计量经济学模型分析方法

计量经济学上机模型分析方法总结

一、随机误差项的异方差问题的检验与修正

模型一：

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:03
Sample: 1 31
Included observations: 31
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	1.602528	0.860978	1.861288	0.0732
LOG(X1)	0.325416	0.103769	3.135955	0.0040
LOG(X2)	0.507078	0.048599	10.43385	0.0000
R-squared	0.796506	Mean dependent var		7.448704
Adjusted R-squared	0.781971	S.D. dependent var		0.38
S.E. of regression	0.170267	Akaike info criterion		-0.611128
Sum squared resid	0.811747	Schwarz criterion		-0.472355
Log likelihood	12.47249	F-statistic		54.79806
Durbin-Watson stat	1.9720	Prob(F-statistic)		0.000000

（一）异方差的检验

1、GQ检验法

模型二：

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:19
Sample: 1 12
Included observations: 12
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	3.744626	1.191113	3.143804	0.0119
LOG(X1)	0.344369	0.082999	4.149077	0.0025
LOG(X2)	0.1604	0.118844	1.421228	0.10
R-squared	0.669065	Mean dependent var		7.239161
Adjusted R-squared	0.595524	S.D. dependent var		0.133581
S.E. of regression	0.084955	Akaike info criterion		-1.8810
Sum squared resid	0.0957	Schwarz criterion		-1.759837
Log likelihood	14.28638	F-statistic		9.097834
Durbin-Watson stat	1.810822	Prob(F-statistic)		0.006900

模型三：

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:20
Sample: 20 31
Included observations: 12
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-0.353381	1.607461	-0.219838	0.8309
LOG(X1)	0.2108	0.158220	1.332942	0.2153
LOG(X2)	0.856522	0.108601	7.886856	0.0000
R-squared	0.878402	Mean dependent var		7.769851
Adjusted R-squared	0.851381	S.D. dependent var		0.390363
S.E. of regression	0.150490	Akaike info criterion		-0.737527
Sum squared resid	0.203824	Schwarz criterion		-0.616301
Log likelihood	7.425163	F-statistic		32.50732
Durbin-Watson stat	2.123203	Prob(F-statistic)		0.000076

进行模型二和模型三两次回归，目的仅是得到出去中间7个样本点以后前后各12个样本点的残差平方和RSS1和RSS2，然后用较大的RSS除以较小的RSS即可求出F统计量值进行显著性检验。

2、怀特检验法（White）

模型一的怀特残差检验结果：

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	4.920995	Probability		0.004339
Obs*R-squared	13.35705	Probability		0.009657
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 05/29/13   Time: 09:04
Sample: 1 31
Included observations: 31
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	3.982137	2.882851	1.381319	0.17
LOG(X1)	-0.5792	0.916069	-0.6323	0.5327
(LOG(X1))^2	0.041839	0.066866	0.625710	0.5370
LOG(X2)	-0.563656	0.203228	-2.773514	0.0101
(LOG(X2))^2	0.040280	0.013879	2.902173	0.0075
R-squared	0.430873	Mean dependent var		0.026185
Adjusted R-squared	0.343315	S.D. dependent var		0.038823
S.E. of regression	0.031460	Akaike info criterion		-3.933482
Sum squared resid	0.025734	Schwarz criterion		-3.702194
Log likelihood	65.968	F-statistic		4.920995
Durbin-Watson stat	1.526222	Prob(F-statistic)		0.004339

    一方面，根据上面的Obs*R2=31*0.430873=13.35705＞χ2(4)，说明存在显著的异方差问题；另一方面，根据下面的辅助回归模型可以看出LOG(X2) 与(LOG(X2))^2均通过了t检验，说明异方差的形式可以用LOG(X2) 与(LOG(X2))^2的线性组合表示，权变量可以简单确定为1/LOG(X2)。

（二）加权最小二乘法（WLS）修正

1、方法原理：具体参见教材。

2、回归结果分析

模型四：

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:06
Sample: 1 31
Included observations: 31
Weighting series: 1/LOG(X2)
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	1.478085	0.817610	1.807811	0.0814
LOG(X1)	0.377915	0.096925	3.9044	0.0006
LOG(X2)	0.473471	0.048398	9.7828	0.0000
	Weighted Statistics
R-squared	0.8726	Mean dependent var		7.4232
Adjusted R-squared	0.863550	S.D. dependent var		0.436598
S.E. of regression	0.161276	Akaike info criterion		-0.719639
Sum squared resid	0.728274	Schwarz criterion		-0.580866
Log likelihood	14.15440	F-statistic		49.27256
Durbin-Watson stat	2.036239	Prob(F-statistic)		0.000000
	Unweighted Statistics
R-squared	0.7709	Mean dependent var		7.448704
Adjusted R-squared	0.774688	S.D. dependent var		0.38
S.E. of regression	0.173088	Sum squared resid		0.838862
Durbin-Watson stat	2.028211

加权修正以后的模型四怀特检验结果如下：

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	6.555091	Probability		0.000870
Obs*R-squared	15.56541	Probability		0.003661

可以看出并没有消除异方差性，加权修正无效。

下面采用1/abs(e)权变量进行WLS回归，结果如下：

模型五：

Dependent Variable: LOG(Y)
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:10
Sample: 1 31
Included observations: 31
Weighting series: 1/ABS(E)
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	1.227929	0.297268	4.130708	0.0003
LOG(X1)	0.375748	0.056830	6.611734	0.0000
LOG(X2)	0.510120	0.017781	28.68847	0.0000
	Weighted Statistics
R-squared	0.999990	Mean dependent var		7.558578
Adjusted R-squared	0.9999	S.D. dependent var		12.31758
S.E. of regression	0.041062	Akaike info criterion		-3.455703
Sum squared resid	0.047210	Schwarz criterion		-3.316930
Log likelihood	56.56339	F-statistic		1960.131
Durbin-Watson stat	2.487309	Prob(F-statistic)		0.000000
	Unweighted Statistics
R-squared	0.794514	Mean dependent var		7.448704
Adjusted R-squared	0.779836	S.D. dependent var		0.38
S.E. of regression	0.171099	Sum squared resid		0.819694
Durbin-Watson stat	2.007122

对加权以后的模型五进行怀特检验如下：

White Heteroskedasticity Test:
F-statistic	0.1995	Probability		0.936266
Obs*R-squared	0.923778	Probability		0.921125

可以看出，模型已经不再存在异方差问题，模型五可以作为修正以后的最终模型。

二、随机误差项序列相关性问题的检验与修正

    模型一：

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:48
Sample: 1991 2011
Included observations: 21
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	178.9755	55.021	3.250305	0.0042
X	0.020002	0.001134	17.157	0.0000
R-squared	0.942463	Mean dependent var		922.9095
Adjusted R-squared	0.939435	S.D. dependent var		659.3491
S.E. of regression	162.2653	Akaike info criterion		13.10673
Sum squared resid	500270.3	Schwarz criterion		13.20621
Log likelihood	-135.6207	F-statistic		311.2248
Durbin-Watson stat	0.658849	Prob(F-statistic)		0.000000

    初始回归模型一经济意义合理，统计指标较为理想，但DW值偏低，模型可能存在序列相关性。

（一）序列相关性的检验方法

1、自回归模型检验法

Dependent Variable: E
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:49
Sample (adjusted): 1992 2011
Included observations: 20 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
E(-1)	0.717080	0.201852	3.552497	0.0021
R-squared	0.3929	Mean dependent var		2.801737
Adjusted R-squared	0.3929	S.D. dependent var		161.7297
S.E. of regression	125.3870	Akaike info criterion		12.54939
Sum squared resid	298716.2	Schwarz criterion		12.59918
Log likelihood	-124.4939	Durbin-Watson stat		1.080741

说明模型一的随机误差项至少存在一阶正序列相关性，结合该自回归模型的DW值为1.08，怀疑存在更高阶的序列相关，继续引入e(-2)如下：

Dependent Variable: E
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:49
Sample (adjusted): 1993 2011
Included observations: 19 after adjustments
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
E(-1)	1.094974	0.178768	6.125108	0.0000
E(-2)	-0.815010	0.199977	-4.075513	0.0008
R-squared	0.692885	Mean dependent var		7.790341
Adjusted R-squared	0.674819	S.D. dependent var		1.5730
S.E. of regression	93.84710	Akaike info criterion		12.02051
Sum squared resid	149723.7	Schwarz criterion		12.11993
Log likelihood	-112.1949	Durbin-Watson stat		1.945979

由于e(-2)的t检验显著，说明模型一的随机误差项确实存在二阶正序列相关性，结合该二阶自回归模型的DW值为1.95，基本确定不存在更高阶的序列相关。

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.8858	Probability		0.431668
Obs*R-squared	1.9924	Probability		0.368077

可以看出二阶自回归模型的随机误差项不存在序列相关性，论证了原模型仅存在二阶序列相关。

2、DW检验法

0        DL        DU3、LM检验法

原理：一方面，根据上面的假设检验结果判断是否存在序列相关性，即根据(n-p)*R2统计量值与卡方检验临界值χ2(P)进行比较，其中n为原模型样本容量，P为选择的滞后阶数，R2为下面辅助回归模型的可决系数。若(n-p)*R2﹥χ2(P)，则拒绝不序列相关的原假设，说明模型存在显著的序列相关性；另一方面，结合下面的辅助回归模型中残差滞后变量是否通过t检验及DW值判断序列相关的具体阶数，方法与上面的自回归模型检验法相同。

选择滞后一阶检验：

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	13.15036	Probability		0.001931
Obs*R-squared	8.865308	Probability		0.002906
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:51
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-14.24472	43.18361	-0.3298	0.7453
X	0.000714	0.000907	0.786617	0.4417
RESID(-1)	0.763263	0.210477	3.626342	0.0019
R-squared	0.422158	Mean dependent var		1.30E-13
Adjusted R-squared	0.357953	S.D. dependent var		158.1566
S.E. of regression	126.7275	Akaike info criterion		12.65352
Sum squared resid	2077.4	Schwarz criterion		12.80274
Log likelihood	-129.8619	F-statistic		6.575179
Durbin-Watson stat	1.159275	Prob(F-statistic)		0.007183

说明原模型确实存在一阶序列相关性，结合该辅助回归模型的DW值为1.16，怀疑存在更高阶的序列相关，引入滞后二阶检验如下：

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	20.49152	Probability		0.000030
Obs*R-squared	14.84303	Probability		0.000598
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:51
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	14.063	32.40987	0.433961	0.6698
X	-0.000628	0.000742	-0.846303	0.4091
RESID(-1)	1.108488	0.176127	6.293696	0.0000
RESID(-2)	-0.918175	0.226004	-4.0623	0.0008
R-squared	0.706811	Mean dependent var		1.30E-13
Adjusted R-squared	0.655072	S.D. dependent var		158.1566
S.E. of regression	92.88633	Akaike info criterion		12.07027
Sum squared resid	146673.8	Schwarz criterion		12.26923
Log likelihood	-122.7379	F-statistic		13.66102
Durbin-Watson stat	1.950263	Prob(F-statistic)		0.000087

由于e(-2)的t检验显著，说明模型一的随机误差项确实存在二阶正序列相关性，结合该二阶自回归模型的DW值为1.95，基本确定不存在更高阶的序列相关。

当然可以继续引入滞后三阶检验如下：

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	12.85743	Probability		0.000157
Obs*R-squared	14.84303	Probability		0.001956
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:52
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	14.067	33.40734	0.421005	0.6794
X	-0.000628	0.000765	-0.820934	0.4237
RESID(-1)	1.108206	0.271327	4.084401	0.0009
RESID(-2)	-0.917559	0.499523	-1.836870	0.0849
RESID(-3)	-0.000601	0.431119	-0.001395	0.99
R-squared	0.706811	Mean dependent var		1.30E-13
Adjusted R-squared	0.633514	S.D. dependent var		158.1566
S.E. of regression	95.74504	Akaike info criterion		12.16551
Sum squared resid	146673.8	Schwarz criterion		12.41421
Log likelihood	-122.7379	F-statistic		9.3071
Durbin-Watson stat	1.950030	Prob(F-statistic)		0.000363

    可以看出并不存在三阶序列相关。

（二）广义差分法修正

1、方法原理

参考教材自己推导二元线性回归模型存在二阶序列相关时的广义差分模型。

2、上机实现结果分析

    模型二：

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:55
Sample (adjusted): 1992 2011
Included observations: 20 after adjustments
Convergence achieved after 8 iterations
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	160.02	182.17	0.875323	0.3936
X	0.021469	0.003072	6.9875	0.0000
AR(1)	0.730078	0.203352	3.590223	0.0023
R-squared	0.9570	Mean dependent var		958.0450
Adjusted R-squared	0.960402	S.D. dependent var		655.9980
S.E. of regression	130.5388	Akaike info criterion		12.71870
Sum squared resid	2686.3	Schwarz criterion		12.86806
Log likelihood	-124.1870	F-statistic		231.4107
Durbin-Watson stat	1.116066	Prob(F-statistic)		0.000000
Inverted AR Roots	.73

    由于AR(1)通过t检验，说明模型一确实至少存在一阶序列相关，结合DW值为1.12，怀疑存在更高阶序列相关性， LM检验结果如下： 

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	6.380262	Probability		0.009885
Obs*R-squared	9.193288	Probability		0.010086
Test Equation:
Dependent Variable: RESID
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:57
Presample missing value lagged residuals set to zero.
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	80.86347	145.23	0.556665	0.5860
X	-0.003554	0.002602	-1.365556	0.1922
AR(1)	-0.572841	0.437314	-1.309909	0.2099
RESID(-1)	1.029157	0.339541	3.031022	0.0084
RESID(-2)	-0.187923	0.598223	-0.314136	0.7577
R-squared	0.4596	Mean dependent var		-7.24E-11
Adjusted R-squared	0.315575	S.D. dependent var		123.4773
S.E. of regression	102.1528	Akaike info criterion		12.30313
Sum squared resid	156527.8	Schwarz criterion		12.55207
Log likelihood	-118.0313	F-statistic		3.190131
Durbin-Watson stat	2.021319	Prob(F-statistic)		0.043963

说明模型一在一阶广义差分修正后仍然存在序列相关性。继续引入AR(2)进行修正。

模型三：

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 09:58
Sample (adjusted): 1993 2011
Included observations: 19 after adjustments
Convergence achieved after 5 iterations
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	210.5233	42.67117	4.933618	0.0002
X	0.0116	0.000987	19.17360	0.0000
AR(1)	1.095446	0.185254	5.913194	0.0000
AR(2)	-0.945384	0.250542	-3.773357	0.0018
R-squared	0.981385	Mean dependent var		998.3158
Adjusted R-squared	0.977662	S.D. dependent var		8.0772
S.E. of regression	96.860	Akaike info criterion		12.16909
Sum squared resid	140730.5	Schwarz criterion		12.36792
Log likelihood	-111.60	F-statistic		263.6012
Durbin-Watson stat	2.002336	Prob(F-statistic)		0.000000
Inverted AR Roots	.55+.80i	.55-.80i

由于AR(1)和AR(2)都通过t检验，说明模型一确实至少存在二阶序列相关，结合DW值为2.00，确定不存在更高阶序列相关性，LM检验结果如下：

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:
F-statistic	0.880914	Probability		0.437745
Obs*R-squared	2.267656	Probability		0.321799

    可以看出，二阶广义差分修正后的模型三不再存在序列相关性，可以作为最终选择模型。

三、多元线性回归模型分析中解释变量的选取问题—多重共线性的检验与修正

假设用解释变量x1、x2、x3、x4来解释Y。

模型一：

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 10:35
Sample: 1994 2011
Included observations: 18
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-43872.27	14512.82	-3.023002	0.0086
X1	4.561055	0.246993	18.46632	0.0000
X2	0.670491	0.130022	5.156760	0.0001
R-squared	0.961029	Mean dependent var		44127.11
Adjusted R-squared	0.955833	S.D. dependent var		4409.100
S.E. of regression	926.6166	Akaike info criterion		16.65197
Sum squared resid	12879274	Schwarz criterion		16.80036
Log likelihood	-146.8677	F-statistic		184.9504
Durbin-Watson stat	2.014913	Prob(F-statistic)		0.000000

模型二：

Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 10:36
Sample: 1994 2011
Included observations: 18
Variable	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C	-11978.18	14072.92	-0.851151	0.4090
X1	5.255935	0.268595	19.56828	0.0000
X2	0.408432	0.121974	3.348522	0.0048
X3	-0.194609	0.054533	-3.568637	0.0031
R-squared	0.979593	Mean dependent var		44127.11
Adjusted R-squared	0.975220	S.D. dependent var		4409.100
S.E. of regression	694.0715	Akaike info criterion		16.11616
Sum squared resid	6744293.	Schwarz criterion		16.31402
Log likelihood	-141.0454	F-statistic		224.0086
Durbin-Watson stat	1.528658	Prob(F-statistic)		0.000000

模型三：

	Dependent Variable: Y
Method: Least Squares
Date: 07/29/12   Time: 10:37
Sample: 1994 2011
Included observations: 18
Variable		Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C		-13056.00	13437.43	-0.971614	0.3490
X1		6.167476	0.2080	9.605468	0.0000
X2		0.416026	0.1113	3.573713	0.0034
X3		-0.168603	0.0546	-3.085344	0.0087
X4		-0.094481	0.061028	-1.548172	0.1456
R-squared		0.982769	Mean dependent var		44127.11
Adjusted R-squared		0.977468	S.D. dependent var		4409.100
S.E. of regression		661.8392	Akaike info criterion		16.05806
Sum squared resid		5694404.	Schwarz criterion		16.30538
Log likelihood		-139.5225	F-statistic		185.3683
Durbin-Watson stat		1.799755	Prob(F-statistic)		0.000000

（一）新增解释变量是否应该引入

主要观察引入后相比引入前模型的调整可决系数是否变大、AIC是否变小、新增解释变量的t检验是否通过。比较模型一和模型二，认为X3应该引入。

（二）同时引入所有解释变量后变量的筛选

保证选择不同解释变量组合的模型包含的解释变量均通过经济意义检验、t检验，且AIC取值最小。若模型中一个或多个解释变量没有通过经济意义检验或t检验，可以直接删除淘汰。虽然模型三中AIC数值小于模型二，但X4没有通过t检验，而且实际上X4也没有通过经济意义检验（这里由于没有说明各变量的经济意义，无法看出是否通过经济意义检验）。因此应该选择模型二为最优模型。

四、虚拟变量模型应用分析

考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收入关系是否已发生变化。

（一）分析步骤

1、初始理论模型设定：建立一元线性储蓄回归模型。

2、定义虚拟变量

              

3、构建虚拟变量模型——把虚拟变量引入到初始模型（一般以混合方式较为稳妥）

4、写出不同属性（组合）条件下的条件期望函数（目的在于可以直观的看出属性差异是否显著取决于哪些参数的取值）

分别写出1990年后期与前期的储蓄函数：

在统计检验中，如果3=0的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的截距不同，若4=0的假设被拒绝，则说明两个时期中储蓄函数的斜率不同。

5、利用样本数据对步骤3中的虚拟变量模型进行参数估计

T：(-6.11)    (22.)     (4.33)      (-2.55)              

统计指标略。

6、模型结果分析：重点关注包含虚拟变量的解释变量是否通过变量的显著性检验（t检验），通过t检验即说明对相关截距项或斜率项产生显著性影响。

由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0，强烈显示出两个时期的回归是相异的。上述模型即为最终模型，不需要重新修正。

7、利用解释变量选取的方法对虚拟变量模型进行必要的调整——模型的修正

考虑其他情况：一是3与4的t检验均没有通过，说明虚拟变量D对原储蓄模型的截距和斜率均无显著性影响，90年前后的储蓄函数是重合的，可以进行重合回归，即直接LS Y C X命令进行回归即可；二是3的t检验通过，但4的t检验没有通过，说明虚拟变量D对原储蓄模型的截距有显著性影响，对斜率无显著性影响，90年前后的储蓄函数是平行的，可以进行平行回归，即直接LS Y C X D命令进行回归即可；三是3的t检验没有通过，但4的t检验通过，说明虚拟变量D对原储蓄模型的截距无显著性影响，对斜率有显著性影响，90年前后的储蓄函数是汇合的，可以进行汇合回归，即直接LS Y C X D*X命令进行回归即可。

8、根据修正后的模型分别写出不同属性（组合）的样本回归函数。

把虚拟变量取值代入修正以后的模型即可。

1990年前：

1990年后：