等差数列、等比数列历年高考题及详细解析

1．已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在经过点(8,4)的定直线l上，则数列{an}的前15项和S15＝(　　)

A．12　　　　　　　　    B．32

C．60     D．120

2．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11等于(　　)

A．1     B．2

C．4     D．8

3．在等差数列{an}中，an>0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5·a6的最大值等于(　　)

A．3     B．6

C．9     D．36

4．设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，则使得Sn＞0的最大的自然数n是(　　)

A．9     B．10

C．11     D．12

5．在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2·an－1＝，且前n项和Sn＝62，则项数n等于(　　)

A．4     B．5

C．6     D．7

6．在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 016的值等于(　　)

A．－2 015     B．2 015

C．2 016     D．0

7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＞0，S18＜0，则，，…，中最大的项为(　　)

A.        B.  

C.        D.  

8．正项等比数列{an}中，a2＝8,16a＝a1a5，则数列{an}的前n项积Tn中的最大值为(　　)

A．T3     B．T4

C．T5     D．T6

二、填空题

9．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________.

10．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.

11．等比数列{an}的首项为2，公比为3，前n项和为Sn.若log3＝9，则＋取最小值时，S2＝________.

12．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.

三、解答题

13．已知等差数列{an}中，a2＝5，前4项和S4＝28.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和T2n.

14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝9，a1，a3，a7成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若an≠a1(当n≥2时)，数列{bn}满足bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn.

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an≠0，anan＋1＝pSn＋2，其中p为常数．

(1)证明：an＋2－an＝p；

(2)是否存在p，使得{an}为等差数列？并说明理由．

答案解析

一、选择题

1．解析：∵点(n，an)在定直线上，∴数列{an}是等差数列，且a8＝4，∴S15＝＝＝15a8＝60.

答案：C

2．解析：∵a4－2a＋3a8＝0，∴2a＝a4＋3a8，

∴2a＝a5＋a7＋2a8＝a5＋a7＋a7＋a9，即2a＝4a7，

∴a7＝2，∴b7＝2，又∵b2b8b11＝b6b8b7＝bb7＝(b7)3＝8，故选D.

答案：D

3．解析：∵a1＋a2＋…＋a10＝30，得a5＋a6＝＝6，又an>0，

∴a5·a6≤2＝2＝9.

答案：C

4．解析：∵{an}的公差d＝＝－2，∴{an}的通项为an＝7－2(n－2)＝－2n＋11，∴{an}是递减数列，且a5＞0＞a6，a5＋a6＝0，于是S9＝9a5＞0，S10＝·10＝0，S11＝11a6＜0，故选A.

答案：A

5．解析：设等比数列{an}的公比为q，由a2an－1＝a1an＝，又a1＋an＝34，解得a1＝2，an＝32或a1＝32，an＝2.

当a1＝2，an＝32时，Sn＝＝＝＝62，解得q＝2.又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.

同理，当a1＝32，an＝2时，由Sn＝62，解得q＝.由an＝a1qn－1＝32×n－1＝2，得n－1＝＝4，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.

答案：B

6．解析：设数列{an}的公差为d，

S12＝12a1＋d，S10＝10a1＋d，

所以＝＝a1＋d.

＝a1＋d，所以－＝d＝2，

所以S2 016＝2 016×a1＋d＝0.

答案：D

7．解析：因为{an}是等差数列，所以S17＝＝17a9＞0，a9＞0，S18＝＝9(a9＋a10)＜0，a10＜0，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则最大，故选C.

答案：C

8．解析：设正项等比数列{an}的公比为q(q＞0)，则16a＝a1a5＝a2a4＝8a4，a4＝，q2＝＝，又q＞0，则q＝，an＝a2qn－2＝8×n－2＝27－2n，则Tn＝a1a2…an＝25＋3＋…＋(7－2n)＝2n(6－n)，当n＝3时，n(6－n)取得最大值9，此时Tn最大，即(Tn)max＝T3，故选A.

答案：A

二、填空题

9．解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

则由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3，

由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，∴q＝－2.

∴＝＝＝1.

答案：1

10．解析：因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，

所以a10a11＝e5.

所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)

＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10

＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50.

答案：50

11．解析：由题意可得an＝2×3n－1，Sn＝＝3n－1，

所以log3＝log33n＋4m－1＝n＋4m－1＝9，所以n＋4m＝10，所以＋＝＝＋＋≥＋2×＝＝，当且仅当m＝n时取等号，∴n＝2，∴a2＝2×3＝6，∴S2＝2＋6＝8.

答案：8

12．解析：设等差数列{an}的公差为d，则

由得

∴Sn＝n×1＋×1＝，

＝＝2.

∴＝＋＋＋…＋

＝2＝2＝.

答案：

三、解答题

13．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得

∴

∴an＝a1＋(n－1)×d＝4n－3.

(2)由(1)可得bn＝(－1)nan＝(－1)n(4n－3)，

T2n＝－1＋5－9＋13－17＋…＋(8n－3)＝4×n＝4n.

14．解析：(1)a＝a1a7，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，

化简得d＝a1或d＝0.

当d＝a1时，S3＝3a1＋×a1＝a1＝9，得a1＝2，d＝1，∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)＝n＋1，即an＝n＋1；

当d＝0时，由S3＝9，得a1＝3，即有an＝3.

(2)由题意可知bn＝2an＝2n＋1，∴b1＝4，＝2.

∴{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列，

∴Tn＝＝＝2n＋2－4.

15．解析：(1)证明：由题设知anan＋1＝pSn＋2，

an＋1an＋2＝pSn＋1＋2，

两式相减得an＋1(an＋2－an)＝pan＋1，

由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝p.

(2)由题设知a1＝2，a1a2＝pS1＋2，可得a2＝p＋1，

由(1)知a3＝p＋2.

令2a2＝a1＋a3，解得p＝2，故an＋2－an＝2，

由此可得{a2n－1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n－1＝2n，

{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n＝2n＋1，

所以an＝n＋1，an＋1－an＝1，

因此存在p＝2，使得数列{an}为等差数列．