(完整版)函数的单调性和奇偶性练习题

一、选择题：

1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是            （    ）

    A．y=2x＋1        B．y=3x2＋1    

    C．y=        D．y=2x2＋x＋1

2．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于                （    ）

    A．－7        B．1    

    C．17        D．25

3．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是    （    ）

    A．(3，8)        B．(－7，－2)    

    C．(－2，3)        D．(0，5)

4．函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是    （    ）

    A．(0，)        B．( ，＋∞)

    C．(－2，＋∞)        D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（ ）

 A．至少有一实根  ．至多有一实根

 C．没有实根   D．必有唯一的实根

6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f( 2－x2 )，那么函数g(x)  （ ）

 ．在区间(－1，0)上是减函数  ．在区间(0，1)上是减函数

 ．在区间(－2，0)上是增函数  ．在区间(0，2)上是增函数

7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式        |f(x＋1)|＜1的解集的补集是   （ ）

 ．(－1，2 B．(1，

 ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）  ．(－∞，－1］∪[2，＋∞）

8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是      （ ）

 A．f(－1)＜f(9)＜f(13) ．f(13)＜f(9)＜f(－1)

 C．f(9)＜f(－1)＜f(13) ．f(13)＜f(－1)＜f(9)

9．函数的递增区间依次是  （ ）A．  B．

 C．  

10．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）

    A．a≤-3      B．a≥－3    C．a≤5     D．a≥3

11．已知f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（    ）

    A．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］    B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

    C．f(a)＋f(b)≥－f(a)＋f(b)］    D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

12．定义在R上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则 （ ）

 A．f(－1)＜f(3) B．f (0)＞f(3)   C．f (－1)=f (－3)  D．f(2)＜f(3)

二、填空题：

13．函数y=(x－1)-2的减区间是___                  _．

14．函数y=x－2＋2的值域为__                    ___．

15、设是上的减函数，则的单调递减区间为                   .

16、函数f(x) = ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，则a的取值范围是__               ．

三、解答题：

17．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f() = f(x)－f(y

  （1）求f(1)的值．

    （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() ＜2 ．

18．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．

19．试讨论函数f(x)=在区间［－1，1］上的单调性．

20．设函数f(x)=－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在（0，＋∞)上为单调函数．

21．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

22．已知函数f(x)=，x∈［1，＋∞］

（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；

（2）若对任意x∈[1，＋∞，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

参

一、选择题： CDBBD  ADCCA  BA

二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.， 

三、解答题：17.解析：①在等式中，则f(1)=0．

②在等式中令x=36，y=6则 

故原不等式为：即f[x(x＋3)]＜f(36)，

又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

故不等式等价于：

18.解析： f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：

设x1、x2∈(－∞，＋∞)， x1＜x2 ，则f(x1)=－x13＋1， f(x2)=－x23＋1．

f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋)2＋x22］．

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋)2＋x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．

∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

19.解析： 设x1、x2∈[－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．

f(x1)－f(x2)=－==

∵x2－x1＞0，＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．

当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．

故f(x)=在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=在区间［0，1］上是减函数．

20.解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)

=(x1－x2)(－a)

(1)当a≥1时，∵＜1，

又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)

∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．

(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=，满足f(x1)=f(x2)=1

∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数

注： ①判断单调性常规思路为定义法；

②变形过程中＜1利用了＞|x1|≥x1;＞x2；

③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现． 

21.解析： ∵f(x)在(－2，2)上是减函数

∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)

∴  解得，∴m的取值范围是(－)

22.解析： (1)当a=时，f(x)=x＋＋2，x∈1，＋∞)

设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋=(x2－x1)＋=(x2－x1)(1－)

∵x2＞x1≥1，∴x2－x1＞0，1－＞0，则f(x2)＞f(x1)

可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞上的最小值为f(1)=．

(2)在区间［1，＋∞上，f(x)=＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立

设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，

当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．