立体几何练习题

题型一、平行与垂直的证明

例1．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD

例2．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

变式：

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.  

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

题型二、空间角与距离

例3．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，，为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

例4. 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求点E到平面的距离.

变式：

如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）求证：⊥面；

（2）求二面角的大小．

题型三、探索性问题

例5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． 

（1）求证：平面PAD；

（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，  直线平面PCD？

变式：

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形

(1)求证：ADBC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.

题型四、折叠、展开问题

例6．已知正方形  、分别是、的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为  

(1) 证明平面；

(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值。  

变式：

如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

题型五、多面体的组合问题

例7．是正四棱锥，是正方体，其中．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（Ⅲ）求到平面的距离．

变式：

如图4，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

题型六、表面积与体积问题

例8．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，．

（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

变式：

正方体，，E为棱的中点．

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

反馈练习：

1．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底

面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC

所成角的大小为（   ）

A．90°    B．60°        C．45°      D．30°

2．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是(    )

A．         B．      C．         D．2

3.  在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(    )

A.            B.              C.              D.  

4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面

A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（    ）

　　A、　B、　C、　D、

5．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是

30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为（    ）

 A．60°        B．45°       C．30°        D．15°

6．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（   ）

    A．    B．    C．    D． 

7  设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________。(填序号) 

①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；

③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面.

8．已知点在同一个球面上，若，则两点间的球面距离是             。

9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________

10．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为________ 

11．如图在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

12．如图，在直三棱柱中，平面侧面

 （Ⅰ）求证： 

 （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

题型一、平行与垂直的证明

例1．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD

解：（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO.

∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点

在中，EO是中位线，∴PA // EO

而平面EDB且平面EDB，所以，PA // 平面EDB

（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴

∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴.    ①

同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC.而平面PDC，∴.    ②

由①和②推得平面PBC.而平面PBC，∴

又且，所以PB⊥平面EFD.

例2．四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，侧面底面ABCD，已知，，．

（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．

解：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．因为，所以，又，故为等腰直角三角形，由三垂线定理，得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，故，由，．又，作，垂足为，则平面，连结．为直线与平面所成的角．

，所以直线与平面所成的角为．

变式：

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.  

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小.

解：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，

∴由三垂线定理得：CD⊥PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD.又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.

（Ⅱ）过点B作BE//CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形.  由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

在Rt△PEB中BE=，PB=，   

（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

在等腰三角形AMC中，AN·MC=，.  

 ∴AB=2，故所求的二面角为

题型二、空间角与距离

例3．如图，在四棱锥中，底面四边长为1的 菱形，，为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

方法一：（1）为异面直线与所成的角（或其补角）作连接

，

所以与所成角的大小为

（２）点A和点B到平面OCD的距离相等，

连接OP，过点A作于点Q，

又，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

    ， 

，所以点B到平面OCD的距离为

方法二：作于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为轴建立坐标系

，

(1)设与所成的角为， 

  ， 与所成角的大小为

(2) 

设平面OCD的法向量为，则

即    取，解得

设点B到平面OCD的距离为，则为在向量上的投影的绝对值，.所以点B到平面OCD的距离为

例4. 如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2

（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（Ⅲ）求点E到平面的距离.

解：(1)连结OC.

∵BO=DO，AB=AD， ∴AO⊥BD.

∵BO=DO，BC=CD， ∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=.

而AC=2，∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.

（Ⅱ）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中， 是直角△AOC斜边AC上的中线，∴∴∴异面直线AB与CD所成角的大小为

（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.

，∴·S△ACD =·AO·S△CDE.   在△ACD中，CA=CD=2，AD=，

∴S△ACD=而AO=1， S△CDE=

∴h=∴点E到平面ACD的距离为.

变式：

如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过的平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知．

（1）求证：⊥面；

（2）求二面角的大小．

解法一：（1）依题设，是的中位线，所以∥，则∥平面，所以∥。 

又是的中点，所以⊥，则⊥。               

因为⊥，⊥，

所以⊥面，则⊥，

因此⊥面。

（2）作⊥于，连。

因为⊥平面，根据三垂线定理知，⊥，就是二面角的平面角。 

作⊥于，则∥，则是的中点，则。

设，由得，解得，

在中，则，。

所以，故二面角为。

解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则

所以

所以所以平面 

由∥得∥，故：平面 

 (2)由已知设则

由与共线得:存在有得

同理: 

设是平面的一个法向量，

则令得   

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为                  

题型三、探索性问题

例5.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点． 

（1）求证：平面PAD；（2）当平面PCD与平面ABCD成多大二面角时，  直线平面PCD？

解：（1）取CD中点G，连结EG、FG，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG//AD，FG//PD，∴平面EFG//平面PAD，∴ EF//平面PAD．  

（2）当平面PCD与平面ABCD成45角时，直线EF平面PCD.

证明：∵G为CD中点，则EGCD，∵PA底面ABCD∴AD是PD在平面ABCD内的射影。  ∵CD平面ABCD，且CDAD，故CDPD   ．又∵FG∥PD∴FGCD，故EGF为平面PCD 与平面ABCD所成二面角的平面角，即EGF=45，从而得ADP=45，  AD=AP.由RtPAERtCBE，得PE=CE.又F是PC的中点，∴EFPC.

由CDEG，CDFG，得CD平面EFG，∴CDEF，即EFCD，故EF平面PCD．   

变式：

如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形。

(1)求证：ADBC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.

解： (1)作面于，连

又，则是正方形.则

 (2)作于，作交于，则就是二面角的平面角.

是的中点，且∥

则

由余弦定理得

(3)设为所求的点，作于，连.则∥

就是与面所成的角，则.

设，易得

解得

故线段上存在点，且时，与面成角.

题型四、折叠、展开问题

例6．已知正方形  、分别是、的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为

.

(1)证明平面；

(2)若为正三角形，试判断点在平面内的射影是否在直线上，证明你的结论，并求角的余弦值.

解析: (1)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点， EB//FD，且EB=FD，

四边形EBFD为平行四边形.  BF//ED.， 平面.

(2)如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过点A作AG垂直于平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD  ACD为正三角形， AC=AD. CG=GD.

G在CD的垂直平分线上，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以.设原正方体的边长为2a，连结AF，在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，即AEF为直角三角形，. 

在RtADE中， .，     

变式：

如图，在直角梯形P1DCB中，P1D∥CB，CD⊥P1D，P1D＝6，BC＝3，DC＝，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；

 （Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的锐二面角的大小．

解：(Ⅰ)                 　　

　　　AB∥DC，DC平面PAD．

DCPD  DCAD，　　

PDA为二面角P－CD－B的平面角．　　

　故PDA＝45°  PA＝AD＝3， 

 APD＝45°． PAAD．又PAAB ，PA平面ABCD．

（Ⅱ）证：延长DA，CE交于点N，连结PN，　 由折叠知又．

，又由（１）知，

为二面角的平面角。在直角三角形中，

，．即平面PEC和平面PAD所成锐二面角为30°． 

题型五、多面体的组合问题

例7．是正四棱锥，是正方体，其中．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；

（Ⅲ）求到平面的距离．

解：(Ⅰ) 连结AC ， 交BD于点O ， 连结PO ， 则PO⊥面ABCD ， 又∵ ， ∴， ∵， ∴ ． 

 （Ⅱ） ∵AO⊥BD ， AO⊥PO ， ∴AO⊥面PBD ， 过点O作OM⊥PD于点M，连结AM ， AM⊥PD ，   ∴∠AMO 就是二面角A-PD-O的平面角， ∵，∴AO=，PO= 

 ， ∴ ，即二面角的大小为.

 (Ⅲ)，即有

 解得，即到平面PAD的距离为

变式：

如图4，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; 

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角; 

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

解：（Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM.

因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，

所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM.

又平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结AC、BD设，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.

因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形，AQ∥PC.

从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.

因为，所以.

从而异面直线AQ与PB所成的角是.

(Ⅲ)连结OM，则.所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ.

由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离.

在直角△PMO中，.即点P到平面QAD的距离是.

题型六、表面积与体积问题

例8．如图，在四棱锥中，平面平面， 

是等边三角形，已知，．

（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；

（Ⅱ）求四棱锥的体积．

解：（Ⅰ）在中，由于，，

所以．故．

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面，又平面，故平面平面．

（Ⅱ）过作交于，由于平面平面，所以平面．

因此为四棱锥的高，又是边长为4的等边三角形．

因此．在底面四边形中，，

所以四边形是梯形，在中，斜边边上的高为，

此即为梯形的高，所以四边形的面积为．

故．

变式：

正方体，，E为棱的中点．

(Ⅰ) 求证：；

(Ⅱ) 求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

解：(Ⅰ)连结，则//， ∵是正方形，∴．∵面，∴．又，∴面．∵面，∴，∴．  

（Ⅱ）作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴．

∵是的中点，∴，

又，∴．∴四边形是平行四边形， //，

∵，，∴平面面.

又平面，∴面．  

（3）． 

反馈练习：

1．如图所示，已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底

面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC

所成角的大小为（  B  ）

A．90°    B．60°        C．45°      D．30°

2．长方体的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，则顶点A、B间的球面距离是(  B   )

A．         B．      C．         D．2

3  在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(  D  )

A．             B              C              D.

4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面

A1B1C1D1的中心，则O到平面AB C1D1的距离为（  B  ）

　　A、　B、　C、　D、

5．△ABC的顶点B在平面a内，A、C在a的同一侧，AB、BC与a所成的角分别是30°和45°，若AB=3，BC= ，AC=5，则AC与a所成的角为（  C  ）

 A．60°        B．45°       C．30°        D．15°

6．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ C  ）

    A．    B．    C．    D． 

7  设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________。(填序号) ②③

①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面.

8．已知点在同一个球面上， 若，则两点间的球面距离是             。

9．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________ 60°

10．空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为________ a

11．如图在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．

（Ⅰ）证明平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

解：（Ⅰ）在中，由题设，，可得，于是．在矩形中，又，所以平面．

（Ⅱ）由题设，所以（或其补角）是异面直线与所成的角．

在中，由余弦定理得．

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，

故．所以异面直线与所成的角的大小为．

（Ⅲ）过点作于，过点作于，连结．

因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．由题设可得，，

，．

于是在中，．所以二面角的大小为．

12．如图，在直三棱柱中，平面侧面

（Ⅰ）求证： 

（Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角

(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，

得AD⊥平面A1BC.又BC平面A1BC所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.

(Ⅱ)连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1= .于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝，∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.

又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋ ＝∠AA1B＋ ＝，故θ＋ ＝.