2020-2021学年天津市中考数学压轴题综合训练及答案解析

1.若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（　　）

  A．a≤﹣2    B．a≥4    C．a≤﹣2或a≥4    D．﹣2≤a≤4

2.如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（　　）

A．9    B．6    C．5    D．4

3.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（　　）

 A．①②    B．②③    C．③④    D．②④

4.如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（　　）

5.如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（　　）

6.如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（　　）

　    A．40°    B．    36°    C．    32°    D．    30°

7.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（　　）

　    A．3    B．    2    C．    2    D．    2

8.如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　）

　    A．    B．        C．        D．    

9.如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,∠EBC的平分线交CD于点F,将△DEF沿EF折叠,点D恰好落在BE上M点处,延长BC、EF交于点N.有下列四个结论:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等边三角形;④S△BEF=3S△DEF．其中将正确结论的序号全部选对的是（　    　）

　    A．①②③    B．    ①②④    C．    ②③④    D．    ①②③④

10.如图,将矩形ABCD的一个角翻折,使得点D恰好落在BC边上的点G处,折痕为EF,若EB为∠AEG的平分线,EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤若，则．以上命题，正确的有（　　）

　    A.2个    B.    3个    C.    4个    D.    5个

11.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为　        　．

12.如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．

13.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E．

(1) 求证：∠ABD=2∠CAB；

(2) 若BF=5，sin∠F=，求BD的长．

14.为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：p=50x2+100x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．

（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；

（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？

15.如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A出发,在AC上以每秒5cm的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒，连接．

  ⑴若与相似，求的值．

  ⑵连结，，若，求的值．

  ⑶连结，，请问能和平行吗？若能，求出的值；若不能，说明理由．

16.如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；

（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

17.如图，抛物线    经过原点，与轴的另一个交点为，将抛物线向右平移个单位得到抛物线，交轴于，两点（点在点的左边），交轴于点．

  ⑴求抛物线的解析式及顶点坐标．

  ⑵以为直角边向上作等腰（是直角），当点落在抛物线的对称轴上时，求抛物线的解析式．

  ⑶若抛物线的对称轴上存在点，使为等边三角形，求的值．

18.已知：抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣）．

（1）求抛物线l2的函数表达式；

（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；

（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

答案详解

1.【解答】解：∵b是实数，∴关于b的一元二次方程b2﹣ab+a+2=0，△=（﹣a）2﹣4×1×（a+2）≥0解得：a≤﹣2或a≥4；∴a的取值范围是a≤﹣2或a≥4．故选C．

2.【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，设反比例函数解析式为y=（k＞0），

∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，∴A、B两点的纵坐标分别是、，

∵AD∥BE，∴△CEB∽△CDA，∴===，∴DE=CE，

∵OD：OE=a：2a=1：2，∴OD=DE，∴OD=OC，∴S△AOD=S△AOC=×9=3，∴|k|=3，

而k＞0，∴k=6．故选B．

3.【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，

∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；

②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；

③∵对称轴x=＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；

④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），

2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D．

4.【解答】解：作PH⊥AB于H，如图，

∵△PAB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，

∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，

∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而∠CPD=45°，

∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，

∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM，

而∠A=∠B，∴△ANP∽△BPM，∴=，即=，∴y=，

∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．故选：A．

5.【解答】解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，

∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，

由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，在Rt△ENK和Rt△EML中，，故可得△ENK≌△EML

，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．故选B．

6.解答：    解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，

∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，

∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，

∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，

∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．

7.解答：解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，

∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，

由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，

∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，

∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，

∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，

∴BC===2．故选B．

8.解答：    解：连接CD，交MN于E，

∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处,∴MN⊥CD，且CE=DE，

∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，

∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，

∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．

9.解答：    解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，

由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，

∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；

∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，

∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，

∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；

∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA），∴EF=FN，

∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；

∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，

∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．故选B．

10.解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；

②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；

③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；

④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；

⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，则有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合题意舍去），x2=y．则，故正确．故正确的有3个．故选B．

11.【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，

∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，

∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，∴y=﹣x2±x，

∴顶点坐标为（=±， =），即（±，）．故答案为：（±，）．

12.【解答】（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，

∵△AFD由△AFG翻折而成，∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，

∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，

∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；

（2）MN2=ND2+DH2，理由：连接NH，

∵△ADH由△ABM旋转而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，

∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，

∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，∴MN2=ND2+DH2；

（3）设AG=BC=x，则EC=x﹣4，CF=x﹣6，在Rt△ECF中，

∵CE2+CF2=EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2=100，x1=12，x2=﹣2（舍去）∴AG=12，

∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，∴BD===12，

∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，

设NH=y，在Rt△NHD中，∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9﹣y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．

13.（1）证明：如图，连接OC，∵OA＝OC错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。，∴∠CAB＝∠1∴∠2＝∠CAB＋∠1＝2∠CAB．

∵CF切⊙O于C，OC是⊙O的半径，∴OC⊥CF．

∵DB⊥CF，∴OC∥DB，∴∠ABD＝∠2，∴∠ABD＝2∠CAB．

(2) 如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥DE．

∵DE⊥CF，∴AD∥CF，∴∠3＝∠F．

在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，BF＝5，sin∠F＝，∴BE＝BF•sin∠F＝5×＝3．

∵OC∥BE，  ∴△FBE∽△FOC，∴＝，

设⊙O的半径为，则＝，解得  ＝．

在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2＝15，sin∠3＝sin∠F＝，

∴BD＝AB•sin∠3＝15×＝9．

14.【解答】解：（1）设y=kx+b，

根据题意，将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，得：，解得：，

故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，

w=100y﹣p=100（10x+30）﹣（50x2+100x+450）=﹣50x2+900x+2550；

（2）由﹣50x2+900x+2550=5800得：x2﹣18x+65=0∴x1=13，x2=5∵x≤12，∴x=5，

∴在今年内该单位第5个月获得利润达到5800元．

16.【解答】解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），

代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，

∴

∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣2m+3），∴F（m，m+3），

∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，

△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），=﹣（+1）（m+）2+，

∴△PFG周长的最大值为：．

（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．

此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，

∵D（﹣1，4），∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）

∵y=x+3中，k=1，∴直线DM1解析式为：y=x+5，直线M3M2解析式为：y=x+1，

∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，

∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，

∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．

18.【解答】解：（1）∵抛物线l1：y=﹣x2+bx+3的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得b=2，

∴抛物线l1的解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴A点坐标为（﹣1，0），

∵抛物线l2经过点A、E两点，∴可设抛物线l2解析式为y=a（x+1）（x﹣5），

又∵抛物线l2交y轴于点D（0，﹣），∴﹣=﹣5a，解得a=，∴y=（x+1）（x﹣5）=x2﹣2x﹣，

∴抛物线l2的函数表达式为y=x2﹣2x﹣；

（2）设P点坐标为（1，y），由（1）可得C点坐标为（0，3），

∴PC2=12+（y﹣3）2=y2﹣6y+10，PA2=[1﹣（﹣1）]2+y2=y2+4，

∵PC=PA，∴y2﹣6y+10=y2+4，解得y=1，∴P点坐标为（1，1）；

（3）由题意可设M（x， x2﹣2x﹣），∵MN∥y轴，∴N（x，﹣x2+2x+3），x2﹣2x﹣

令﹣x2+2x+3=x2﹣2x﹣，可解得x=﹣1或x=，

①当﹣1＜x≤时，MN=（﹣x2+2x+3）﹣（x2﹣2x﹣）=﹣x2+4x+=﹣（x﹣）2+，

显然﹣1＜≤，∴当x=时，MN有最大值；

②当＜x≤5时，MN=（x2﹣2x﹣）﹣（﹣x2+2x+3）=x2﹣4x﹣=（x﹣）2﹣，

显然当x＞时，MN随x的增大而增大，∴当x=5时，MN有最大值，×（5﹣）2﹣=12；

综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．