高等数学下册B2试题2009级A-B卷

（A）；     (B)；     (C)；    （D）不能比较     答【   A  】

8、已知，且，则                      

 (A)         (B)      (C)        (D)                   答【  C  】

二、填空题(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分)

1、设，则=__________

2、设由确定，则= ______________

3、，使与垂直的实数=      . 

4、幂级数的收敛域为                . 

5、若级数收敛，则               . 

6、的一个特解是               ． 

7、由二重积分的几何意义得到=             . 

8、是微分方程的一个特解，则另一个线性无关的特解是         ．

解：比值审敛法         （4分）

故发散.                               （6分）

七、（本题6分）已知，求.

   解：，，          （3分）

所以=       

=                     （5分）

故                                （6分）

八、（本题6分) 画出积分区域，交换该二次积分的积分次序.

解：（图略）  =      （6分）

解：对应曲线上点                              （2分）

   该点处切线斜率为          （4分）

所以切线方程为                      （6分）

四、（本题6分) 画出积分区域D：与轴包围，并计算二重积分.

解：用极坐标                      （3分） 

   （6分）

五、（本题6分) 求微分方程的通解.

解：先解对应齐次方程 

分离变量         （3分）

常数变易，令，代入原方程，得   （5分）

于是原方程通解为      （6分）

解： 令

则，，              （3分）

于是=  ， =        （5分）

所以+                      （6分）

  也可以直接微分，利用微分形式不变性。

十二、  (本题6分)（1）普通班同学做：利用的幂级数展开式求数项级数的和.  

（2）试验班同学做：求函数项级数的收敛域及和函数.

解：（1），所以当，有及          （2分）

             （6分）

（2）由，收敛半径,通过讨论端点，知收敛域是.

设，,则，逐项求导,得

所以  

解：收敛，则，故收敛，

同理，也收敛.                                （3分）

而，由比较审敛法，收敛，

所以绝对收敛.                             （6分）

十、 (本题6分) 已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，求该曲线的方程.

解： 由题意，即解下列二阶齐线性微分方程初值问题

                           （2分）

特征方程

特征根

                     （4分）

代入初值条件，得

所以，曲线方程为                 （6分）

（A）；     (B)；     (C)；    （D）不能比较     答【   B  】

8、已知，且，则                     

 (A)         (B)      (C)         (D)                  答【  A   】.

二、填空题(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分)

1、设，则=__________

2、设由确定，则= ______________

3、，使与垂直的实数=       . 

4、幂级数的收敛域为                . 

5、若级数发散，则               . 

6、的一个特解是               ．2

7、由二重积分的几何意义得到=             . 

8、是方程的一个特解，则另一个线性无关的特解是            ．

解：比值审敛法        （4分）

故收敛.                                        （6分）

七、（本题6分）已知，求.

   解：，，          （3分）

所以=       

=                     （5分）

故                                （6分）

八、（本题6分) 画出积分区域，交换该二次积分的积分次序.

解：（图略）  =      （6分）

解：对应曲线上点                              （2分）

   该点处切线斜率为          （4分）

所以切线方程为                       （6分）

四、（本题6分) 画出积分区域D：与轴围成区域，并计算二重积分.

解：用极坐标                      （3分） 

   （6分）

或用对称性说明，也易得积分为0.

五、（本题6分) 求微分方程的通解.

解：先解对应齐次方程 

分离变量         （3分）

常数变易，令，代入原方程，得   （5分）

于是原方程通解为      （6分）

解： 令

则，，               （3分）

于是=  ， =          （5分）

所以+                       （6分）

  也可以直接微分，利用微分形式不变性。

十二、  (本题6分)（1）普通班同学做：利用的幂级数展开式求数项级数的和. 

（2）试验班同学做：求函数项级数的收敛域及和函数.

解：（1），所以当，有及            （2分）

           （6分）

（2）由，收敛半径,通过讨论端点，知收敛域是.

设，,则，逐项求导,得

所以  

解：收敛，则，故收敛， 

同理，也收敛.                 （3分）

而，由比较审敛法，收敛，

所以绝对收敛.                  （6分）

十、 (本题6分) 已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而满足微分方程，求该曲线的方程.

解： 由题意，即解下列二阶齐线性微分方程初值问题

                        （2分）

特征方程

特征根

                     （4分）

代入初值条件，得

所以，曲线方程为                     （6分）