函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

  例1. 求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

  例2. 求函数的值域。

解：∵

故函数的值域是：

  2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

  例3. 求函数的值域。

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

  3. 判别式法

  例4. 求函数的值域。

解：原函数化为关于x的一元二次方程

（1）当时，

解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

  例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

  4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

  例6. 求函数值域。

解：由原函数式可得：

则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：

  5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

  例7. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：

∵

∴

解得：

故所求函数的值域为

  例8. 求函数的值域。

解：由原函数式可得：，可化为：

即

∵

∴

即

解得：

故函数的值域为

  6. 函数单调性法

  例9. 求函数的值域。

解：令

则在[2，10]上都是增函数

所以在[2，10]上是增函数

当x=2时，

当x=10时，

故所求函数的值域为：

  例10. 求函数的值域。

解：原函数可化为：

令，显然在上为无上界的增函数

所以，在上也为无上界的增函数

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值

显然，故原函数的值域为

  7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

  例11. 求函数的值域。

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

当时，

故函数的值域为

  例12. 求函数的值域。

解：因

即

故可令

∴

∵

故所求函数的值域为

  例13. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

可令，则有

当时，

当时，

而此时有意义。

故所求函数的值域为

  例14. 求函数，的值域。

解：

令，则

由

且

可得：

∴当时，，当时，

故所求函数的值域为。

  例15. 求函数的值域。

解：由，可得

故可令

∵

当时，

当时，

故所求函数的值域为：

  8. 数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

  例16. 求函数的值域。

解：原函数可化简得：

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），间的距离之和。

由上图可知，当点P在线段AB上时，

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

故所求函数的值域为：

  例17. 求函数的值域。

解：原函数可变形为：

上式可看成x轴上的点到两定点的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，，

故所求函数的值域为

  例18. 求函数的值域。

解：将函数变形为：

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。

即：

由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有

即：

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有

综上所述，可知函数的值域为：

注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。

如：例17的A，B两点坐标分别为：（3，2），，在x轴的同侧；例18的A，B两点坐标分别为（3，2），，在x轴的同侧。

  9. 不等式法

利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

  例19. 求函数的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当

即当时，等号成立

故原函数的值域为：

  例20. 求函数的值域。

解：

当且仅当，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

  10. 一一映射法

原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

  例21. 求函数的值域。

解：∵定义域为

由得

故或

解得

故函数的值域为

  11. 多种方法综合运用

  例22. 求函数的值域。

解：令，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

  例23. 求函数的值域。

解：

令，则

∴当时，

当时，

此时都存在，故函数的值域为

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。