最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论

一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 

 1、周期函数的定义：

对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。

分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:

。把个单位即按向量在其他周期的图像：。

2、奇偶函数：

设

若

若。

分段函数的奇偶性

3、函数的对称性：

（1）中心对称即点对称：

点

（2）轴对称：对称轴方程为：。

关于直线

函数关于直线

成轴对称。

关于直线

成轴对称。

二、函数对称性的几个重要结论

（一）函数图象本身的对称性（自身对称）

若，则具有周期性；

若，则具有对称性：

“内同表示周期性，内反表示对称性”。

1、 图象关于直线对称

推论1： 的图象关于直线对称

推论2、   的图象关于直线对称

推论3、    的图象关于直线对称

2、   的图象关于点对称

推论1、  的图象关于点对称

推论2、   的图象关于点对称

推论3、 的图象关于点对称

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、偶函数与图象关于Y轴对称

2、奇函数与图象关于原点对称函数

3、函数与图象关于X轴对称

4、互为反函数与函数图象关于直线对称

5.函数与图象关于直线对称   

推论1:函数与图象关于直线对称

推论2:函数与   图象关于直线对称

推论3:函数与图象关于直线对称

（三）抽象函数的对称性与周期性

1、抽象函数的对称性

性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝f(a－x) 

（2）f(2a－x)＝f(x) 

（3）f(2a＋x)＝f(－x)

性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝－f(a－x)

（2）f(2a－x)＝－f(x)

    （3）f(2a＋x)＝－f(－x)

易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

2、复合函数的奇偶性

定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，

         则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，

         则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。

说明：

（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；

               y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)

（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）

3、复合函数的对称性

性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称

性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称

推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称

推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称

4、函数的周期性

若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。

①f(x＋a)＝f(x－a) 

②f(x＋a)＝－f(x)

③f(x＋a)＝1/f(x)  

④f(x＋a)＝－1/f(x)

5、函数的对称性与周期性

性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|

性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|

     6、函数对称性的应用

   （1）若,即

     （2）例题

      1、;

      2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：。

      3、若的图像关于直线对称。设

.

（四）常用函数的对称性

三、函数周期性的几个重要结论

1、( )  的周期为，()也是函数的周期

2、 的周期为

3、     的周期为

4、      的周期为

5、     的周期为

6、   的周期为

7、    的周期为

8、   的周期为

9、     的周期为

10、若

11、有两条对称轴和  周期

推论：偶函数满足 周期

12、有两个对称中心和   周期

推论：奇函数满足 周期

13、有一条对称轴和一个对称中心的

四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型

灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。

1.求函数值

例1.（1996年高考题）设是上的奇函数，当时，，则等于（-0.5）

（A）0.5;         （B）-0.5;        （C）1.5;         （D）-1.5.

例2．（19年北京市中学生数学竞赛题）已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.。

2、比较函数值大小

例3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.

解：是以2为周期的偶函数，又在上是增函数，且，

3、求函数解析式

例4.（19年高考题）设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.

解：设

时，有 

是以2 为周期的函数，.

例5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.

解：当，即，

又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，

4、判断函数奇偶性

例6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，

判断函数的奇偶性.

解：由的周期为4，得，由得

，故为偶函数.

5、确定函数图象与轴交点的个数

例7.设函数对任意实数满足， 

判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.

解：由题设知函数图象关于直线和对称，又由函数的性质得

是以10为周期的函数.在一个周期区间上，

故图象与轴至少有2个交点.

而区间有6个周期，故在闭区间上图象与轴至少有13个交点.

6、在数列中的应用

例8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算

分析：此题的思路与例2思路类似.

解：令则

不难用归纳法证明数列的通项为：，且以4为周期.

于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，

，由得总项数为500项，

7、在二项式中的应用

例9.今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？

分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.

解：

因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，

故天为星期四.

8、复数中的应用

例10.（上海市1994年高考题）设，则满足等式且大于1的正整数中最小的是

（A） 3   ；     （B）4         ；   （C）6     ；   （D）7.

分析：运用方幂的周期性求值即可.

解：，

9、解“立几”题

例11.ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是

（A）1；  （B）；（C）  ；   （D）0.

解：依条件列出白蚁的路线

立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.

1990=6，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在点，白蚁在C点，故所求距离是

例题与应用

例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 

例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2

例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式

例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.

例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数

例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值. 

例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，

求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？

    解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10

        故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0

        即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根

        又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，

        因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+=401个根.

例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）

A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称

C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称

解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于

点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C）

例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）

例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）

例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）

A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数

C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数

六、巩固练习

1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝

　　f(6－x)的图象（  ）。

　　　A．关于直线x＝5对称   　   B．关于直线x＝1对称

　　　C．关于点（5，0）对称   　   D．关于点（1，0）对称

2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，

　　f(x)＝x，则f(7.5)=（   ）。

　　A．0.5         B．－0.5         

    C．1.5           D．－1.5

3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，

　　f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（   ）。

　　A．偶函数，又是周期函数     B．偶函数，但不是周期函数

　　C．奇函数，又是周期函数     D．奇函数，但不是周期函数

4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。

参：D，B，C，T＝2。

5、在数列求=-1．