒子的位置和动量，位置测得愈准，动量必然测得愈不准；动量测得愈准，位置必然测得愈不准。测不准关系的表达式是：

式中是位置测量的误差，是动量测量的误差。

波粒二象性已经包含在量子力学的数学形式中：在量子力学中物理量由算符表示，物理量所能取的数值就是算符的本征值，本征值常常是不连续的，粒子性就是

这种不连续性的一种表现；物理状态由波函数表达，波动性就是波函数所描述的统计性质的一种表现。

量子力学和量子电动力学产生于原子物理学研究，但是它们起作用的范围远远超出原子物理学。量子力学是所有微观、低速现象所遵循的规律，因此不仅应用于原子物理，也应用于分子物理学、原子核物理学以及宏观物体的微观结构的研究。量子电动力学则是所有微观电磁现象所必须遵循的规律，直到现在，还没有发现量子电动力学的局限性。　　当所研究的现象中，坐标值和动量值的乘积远远大于□时,量子力学和量子电动力学所得到的结果就趋近于经典力学和经典电动力学所得到的结果。例如，观察不到宏观物体的波动性的原因是因为相应的波长太短。一个质量为 1g的物体以1cm/s的速度运动，相应的波长为6×10-27cm,远远小于目前实验技术所能测量出来的最小距离。因此经典力学和经典电动力学仍然是反映宏观力学现象和宏观电磁现象的规律的很好的相对真理。

分子物理学研究原子如何结合成为分子，分子的内部结构、内部运动状态、它的电学性质、磁学性质和光学性质等等。分子物理现象服从量子力学和量子电动力学所反映的规律。简单的分子用量子力学和量子电动力学来分析处理，得到的结果和实验结果相符合，但用量子力学和量子电动力学来处理复杂的分子，数学上非常复杂和困难,很难得到比较准确的结果。由于X射线衍射技术、中子衍射技术、激光技术等的发展，为研究分子提供了有力的实验手段。生命物质内部的分子结构非常复杂，但应用现有的实验技术已经能够对它们的结构包括细胞内染色体中携带遗传密码的分子结构进行详细的分析。分子物理的实验研究正在不断取得进展。

量子统计力学

　　以量子力学为基础的统计力学，称为量子统计力学(见量子统计法)。经典统计力学以经典力学为基础，因而经典统计力学也具有局限性。例如：随着温度趋于绝对零度固体的比热容趋于零的实验现象，就无法用经典统计力学来解释。

　　在宏观世界中，看起来相同的物体总是可以区别的；在微观世界中，同一类粒子却无法区分。例如：所有的电子的一切性质都完全一样。在宏观物理现象中，将两个宏观物体交换,就得到一个和原来状态不同的状态,进行统计时必须将交换前和交换后的状态当作两个不同的状态处理；但是在一个物理系统中,交换两个电子后,得到的还是原来的状态，因此进行统计时，必须将交换前和交换后的状态当作同一个状态来处理。

　　微观粒子还有其他特殊性。自旋为□ 的半整倍数的粒子，如电子，服从费密-狄□克统计,这类粒子统称为“费密子”；自旋为□的整数倍的粒子，如光子,服从玻色-爱因斯坦统计(见全同粒子),这类粒子统称为“玻色子”。根据微观世界的这些规律改造经典统计力学，就得到量子统计力学。应用量子统计力学就能使一系列经典统计力学无法解释的现象，如黑体辐射、低温下的固体比热容、固体中的电子为什么对比热的贡献如此小等等，得到了合理的解释。

固 体 物 理 学

　　固体物理学研究固体的性质，它的微观结构及其各种内部运动，以及这种微观结构和内部运动同固体的宏观性质（如力学性质、热学性质、光学性质、电磁性质等等）的关系。每立方厘米固体中包含巨量的原子，因此上述问题是多体问题。固体的内部结构和运动形式很复杂，这方面的研究是从晶体开始的，因为晶体的内部结构简单，而且具有明显的规律性，较易研究。以后进一步研究一切处于凝聚状态的物体的内部结构、内部运动以及它们和宏观物理性质的关系。这类研究统称为凝聚态物理学。

　　固体中电子的运动状态服从量子力学和量子电动力学的规律。在晶体中，原子（离子、分子）有规则地排列，形成点阵。20世纪初,M.von劳厄和布□格父子发展了X射线衍射方法,用以研究点阵结构。第二次世界大战以后，又发展了中子衍射方法，使晶体点阵结构的实验研究得到了进一步发展。

　　在晶体中，原子的外层电子可能具有的能量形成一段一段的能带(见固体的能带)。电子不可能具有能带以外的能量值。按电子在能带中不同的填充方式，可以把晶体区别为金属、绝缘体和半导体。能带理论结合半导体锗和硅的基础研究，高质量的半导体单晶生长和掺杂技术,导致J.巴丁、W.H.布□顿和W.肖克莱于1947～1948年发明了晶体管。

　　电子具有自旋和磁矩，它们和电子在晶体中的轨道运动一起,决定了晶体的磁学性质,晶体的许多性质（如力学性质、光学性质、电磁性质等）常常不是各向同性的。作为一个整体的点阵，有大量内部自由度，因此具有大量的集体运动方式，具有各式各样的元激发（见固体中的元激发）。晶体的许多性质都和点阵的结构及其各种运动模式密切相关，晶体内部电子的运动和点阵的运动之间相耦合，也对固体的性质有重要的影响。例如：

H.开默林－昂内斯在1911年发现，金属在低温下有超导电性；江崎玲於奈在1960年发现超导体的单电子隧道效应。这些效应都和这种不同运动模式之间的耦合相关。

　　晶体内部的原子可以形成不同形式的点阵。处于不同形式点阵的晶体,虽然化学成分相同,物理性质却可能不同。不同的点阵形式具有不同的能量：在低温时，点阵处于能量最低的形式；当晶体的内部能量增高，温度升高到一定数值，点阵就会转变到能量较高的形式。这种转变称为相变。相变会导致晶体物理性质的改变。温度不断升高，晶体可以经历几次相变。温度升高了，晶体就会熔化为液体；温度更高时，液体就会沸腾而转化为气体；温度再升高，气体中的分子就分解为原子；温度再升高，原子就分解为离子和电子，气体就转化为等离子体。这些变化都称为相变。相变是重要的物理现象，也是重要的研究课题。

　　点阵结构完好无缺的晶体是一种理想的物理状态。实际晶体内部的点阵结构总会有缺陷；化学成分也不会绝对纯，内部会含有杂质。这些缺陷和杂质对固体的物理性质（包括力学、电学、磁学、发光学等）以及功能材料的技术性能，常常会产生重要的影响。大规模集成电路的制造工艺中，控制和利用杂质和缺陷是很重要的。

晶体的表面性质和界面性质，会对许多物理过程和化学过程产生重要的影响。所有这些都已成为固体物理研究中的重要领域（见晶体缺陷、晶粒间界、表面物理学）。

　　非晶态固体内部结构的无序性使得对于它们的研究变得更加复杂。非晶态固体有一些特殊的物理性质，使得它有多方面的应用。这是一个正在发展中的新的研究领域（见非晶态半导体、非晶态材料、非晶态材料的结模型）。　　固体物理对于技术的发展有很重要的作用。在晶体管发明以后，集成电路技术迅速发展，电子学技术、计算技术以至整个信息产业也随之迅速发展。其经济影响和社会影响是性的。这种影响甚至在日常生活中也处处可见。固体物理学也是发展具有特定物理性质（如：发光性质、磁学性质、电学性质）材料的基础，这些材料对于工业技术的发展，往往有重要的作用。

 　　　　　　　　原子核物理学

原子核是比原子更深一个层次的物质结构。原子核物理学研究原子核的性质，它的内部结构、内部运动、内部激发状态、衰变过程、裂变过程以及它们之间的反应过程。在原子核被发现以后，曾经以为原子核是由质子和电子组成的。1932年，J.查德威克发现了中子，这才使人们认识到原子核是由质子和中子组成的。质子和中子统称为核子，核子在原子核中的结合能远大于电子在原子中的结合能。

　　中子不带电。质子带正电荷，因此质子间存在着静电排斥力。万有引力虽然使各核子相互吸引，但在两个质子之间的静电排斥力比它们之间的万有引力要大到约1036倍。显然,将核子结合成为原子核的既不可能是电磁相互作用，也不可能是万有引力相互作用。自然界一定存在第三种基本相互作用──强相互作用。人们将核子结合成为原子核的力称为核力。核力来源于强相互作用，在宏观物理现象中，能够直接观察到万有引力和电磁力，因为它们是长程力；但从未能直接观察到核力，因为核力是短程力。从原子核的大小以及核子和核子碰撞时的截面估计，核力的力程约为10□cm。

　　地球上的原子核绝大多数是稳定的；只有一些质量很大的原子核在没有外来影响下能自行转化为质量较小的其他原子核。在这种自行转化的过程中会放出射线。

放出的射线有三种：一种由波长很短、能量很高的光子组成,相应的转化过程是由电磁相互作用产生的;第二种射线由氦原子核组成，相应的转化过程是强相互作用和电磁相互作用结合产生的;第三种射线由电子组成,在相应的转化过程中还同时放出一种叫做中微子的粒子。中微子不带电，质量非常小，可能等于零。中微子和物质的相互作用非常弱，直到20世纪50年代才在实验中被探测到。因此，自然界还存在着一种远较电磁相互作用为弱的第四种基本相互作用──弱相互作用。原子核放出电子和中微子的过程是由弱相互作用导致的。所有能自行转化并放出射线的原子核统称为放射性原子核。这种转化过程称为衰变过程。

　　原子核主要由强相互作用将核子结合而成，当原子核的结构发生变化或原子核之间发生反应时，要吸收或放出很大的能量。一些很重的原子核（如铀原子核）在吸收一个中子以后，会裂变成为两个较轻的原子核，同时放出二个到三个中子和很大的能量。两个很轻的原子核也能熔合成为一个较重的原子核，同时放出很大的能量。这种原子核熔合过程也叫作聚变。　　粒子加速器的发明和裂变反应堆的建成使人能够获得大量能量较高的质子、电子、光子、原子核和大量中子，用以轰击原子核，以便系统地开展关于原子核的性质及其运动、转化和相互作用过程的研究。　　高能物理研究发现，核子还有内部结构。核子的半

径和原子核的半径都是10□cm数量级，因此原子核的内部结构很难和核子的内部结构截然分开。　　原子核结构是一个远较原子结构为复杂的研究领域。目前，已有的关于原子核结构，原子核反应和衰变的理论都是模型理论。其中一部分相当成功地反映了原子核的客观规律。原子核的实验研究和理论研究仍在探索和发展之中。

　　原子核物理的研究已经产生了重要的社会效果。1kg铀裂变时所释放的能量相当于约2万吨TNT炸药爆炸时所释放的能量。这就是原子弹爆炸和核发电站中的关键物理过程。1kg重氢原子核聚变为氦原子核所释放的能量还要大几倍。轻原子核聚变为较重的原子核并释放能量的过程，就是太阳几十亿年来大量放光、放热的能量来源，也是热核爆炸的能量来源。海洋中有几乎取之不尽的重氢，假使能使重氢的聚变反应有控制地进行，那么能源

问题就将得到较彻底的解决。由于放射性同位素所放出的射线穿透力很强，能产生各种物理效应、化学效应和生物效应，这些射线又容易探测，因此放射性同位素在工业、农业、医学和科学研究中已经有广泛的应用。

　　　　　　　　等离子体物理学

　　等离子体物理研究等离子体的形成及其各种性质和运动规律。宇宙间的大部分物质处于等离子体状态。例如：太阳系的物质绝大部分集中于太阳，太阳中心区的温度超过10□℃,太阳中的绝大部分物质处于等离子体状态。地球高空的电离层也处于等离子体状态。19世纪以来对于气体放电的研究、20世纪初以来对于高空电离层的研究推动了对等离子体的研究工作。从20世纪50年代起，为了利用轻核聚变反应解决能源问题，促使等离子体物理学研究蓬勃发展。等离子体内部存在着很多种运动形式，并且相互转化着，高温等离子体还有多种不稳定性。因此等离子体研究是个非常复杂的问题。虽然知道了描述等离子体的基本数学方程，但这组方程非常难解，目前还很难用以准确预言等离子体的性质和行为。等离子体的实验研究，因为因素复杂多变，所以难度也很大，目前精确度还不高。现在正在大力进行这方面的研究，以期能够发展出一套方法，使等离子体的温度升高到一亿度以上，并能控制它的不稳定性,在足够长的时间内，将它约束住,使热核反应得以比较充分地进行下去。

  　　　　　　　粒 子 物 理 学

目前实验上所能探测到的物质结构最深层次的研究称为粒子物理学，也称为高能物理学。在20世纪20年代末,人们曾经认为电子和质子是基本粒子,后来又发现了中子。在宇宙线研究和后来利用高能加速器进行的实验研究中，又发现了数以百计的不同种类的粒子。它们都能产生、消灭、相互转化，连电子和质子也不例外。在条件具备时，电子和质子也能产生和消灭，转化为其他粒子。这些粒子的性质很有规律性。看来它们不是以前所设想的永恒不变的、不可分割的基本粒子。所以现在将基本两字去掉，统称为粒子。　　研究这些粒子，发现它们都是配成对的。配成对的粒子称为正、反粒子。正、反粒子一部分性质完全相同，另一部分性质完全相反。例如：电子和正电子是一对正、反粒子。它们的质量和自旋完全相同，它们的电荷和磁矩完全相反。有一小部分正、反粒子，它们的所有性质完全相同。它们就是同一种粒子。光子就是这样一种粒子。

另一个重要发现是，没有一种粒子是不生不灭、永恒不变的，在一定条件下都能产生和消灭。例如：原来认为电子是不生不灭的和永恒不变的。后来发现，高能光子在原子核的电场中能转化为一对电子和正电子。电子和正电子相遇，就会同时湮没而转化为两个或三个光子。

在所有这些粒子中，光子是传递电磁相互作用的媒介，1983年发现的W+、 W-和中间玻色子是传递弱相互作用的媒介。但迄今还没有在实验上发现理论上预言的传递万有引力的引力子和传递强相互作用的胶子。

 1983年在实验上发现这一理论所预言的W+、W-、中间玻色子是一种关键性的检验，这是继麦克斯韦建立将电和磁统一起来的理论以后，向统一地理解各种基本相互作用的研究方向迈出的意义重大的一步。

粒子物理研究虽然已经获得了重要的进展，但仍是一门年轻的、迅速发展的分支学科。　　实验表明：波粒二象性以及粒子的产生和消灭是微观、高速物理过程中的普遍现象。量子力学能反映波粒二象性，但不能反映粒子的产生和消灭。经典场论能反映波动的场的产生和消灭，但不能反映波粒二象性。为了克服这种局限性，可以按照将经典力学改造成为量子力学的方法，将经典场论改造成为量子场论。量子电动力学是最早建立的量子场论，并且非常成功。现在建立的一切关于微观、高速物理现象的基本理论都是量子场论。

在量子场论中，各种粒子如光子、中间玻色子、轻子、层子等均用相应的量子场来反映。空间、时间中每一点的量子场均以算符来表示，称为场算符。这些场算符满足一定的微分方程和对易关系或反对易关系。量子场的确既能反映波粒二象性，又能反映粒子的产生和消灭，还能自然地反映正、反粒子配成对的现象。

量子场论取得了一系列成就，也碰到了困难。以量子电动力学为例：用量子电动力学计算任何电磁过程的最低次近似，得到的结果都同实验符合得相当好。但为了使理论结果和实验结果符合得更好而计算高次近似的贡献时，却得到了无穷大的结果。这种困难称为发散困难。1948年R.P.费因曼、J.S.施温格、朝永振一郎等提出了一种能成功地处理这种发散困难的重正化方法。用这种方法处理量子电动力学问题，得到了很好的结果。

量子场论的另一重要进展是1954年杨振宁和R.L.密耳斯提出的非阿贝耳规范场论（见规范场），其核心思想是物理基本规律的定域对称性（见对称性和守恒律）。

电弱统一理论就是以非阿贝耳规范场为基础的。目前讨论得最多的一种探索性的强相互作用的基本理论──量子色动力学，也是一种非阿贝耳规范场论。

对称性在物理学中占有很重要的地位。可以证明，假使物理基本规律具有某种对称性，与之相应就有某种守恒定律。例如：物理基本规律在空间各处都一样，与之相应就有动量守恒定律；假使物理基本规律在任何时间都一样，与之相应就有能量守恒定律；假使物理基本规律对于相变换具有不变性，与之相应就有电荷守恒定律。

假使物理规律的某种对称性是定域的，那么与之相应一定存在某种基本相互作用。目前已经通过实验严格检验的广义相对论、量子电动力学和电弱统一理论都来源于定域对称性。也就是说：万有引力相互作用、电磁相互作用和弱相互作用都来源于定域对称性。

令

   计算机仿真程序

% exercise 1.23(1)

%n=input('please enter sides n=')

n=17;

r=1;

x1=-r:0.01:r

q=1-x1.^2

y1=sqrt(q);

a=2*r*sin(pi/n)

N=0:1:n

 x=a/(2*sin(pi/n))*cos(2*pi*N/n)

 y=a/(2*sin(pi/n))*sin(2*pi*N/n)

plot(x1,y1,'m',x1,-y1,'m',x,y);

title('单位圆内接正十七边形')

% exercise 1.23(2)

t=exp(i*2*pi/17);

p=0.5*(sqrt(17)-1);

q=-0.5*(sqrt(17)+1);

r=0.5*(p+sqrt(p^2+4));

s=0.5*(q+sqrt(q^2+4));

x=0.5*(r+sqrt(r^2-4*s));

a=sqrt(2-x)

说明：图21.5中黑实线代表等势线，箭头构成电力线．根据题中电荷的位置，不难看出图中右下方为正电荷，左上方为负电荷．        

三、  利用计算机仿真的方法分别绘出函数的图形。

解：用matlab绘出函数的图形的程序

z=5*cplxgrid(30); 

cplxmap(z,cos(z));

colorbar('vert');

title('cos(z)')

z=5*cplxgrid(30); 

figure;

cplxmap(z,sinh(z));

colorbar('vert');

title('sinh(z)')

z=5*cplxgrid(30); 

figure;

cplxmap(z,tan(z));

colorbar('vert');

title('tan(z)')

四. 利用计算机仿真的方法分别绘出函数的图形。

【解】用matlab绘出函数的图形的程序

x=cplxgrid(30);

cplxmap(x, 2.^x);

colorbar('vert'); 

title('2^x');

figure;

x=cplxgrid(20);

w=log(1+x);

for k=0:3

    w=w+i*2*pi;

surf(real(x),imag(x),imag(w),real(w)); 

colorbar('vert');             

    hold on; 

    title('Ln(1+x)');

end;

view(-75,30);

z=cplxgrid(30);

figure;

cplxmap(z, z.^3);

colorbar('vert'); 

title('z^3');

z=cplxgrid(30);

figure;

cplxmap(z, z.^(1/3));

colorbar('vert'); 

title('z^1/3');

（1） 

（2）显示三维图形解

（3）等值线图和三维图

%pdesurf(p,t,u-exact);

pdeplot (p,e,t,'xydata',u-exact, 'zdata',u-exact, 'mesh', 'on');   % 误差解图显示

八．用MATLAB求解下列定解问题并动态显示解的分布．

解：

g='squareg';                          % 定义单位方形区域

b='squareb1';                         %定义零边界条件

c=1;a=0;f=0;d=1;

[p,e,t]=initmesh('squareg');   

x=p(1,:)';                      % 注意坐标向量都是列向量

y=p(2,:)';

u0=atan(cos(3*pi*x));    

ut0=5*sin(2*pi*x).*exp(cos(pi*y));

n=31;

tlist=linspace(0,5,n);              % 在0～5之间产生n个均匀的时间点

u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);

delta=-1:0.1:1;

[uxy, tn, a2, a3]=tri2grid(p, t, u1(:, 1), delta, delta);

gp=[tn; a2; a3];

newplot;                                   % 建立新的坐标系

newplot;

M=moviein(n);

umax=max(max(u1));

umin=min(min(u1));

for  i=1: n, ...                            % 注意‘…’符号不可省略

if  rem(i,10) == 0, ...  ％ 当n是10的整数倍时，在命令窗口打印出相应的数字

fprintf('%d  ', i); ... 

end, ...

pdeplot(p, e, t, 'xydata', u1(:, i),'zdata', u1(:,i), 'zstyle', 'continuous', 'mesh', 'on', 'xygrid','on', 'gridparam', gp, 'colorbar', 'off'); ...

axis([-1, 1, -1, 1 umin umax]); caxis([umin umax]); ...

M(:, i)=getframe; ...

if  i ==n, ...

fprintf('done\\n' ); ...

end, ...

end

nfps=5;

movie(M,10,nfps); 

运行结果是：

    drawnow

end

figure(2)

waterfall(X(1:50:3000,:),T(1:50:3000,:),u(1:50:3000,:))

Xlabel('x')

Ylabel('t')

十． 计算机仿真绘出勒让德函数的图形.

解：用matlab绘出勒让德函数的图形的程序C23.1.m:

y1=legendre(1,x);

y2=legendre(2,x);

y3=legendre(3,x);

y4=legendre(4,x);

y5=legendre(5,x);

y6=legendre(6,x);

plot(x,y1(1,:),x,y2(1,:),x,y3(1,:),x,y4(1,:),x,y5(1,:), x,y6(1,:))

title('Legendre')

十一．计算机仿真绘出贝塞尔函数的图形.

解：用matlab绘出贝塞尔函数的图形的程序C23.2.m:

clear

y=besselj(0:6,(0:.2:10)');

figure(1)

plot((0:.2:10)',y)