数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十八章

一、证明题

1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有

2.设,.证明:当,y>0时,u,v可以用来作为曲线坐标;解出x,y作为u,v的函数;画出xy平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算和并验证它们互为倒数.

3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标的形式:

,

.

4.证明对任意常数ρ, ,球面与锥面是正交的.

5.试证明:函数在点的梯度恰好是F的等值线在点P0的法向量(设F有连续一阶偏导数).

6.证明:在n个正数的和为定值条件

x1+x2+x3+…+xn=a

下,这n个正数的乘积x1x2x3…xn的最大值为.并由此结果推出n个正数的几何中值不大于算术中值.

二、计算题

1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 .

2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数.

3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数:

(1)x+y+z= ,求Z对x,y的一阶与二阶偏导数;

(2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .

4.设f是一元函数,试问应对f提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y为x的函数?

1.试讨论方程组

在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.

5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:

(1),  求,;

(2),   求, , ,.

(3),      求,.

6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:

(1) 求;

(2),求.

7.设函数z=z(x,y)由方程组

, , (u,v为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz.

8.设u,v为新的自变量变换下列方程:

(1),设,;

(2),设,.

9.设函数u=u(x,y)由方程组

u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0

所确定,求和.

10.设, , ,其中,

(1)试求以u,v,w为自变量的反函数组;

(2)计算.

11.求平面曲线上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.

12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:

(1), ,在点;

(2).,在点(1,－1,2).

13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线:

(1),在点(1,1,2);

(2),在点(,).

14.求曲面上过点的切平面,使它平行于平面.

15.在曲线x=t, ,上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4.

16.求函数在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t, ,在该点切线方向上的方向导数.

17.确定正数λ,使曲面与椭球面在某一点相切.

18.求曲面的切平面,使其垂直于平面和.

19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy平面上的投影曲线的切线方程.

20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:

(1)f(x,y)=,若x+y-1=0

(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t>0,c>0);

(3)f(x,y,z)=xyz,若=1,x+y+z=0.

21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体.

(2)求体积一定而表面积最小的长方体.

22.(1)求空间一点到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.

(2)求原点到二平面, 的交线的最短距离.

23.设a1,a2,…,an 为已知的n个正数,求

=    在条件

     下的最大值.

24.求函数    =

在条件,           下的最小值.

三、考研复习题

1.方程=0在那些点的邻域内可唯一地确定连续可导的隐函数y=?

2.设函数f(x)在区间(a,b)内连续,函数在区间(c,d)内连续,而.问在怎样的条件下,方程能确定函数y=.并研究例子:(Ⅰ)siny+shy=x;(Ⅱ).

3.设f(x,y,z)=0,z=g(x,y),试求,.

4.已知G1(x,y,z),G2(x,y,z),f(x,y)都是可微的, gi(x,y)= Gi(x,y, f (x,y)),(i=1,2)     证明:

=.

5.设x=f(u,v,w),y=g(u,v,w),z=h(u,v,w).求, ,.

6.试求下列方程所确定的函数的偏导数,:

(1)x2+u2=f(x,u)+g(x,y,u)

(2)u=f(x+u,yu)

7.据理说明:在点(0,1)近傍是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y).满足f(0,1)=1,g(0,1)=－1,且+xg(x,y)-y=0, +yf(x,y)-x=0.

8.设满足方程组

这里所有的函数假定有连续的导数.

(1)说出一个能在该点邻域内确定x,y,z作为u的函数的充分条件;

(2)在f(x)=x.,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么?

9.求下列由方程所确定的陷函数的极值:

(1) 

(2),(a>0)

10.设f=F(x)和一组函数, ,那么由方程可以确定函数v=v(u).试用u,v，，表示，.

11.试证明:二次型

=在单位球面上的最大值和最小值恰好是矩阵

的最大特征值和最小特征值.

12.设n为自然数, ,用条件极值方法证明: 

13.求出椭球++=1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.

14.设是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点,F在U(p0)可微,且为n次齐次函数.证明:此曲面在P0处的切平面方程为

++=n.