线性代数试题集

线性代数(经管类)试题

课程代码：04184

说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r(A)表示矩A的秩.

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=(     )

A.-8          B.-2          C.2       D.8

2.设矩阵A=,B=(1,1),则AB=(     )

A.0        B.(1,-1)         C.    D. 

3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是(     )

A.AB-BA       B.AB+BA           C.AB            D.BA

4.设矩阵A的伴随矩阵A*=,则A-1= (     )

A.    B.     C.         D. 

5.下列矩阵中不是初等矩阵的是(     )

A.       B.     C.        D. 

6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有(     )         

A.A+B可逆       B.AB可逆     C.A-B可逆       D.AB+BA可逆

7.设向量组α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),则 (     )

A. α1, α2,β线性无关                       B. β不能由α1, α2线性表示

C. β可由α1, α2线性表示,但表示法不惟一     D. β可由α1, α2线性表示,且表示法惟一

8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组(E-A)x=0的基础解系所含解向量的个数为(     )

A.0         B.1           C.2    D.3

9.设齐次线性方程组有非零解,则为(     )

A.-1           B.0         C.1         D.2

10.设二次型f(x)=xTAx正定,则下列结论中正确的是(     )

A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零       B.f的标准形的系数都大于或等于零

C.A的特征值都大于零                    D.A的所有子式都大于零

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式的值为__-1_______.

12.已知A=,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_____1____.

13.设矩阵A=,P=,则AP3=_______.

14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=____--1_____.

15.已知向量组α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)线性相关,则数k=_________.

16.已知Ax=b为4元线性方程组,r(A)=3, α1, α2, α3为该方程组的3个解,且则该线性方程组的通解是_________.

17.已知P是3阶正交矩,向量_________.

18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.

19.与矩阵A=相似的对角矩阵为_________.

20.设矩阵A=,若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________.

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

21.求行列式D=

22.设矩阵A=求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.

23.若向量组的秩为2,求k的值.

24.设矩阵

(1)求A-1;

(2)求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.

25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求

(1)矩阵A的行列式及A的秩.

(2)矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.

26.求二次型f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3经可逆线性变换所得的标准形.

四、证明题(本题6分)

27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是.

全国2010年7月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r(A)表示矩阵A的秩；| A |表示A的行列式；E表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=(      )

A.-12        B.-6      C.6       D.12

2.计算行列式=(      )

A.-180     B.-120       C.120      D.180

3.若A为3阶方阵且| A-1 |=2，则| 2A |=(      )

A.              B.2          C.4          D.8

4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有(      )

A.α1，α2，α3，α4线性无关    B.α1，α2，α3，α4线性相关

C.α1可由α2，α3，α4线性表示    D.α1不可由α2，α3，α4线性表示

5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=(      )

A.2              B.3            C.4           D.5

6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则(      )

A.A与B相似         B.| A |=| B |           C.A与B等价              D.A与B合同

7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=(      )

A.0            B.2             C.3                 D.24

8.若A、B相似，则下列说法错误的是(      )

A.A与B等价             B.A与B合同         C.| A |=| B |         D.A与B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=(      )

A.-2           B.0          C.2              D.4

10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(      )

A.A正定            B.A半正定       C.A负定          D.A半负定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.设A=,B=，则AB=_________________.

12.设A为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A-1 |=______________.

13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.

14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.

15.设A为5阶方阵，且r(A)=3，则线性空间W={x | Ax=0}的维数是______________.

16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，，1，则| 5A-1 |=______________.

17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，则r(AB)=_________________.

18.实对称矩阵所对应的二次型f (x1, x2, x3)=________________.

19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=，α2=且r(A)=2，则Ax=b的通解是_______________.

20.设α=，则A=ααT的非零特征值是_______________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算5阶行列式D=

22.设矩阵X满足方程     X=   求X.

23.求非齐次线性方程组   的通解.

24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.

25.已知A=的一个特征向量ξ =（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.

26.设A=，试确定a使r(A)=2.

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.若α1，α2，α3是Ax=b(b≠0)的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.

全国2010年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.已知2阶行列式=m , =n ,则=（      ）

A.m-n                B.n-m            C.m+n                D.-（m+n）

2.设A , B , C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（      ）

A.ACB             B.CAB            C.CBA                D.BCA

3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（      ）

A.-8                B.-2             C.2               D.8

4.已知A=，B=，P=，Q=，则B=（      ）

A.PA            B.AP            C.QA           D.AQ

5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（      ）

A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2      B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2

C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0           D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0

6.下列命题中错误的是（      ）

A.只含有一个零向量的向量组线性相关    B.由3个2维向量组成的向量组线性相关

C.由一个非零向量组成的向量组线性相关    D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关

7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（      ）

A.α1必能由α2,α3，β线性表出  B.α2必能由α1,α3，β线性表出   C.α3必能由α1,α2，β线性表出    D.β必能由α1,α2,α3线性表出

8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（      ）

A.小于m             B.等于m         C.小于n             D.等于n 

9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（      ）

A.AT            B.A2         C.A-1            D.A*

10.二次型f（x1,x2,x3）=的正惯性指数为（      ）

A.0             B.1            C.2               D.3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式的值为_________________________.

12.设矩阵A=,B=,则ATB=____________________________.

13.设4维向量（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2γ=3β，则γ=__________.

14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=,则|A-1|=___________________________.

15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.

16.齐次线性方程组的基础解系所含解向量的个数为________________. 

17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵必有一个特征值为_____________.

18.设矩阵A=的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

19.已知A=是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

20.二次型f（x1, x2, x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21.计算行列式D=的值。

22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求（1）A=BTC；（2）A2。

23.设向量组求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。

24.已知矩阵A=，B=.（1）求A-1；（2）解矩阵方程AX=B。

25.问a为何值时，线性方程组有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。

26.设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=。

四、证明题（本题6分）

27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。

全国2010年1月高等教育自学考试

《线性代数（经管类）》试题及答案

课程代码：04184

试题部分

说明：本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 

1.设行列式（      ）

A.    B.1

C.2    D. 

2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（      ）

A. A-1B-1C-1    B. C-1B-1A-1

C. C-1A-1B-1    D. A-1C-1B-1

3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（      ）

A.-32    B.-4

C.4    D.32

4.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（      ）

A. α1，α2，α3，α4一定线性无关    B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出

C. α1，α2，α3，α4一定线性相关    D. α1，α2，α3一定线性无关

5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（      ）

A.1    B.2

C.3    D.4

6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（      ）

A.1    B.2

C.3    D.4

7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（      ）

A.m≥n    B.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解

C.r（A）=m    D.Ax=0存在基础解系

8.设矩阵A=，则以下向量中是A的特征向量的是（      ）

A.（1，1，1）T    B.（1，1，3）T

C.（1，1，0）T    D.（1，0，-3）T

9.设矩阵A=的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （      ）

A.4    B.5

C.6    D.7

10.三元二次型f （x1，x2，x3）=的矩阵为（      ）

A.    B. 

C.    D. 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11.行列式=_________.

12.设A=，则A-1=_________.

13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________.

14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.

15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.

16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.

17.设线性方程组有无穷多个解，则a=_________.

18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.

19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

20.二次型的秩为_________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

21．计算4阶行列式D=.

22.设A=，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.

23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.

24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.

（1）求该向量组的一个极大线性无关组；

（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.

25.求齐次线性方程组的基础解系及其通解.

26.设矩阵A=，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.

四、证明题（本大题6分）

27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.

答案部分

第25—27题 答案暂缺

2010年4月自考线性代数（经管类）历年试卷参

2010年10月全国自考线性代数（经管类）参