高中数学复习题考点专题练习28 异面直线所成角

（按考点分类）

专题28 异面直线所成的角

一．选择题（共12小题）

1．（2018•新课标Ⅱ）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

在长方体中，，，

，0，，，0，，，0，，，1，，

，0，，，1，，设异面直线与所成角为，

则，异面直线与所成角的余弦值为．故选：．

2．（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】如图所示，设、、分别为，和的中点，

则、夹角为和夹角或其补角（因异面直线所成角为，

可知，；

作中点，则为直角三角形；

，，中，由余弦定理得

，

，；在中，；

在中，由余弦定理得

；

又异面直线所成角的范围是，，与所成角的余弦值为．

3．（2016•新课标Ⅰ）平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】如图：平面，平面，平面，

可知：，，△是正三角形．、所成角就是．

则、所成角的正弦值为：．

4．（2014•大纲版）已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】如图，过点做，使，垂足为，过点做，过点做，连接，

又

在中，设，则，，

在中，则，，在中，则，

异面直线与所成的角即是，

．故选：．

5．（2014•新课标Ⅱ）直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】直三棱柱中，，，分别是，的中点，如图：  的中点为，连结，，则是平行四边形，与所成角就是，，

设，，，，

，

在中，由余弦定理可得：．

6．（2014•大纲版）已知正四面体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】如图，取中点，连接，，为的中点，，

则为异面直线与所成的角，

为正四面体，，分别为，的中点，．

设正四面体的棱长为，则，．

在中，由余弦定理得：．故选：．

7．（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】分别以、、为轴、轴和轴建立如图坐标系，

，可设，

，0，，，0，，，2，，，2，

，2，，，2，

可得，且，，

向量与所成的角（或其补角）就是直线与直线夹角，

设直线与直线夹角为，则故选：．

8．（2010•全国）在正三棱柱中，侧棱，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角等于　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】在正三棱柱中，侧棱，、分别是、的中点，

以为原点，在平面中过点作的垂线为轴，为轴，为轴，

建立空间直角坐标系，设，

则，0，，，，，，，，，1，，

，1，，，，，，，，，，，

设异面直线与所成的角为，则，．

异面直线与所成的角等于．故选：．

9．（2010•全国大纲版Ⅰ）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】延长到，使得，则为平行四边形，

就是异面直线与所成的角，

又，则三角形为等边三角形，故选：．

10．（2009•黑龙江）已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】C

【解析】正四棱柱中，，为中点，

，是异面直线与所形成角，

设，则，，，

．

异面直线与所形成角的余弦值为．故选：．

11．（2018•上海）如图，在直三棱柱的棱所在的直线中，与直线异面的直线的条数为　　

A．1    B．2    C．3    D．4

【答案】C

【解析】在直三棱柱的棱所在的直线中，

与直线异面的直线有：，，，共3条．故选：．

12．（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】设四面体的底面是，，，顶点为，

在三角形中，因为两边之和大于第三边可得：  （1）

取中点，是中点，直角三角形全等于直角，

所以在三角形中，

两边之和大于第三边 得  （负值0值舍）（2）

由（1）（2）得．

二．填空题（共5小题）

13．（2016•全国）已知为直二面角，，且，则异面直线与所成角的大小为　　．

【答案】

【解析】分别取、、的中点、、，连结、、、，

设，则，，，

，，是二面角的平面角，

为直二面角，，，，，

是等边三角形，

，，是异面直线与所成角，

，异面直线与所成角为．故答案为：．

14．（2016•浙江）如图，已知平面四边形，，，，，沿直线将翻折成，直线与所成角的余弦的最大值是　　．

【答案】

【解析】如图所示，取的中点，，，

在中，．作，垂足为，．

，，．

过点作，作交于点，则．连接．为直线与所成的角．则四边形为矩形，．

．则为二面角的平面角，设为．

则，时取等号．

的最小值．

直线与所成角的余弦的最大值．

15．（2015•浙江）如图，三棱锥中，，，点，分别是，的中点，则异面直线，所成的角的余弦值是　　．

【答案】

【解析】连结，取 的中点为：，连结，则，异面直线，所成的角就是，

，，，

又，，

．

16．（2015•四川）如图，四边形和均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点在线段上，、分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为　　．

【答案】

【解析】根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：

，0，，，0，，，1，；

在线段上，设，，，；

；

；

设，；

函数是一次函数，且为减函数，；

在，恒成立，；

在，上单调递减；

时，取到最大值．

17．（2012•四川）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成的角的大小是　　．

【答案】

【解析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，

则，0，，，2，，，1，，，0，，，2，，，1，

，所以，即，异面直线与所成的角的大小是，

故答案为：．

三．解答题（共5小题）

18．（2019•上海）如图，在正三棱锥中，．

（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；

（2）求的体积．

解：（1），分别为，的中点，，

则为与所成角，

在中，由，，

可得，

与的夹角为；

（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，

连接并延长，交于，则，．

．

．

19．（2016•上海）将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小．

解：（1）连结，则，△为正三角形，

，．

（2）设点在下底面圆周的射影为，连结，则，

为直线与所成角（或补角），，

连结、、，，，，

为正三角形，，，

直线与所成角大小为．

20．（2015•新课标Ⅰ）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．

（Ⅰ）证明：平面平面

（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．

【答案】B

【解析】（Ⅰ）连接，设，连接、、，

在菱形中，不妨设，由，可得，

平面，，可知，又，

所以，且，在直角中，可得，故，

在直角三角形中，可得，

在直角梯形中，由，，，可得，

从而，则，

（或由，

可得，则

，可得平面，

由平面，所以平面平面；

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，为单位长度，

建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）可得，，，，0，，

，0，，，，，

即有，，，，，，

故，．

则有直线与直线所成角的余弦值为．

21．（2014•湖南）如图，已知二面角的大小为，菱形在面内，、两点在棱上，，是的中点，面，垂足为．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】B

【解析】（1）证明：如图面，，，

连接，由题设知，是正三角形，

又是的中点，，又，平面；

（Ⅱ）解：，

与所成的角等于与所成的角，即是与所成的角，

由（Ⅰ）知，平面，

，又，于是是二面角的平面角，

从而，不妨设，则，易知，

在中，，连，在中，，

故异面直线与所成角的余弦值为．

22．（2010•湖南）如图所示，在长方体中，，，是棱的中点．

（Ⅰ）求异面直线和所成的角的正切值；

（Ⅱ）证明：平面平面．

解：（1）如图，因为，所以为异面直线和所成的角，

面

，

即异面直线和所成的角的正切值为．

（Ⅱ）面，面

①

由（1）知，，

②

由①②可知面

面

平面平面．