高中数学重要知识点及典型例题——立体几何

1、平面及基本性质

公理1  

公理2  若,则且

公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）

2、空间两直线的位置关系

共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线

3、异面直线

（1）对定义的理解：不存在平面，使得且

（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理： 

★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.

     ②向量法  （注意异面直线所成角的范围）

（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；

②向量法 

（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.

9.2 直线与平面的位置关系

1、直线与平面的位置关系

2、直线与平面平行的判定

（1）判定定理: (线线平行，则线面平行)

（2）面面平行的性质：  (面面平行，则线面平行)

3、直线与平面平行的性质

(线面平行，则线线平行)

★4、直线与平面垂直的判定

（1）直线与平面垂直的定义的逆用 

（2）判定定理： （线线垂直，则线面垂直）

（3）（练习 第6题）

（4）面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）

（5）面面平行是性质： 

5、射影长定理

★6、三垂线定理及逆定理 线垂影线垂斜

9.3  两个平面的位置关系

1、空间两个平面的位置关系 相交和平行

2、两个平面平行的判定

（1）判定定理：  （线线平行，则面面平行）

（2）垂直于同一平面的两个平面平行

（3）平行于同一平面的两个平面平行 （练习 第2题）

3、两个平面平行的性质

（1）性质1： 

（2）面面平行的性质定理：  （面面平行，则线线平行）

（3）性质2： 

4、两个平面垂直的判定与性质

（1）判定定理：  （线面垂直，则面面垂直）

（2）性质定理：面面垂直的性质定理： （面面垂直，则线面垂直）

9.4  空间角

1、异面直线所成角（9.1）

2、斜线与平面所成的角 

（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.

（2）向量法：设平面的法向量为，则直线与平面所成的角为，则

（3）两个重要结论

 最小角定理：  ，例4第6题

3、二面角及其平面角 

（1）定义法，垂面法，★三垂线定理及逆定理

（2）射影面积法： 关键是找准一个平面图形在二面角的另一个面上的射影面积

（3）向量法：设二面角的大小为，另个平面的法向量分别为

9.5  空间距离

1、求距离的一般方法和步骤

（1）找出或作出有关的距离；

（2）证明它符合定义；

（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）

2、求点到面的距离常用的两种方法

（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；

（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度： 

3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解

4、异面直线的距离

1定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）

2求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离

向量法（，分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量）  注意理解应用：  重点例题：和例2

9.6  棱柱、棱锥、球

1、棱柱

（1）棱柱的性质

①棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形.

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形

（2）平行六面体与长方体

①概念：底面是平行四边形的棱柱是平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各侧棱长都相等的长方体叫正方体.

②性质：<1>平行六面体的对角线相交于一点且互相平分

<2>设长方体过同一顶点的三条棱长分别为，一条对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为,则★体对角线的长为： 

若，则从一个顶点经表面到达相对的另一顶点的最短距离是

③公式

<1>，<2>

2、棱锥

（1）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影是中心的棱锥

（2）棱锥的性质：

①平行于底面的截面与底面相似，面积之比等于相似比的平方

②正棱锥的侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（斜高）相等

★③正棱锥的高、斜高及其在底面上的射影组成一个——可解决侧面与底面所成二面角；高、侧棱及其在底面上的射影组成一个——可解决侧面与底面所成线面角.

（3）公式

①（为斜高）   ★②——重视等体积法求点到面的距离

（4）三棱锥的常用性质

★①各侧棱相等时顶点在底面的射影为底面三角形的   外心    

★②各侧棱与底面所成角相等时顶点在底面的射影底面三角形的   外心         

③顶点到底面各边距离相等且射影落在底面内顶点在底面的射影时为底面三角形的   内心       

④各侧面与底面所成角相等时顶点在底面的射影为底面三角形的    内心      

⑤三条侧棱两两垂直时顶点在底面的射影为底面三角形的     垂心      

⑥各侧棱与其对棱垂直时顶点在底面的射影为底面三角形的    垂心     

★★（5）熟练计算正三棱锥、正四面体、正四棱锥的高、斜高、体积

3、球

（1）截面圆的性质

①球心与截面圆心的连线垂直于截面

★②球心到截面圆的距离与求的半径及截面圆半径，满足

（2）两点间的球面距离

即指：在球面上，两点间的最短距离就是经过这两点的大圆上的劣弧的长度

先计算弦长和球心角，再由弧长公式

4、球与多面体的组合体（“接”、“切”）问题，基本解法是通过接切的公共点与球心作出截面，找出球的半径与多面体的元素之间的关系.

常考题型是球与长方体、正方体、正三棱锥、正四面体的组合体

5、方法突破

（1）解决线面关系、面面关系时要重视平行的相互转化、垂直关系的相互转化；垂直问题是立体几何的核心问题之一，证明垂直问题、及二面角的求解问题时，三垂线定理及逆定理的使用时解题的关键.

（2）规范解题：证明问题中，使用定理公理要有依据且定理的条件要书写完整；空间角与距离的计算问题，也要重视论证部分阐述清楚，基本步骤（作、证、指、算、答）.

（3）立体几何主要以棱柱、棱锥为载体，考查线面关系，角与距离等，解题时，要充分挖掘棱柱、棱锥中的线面间的特定关系与性质，学会发现，善于联想，灵活应用“直线与平面”的位置关系（如“射影定理”、“线面角”、“面面角”等），它是解决空间图形的关键.

（4）几何体不同侧面上两点间的表面距离，常采用侧面展开图“化折为直”的方法转化为平面问题处理.

（5）等面积法于等体积法对求点到线的距离，点到面的距离具有优越性.

（6）向量是很好的数学工具，在立体几何的证明与计算空间角、距离是注意准确应用.使用时，准确建立空间直角坐标系，找准相应点的坐标是解决问题的关键，计算过程要详尽（写公式—代入值—化简），一定要有相应的结论.