【人教版】九年级上学期数学《期末考试试题》及答案

数 学 试 卷

一、选择题

1.抛物线y＝－(x＋2)2＋3的顶点坐标是(  )

A. (－2，3) (2，3)

C. (2，－3) (－2，－3)

2.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB的值是(　　)

A.     B.     C.     D. 

3.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）

A. 1组    B. 2组    C. 3组    D. 4组

4.如图点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（　　）

A 65°                                           B. 50°                                         C. 80°                                         D. 100°

5.已知二次函数，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（    ）

A y1＞y2＞y3    B. y1＜y2＜y3    C. y2＞y3＞y1    D. y2＜y3＜y1

6.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则△PEF的周长为（　　） 

A. 10cm    B. 15cm    C. 20cm    D. 25cm

7.如图是小李上学用的自行车，型号是24英吋（车轮的直径为24英吋，约60厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°，那么预计需要的铁皮面积约是（    ）                    

A. 300πcm2    B. 600πcm2    C. 900πcm2               D. 1200πcm2

8.抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为

A. b=2，c=﹣6    B. b=2，c=0    C. b=﹣6，c=8    D. b=﹣6，c=2

9.若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（    ）

A. x1＝0，x2＝6    B. x1＝1，x2＝7    C. x1＝1，x2＝－7    D. x1＝－1，x2＝7

10.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与过A点的⊙O的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（    ）

A.     B.     C.     D. 

二．填空题 

11.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式______.

12.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝________．

13.如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO＝2.4m，在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________．

14.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______．

15.如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第　　秒．

三、解答题

16.（1）计算 

（2）解方程

17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．        

18.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．

(1)求证：△ABC为等边三角形．

(2)求DE的长．

19.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC，交AB于点D．

（1）作⊙O，使⊙O经过A、C、D三点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）判断直线 BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

20.网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店，某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1000元，经过试销发现：售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系．

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)写出每天的利润W与销售价x之间的函数关系式．若你是网店老板，会将价格定为多少，使每天获得的利润最大，最大利润是多少？

21.某游乐场部分平面图如图所示，C，E，A在同一直线上，D，E，B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m，C处与D处的距离为34 m，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(≈1.4，≈1.7)

(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；

(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数)．

22.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．

（1）求证：AC平分∠DAO；

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°

①求∠OCE的度数；

②若⊙O半径为2，求线段EF的长．

23.如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案与解析

一、选择题

1.抛物线y＝－(x＋2)2＋3的顶点坐标是(  )

A. (－2，3) (2，3)

C. (2，－3) (－2，－3)

【答案】A

【解析】

根据y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k）可得：

∵抛物线的解析式为y=-（x+2）2+3，

∴其顶点坐标为（-2， 3）．

故选C．

2.如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为3，AC＝4，则sinB的值是(　　)

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【详解】解：连接AO并延长交圆于E，连CE．

∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；

在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，

∴sin∠E=；

又∵∠B=∠E（同弧所对的圆周角相等），

∴sinB=．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义．在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可．

3.为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）

A. 1组    B. 2组    C. 3组    D. 4组

【答案】C

【解析】

此题比较综合，要多方面考虑：

①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长；

②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组求出AB；

③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例，求出AB；

④无法求出A，B间距离．

因此共有3组可以求出A，B间距离．故选C．

4.如图点I是△ABC的内心，∠BIC=130°，则∠BAC=（　　）

A. 65°                                           B. 50°                                         C. 80°                                         D. 100°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形的外接圆得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度数即可．

【详解】解：∵点I是△ABC的内心，

∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，

∵∠BIC=130°，

∴∠IBC+∠ICB=180°-∠CIB=50°，

∴∠ABC+∠ACB=2×50°=100°，

∴∠BAC=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°．

故选C．

【点睛】本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠ACB+∠ABC的度数数解此题的关键．

5.已知二次函数，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（    ）

A. y1＞y2＞y3    B. y1＜y2＜y3    C. y2＞y3＞y1    D. y2＜y3＜y1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：

【详解】∵二次函数，

∴此函数的对称轴为：．

∵＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，

∴对称轴右侧y随x的增大而减小．

∴y1＞y2＞y3．

故选：A

6.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F，则△PEF的周长为（　　） 

A. 10cm    B. 15cm    C. 20cm    D. 25cm

【答案】C

【解析】

【详解】解： ∵PA，PB是圆的切线．∴PA=PB，

同理，AE=EC，FC=FB．

三角形PEF的周长=PE+EF+PF=PE+PF+CF+EC=PE+AE+PF+FB=PA+PB=2PA=20cm．

故选C．

【点睛】本题考查切线长定理．

7.如图是小李上学用的自行车，型号是24英吋（车轮的直径为24英吋，约60厘米），为了防止在下雨天骑车时的泥水溅到身上，他想在自行车两轮的阴影部分两侧装上挡水的铁皮（两个阴影部分分别是以C、D为圆心的两个扇形），量出四边形ABCD中∠DAB=125°、∠ABC=115°，那么预计需要的铁皮面积约是（    ）                    

A. 300πcm2    B. 600πcm2    C. 900πcm2               D. 1200πcm2

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意求得∠ADC+∠BCD=120°，车轮的半径为30cm，由扇形的面积公式求得两个扇形的面积和，即可求得预计需要的铁皮面积.

【详解】解：四边形ABCD中，∵∠DAB=125°，∠ABC=115°，

∴∠ADC+∠BCD=360°-∠DAB-∠ABC=120°，

∵车轮的直径为60cm，

∴半径R=30cm，

∴两个扇形的面积和为平方厘米， 

∴预计需要的铁皮面积=平方厘米．

故选B．

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，解题时注意运用四边形内角和360°、两个车轮半径相等、铁皮为面积两倍等条件．

8.抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则b、c的值为

A. b=2，c=﹣6    B. b=2，c=0    C. b=﹣6，c=8    D. b=﹣6，c=2

【答案】B

【解析】

【详解】函数的顶点坐标为（1，﹣4），

∵函数图象由的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，

∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．

∴平移前的抛物线为，即y=x2+2x．

∴b=2，c=0．故选B．

9.若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（    ）

A. x1＝0，x2＝6    B. x1＝1，x2＝7    C. x1＝1，x2＝－7    D. x1＝－1，x2＝7

【答案】D

【解析】

【分析】

由抛物线的对称轴，可求得m=，然后将m=代入方程得到关于x的一元二次方程，最后的方程的解即可．

【详解】解：∵二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，

∴，

∴，

把代入，得

，

∴，

∴x1＝－1，x2＝7；

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及解一元二次方程，解题的关键是正确求出m的值．

10.如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与过A点的⊙O的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

利用AB与⊙O相切，得到△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象即可．

【详解】解：∵AB与⊙O相切，

∴∠BAP=90°，

∵OP=x，则AP=2－x，

∵∠BPA=60°，

∴，

∴△APB面积，（0≤x≤2）．

∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．

故选：D

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，切线的性质等知识，综合性较强，解题的关键是根据题意得到y与x的函数关系式．

二．填空题 

11.把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式______.

【答案】y=（x﹣6）2﹣36

【解析】

【分析】

将二次项系数化为1，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【详解】y=2x2－12x =2(x² −6x+9)−18=2(x−3)² −18,即y=2(x−3)² −18.

故答案为y＝2(x－3)2－18

【点睛】本题考查了二次函数表达式三种形式的互化，掌握转化的技巧是解题的关键.

12.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB＝________．

【答案】

【解析】

【分析】

通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．

【详解】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，

∵OA=2OD=2cm，

∴AD===（cm），

∵OD⊥AB，

∴AB=2AD=2cm．

【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．

13.如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO＝2.4m，在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________．

【答案】y＝－x2

【解析】

【详解】解：设涵洞所在抛物线的解析式为y=ax2，

由题意可知点B坐标为（0．8，-2．4），代入得-2．4=a×0．82

解得a=-，

所以y=-x2

故答案为：y＝－x2

【点睛】本题考查二次函数的应用．

14.已知正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为______．

【答案】4cm

【解析】

【分析】

连接OA，交BE与G,连接OF，OB，求出，设OA=AF=a，分别表示出BF，AG，利用面积公式即可求解．

【详解】解：连接OA，交BE与G,连接OF，OB，

∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，

∴ , OA⊥BF，, 

∴ ,

∴, 

∵,

∴是等边三角形， 

∵, 

∴ ，

设OA=AF=a，

则AG=，FG=，

∵ OA⊥BF，

∴BF=2FG=，

∴

即，

∴

故答案为：D

【点睛】本题考查正多边形和圆，熟知正六边形的性质，得出面积是解题的关键．

15.如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个长度单位每秒，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第　　秒．

【答案】4

【解析】

【详解】解：根据题意，则作于D，则．

在直角三角形中，∠C=60°，，

∴，

∴，

∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．

故答案为4．

三、解答题

16.（1）计算 

（2）解方程

【答案】（1）2；（2）

【解析】

【分析】

（1）先计算算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，然后合并同类项，即可得到答案；

（2）先移项，然后利用公式法解一元二次方程，即可得到答案．

【详解】解：（1）

=

=2；

（2），

∴，

∴，

∴，

∴；

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，零指数幂，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．

17.已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．

（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．        

【答案】（1）b=2，c=3，y=-x+2x+3；（2）

【解析】

【分析】

（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；（2）令y=0，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y＞0时，x的取值范围．

【详解】解：（1）将点（-1，0），（0，3）代入y=-x2+bx+c中，得 

解得 ．

∴

（2）当y=0时，解方程，

得，

又∵抛物线开口向下，

∴当-1＜x＜3时，y＞0．

【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞0时，自变量x的取值范围．

18.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．

(1)求证：△ABC为等边三角形．

(2)求DE的长．

【答案】（1）详见解析；（2）DE＝1.

【解析】

【分析】

（1）连接AD，利用直径所对的圆周角为直角及垂直平分线的性质得到相等的线段AB=AC，联立已知的AB=BC，即可证得△ABC是等边三角形；

（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三线合一的性质得出E为AC的中点，继而利用三角形中位线的数量关系求得DE的长度．

【详解】(1)连接AD．

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．

∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC．

∵AB=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC为等边三角形．

(2)连接BE．

∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．

∵△ABC是等边三角形，∴AE=EC，即E为AC的中点．

∵D是BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=AB=×2=1．

【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形中位线定理．证明△ABC为等边三角形是解题的关键．

19.如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC，交AB于点D．

（1）作⊙O，使⊙O经过A、C、D三点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）判断直线 BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）BC与⊙O相切，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）分别作线段AC、CD的垂直平分线，即可得到⊙O的圆心，从而可以作图图形；

（2）连接CO，先根据圆的基本性质求得∠COB的度数，即可求的∠OCB的度数，从而可以作出判断．

【详解】解：（1）如图所示：

（2）BC与⊙O相切．

理由如下：

连接CO．

∵∠A＝∠B＝30°，

∴∠COB＝2∠A＝60°．

∴∠COB＋∠B＝30°＋60°＝90°．

∴∠OCB＝90°，即OC⊥BC．

又BC经过半径OC外端点C，

∴BC与⊙O相切．

【点睛】本题考查确定圆的条件，切线的判定，作图题是初中数学学习的重要题型，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．

20.网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店，某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1000元，经过试销发现：售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系．

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)写出每天的利润W与销售价x之间的函数关系式．若你是网店老板，会将价格定为多少，使每天获得的利润最大，最大利润是多少？

【答案】（1）y＝－0.1x＋180.（2）售价定为1400元/部时，每天最大利润为16000元．

【解析】

试题分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；

（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．

试题解析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，

，

解得：．

故y与x的函数关系式为y=-0.1x+180；

（2）∵W=（x-100）y

=（x-1000）（-0.1x+180）

=-0.1x2+280x-180000

=-0.1（x-1400）2+16000，

当x=1400时，W最大=16000，

∴售价定为1400元/件时，每天最大利润W=16000元．

21.某游乐场部分平面图如图所示，C，E，A在同一直线上，D，E，B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 m，C处与D处的距离为34 m，∠C＝90°，∠ABE＝90°，∠BAE＝30°.(≈1.4，≈1.7)

(1)求旋转木马E处到出口B处的距离；

(2)求海洋球D处到出口B处的距离(结果保留整数)．

【答案】(1)旋转木马E处到出口B处的距离为40 m.(2)海洋球D处到出口B处的距离为80 m

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABE中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可直接求得BE的长；

（2）先求出∠D＝30°，设CE＝x，则DE＝2x，在Rt△CDE中，利用勾股定理列方程求得CE的长，进而求得DE的长，然后利用DB＝DE＋EB求解．

试题解析：

解：（1）由题意可得，AE＝80 m，∠BAE＝30°，∠ABE＝90°，

∴BE＝AE＝40 m，

即旋转木马E处到出口B处的距离为40 m；

（2∵∠BAE＝30°，∠ABE＝90°，

∴∠AEB＝90°－∠BAE＝60°，

∴∠AEB＝∠CED＝60°，

∴∠D＝180°－∠C－∠CED＝30°，

设CE＝xm，则DE＝2xm，

在Rt△CDE中，利用勾股定理得：

342＋x2＝(2x)2，

解得：x＝，

∴DE＝2x＝≈40m．

∴DB＝DE＋BE＝40＋40＝80 m，

即海洋球D处到出口B处的距离为80 m．

点睛：本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟记含30°角的直角三角形的性质和根据勾股定理列出方程是解决此题的关键．

22.如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．

（1）求证：AC平分∠DAO；

（2）若∠DAO=105°，∠E=30°

①求∠OCE的度数；

②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =-2

【解析】

【分析】

（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD，又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得AD//OC，∠DAC=∠OCA，又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA，等量代换得：∠DAC=∠OAC，根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO；

（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在 中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°；

②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG， 因为OC=，∠OCE=45°，等腰直角三角形的斜边是腰长的倍，得CG=OG=2， FG=2，在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=，则EF=GE-FG=-2．

【详解】解：（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD

又∵AD⊥CD，

∴AD//OC

∴∠DAC=∠OCA

又∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA

∴∠DAC=∠OAC

∴AC平分∠DAO

（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，

∴∠EOC=∠DAO=105°

∵∠E=30°，∴∠OCE=45°

②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG 

∵OC=，∠OCE=45°

∴CG=OG=2

∴FG=2

∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=

∴EF=GE-FG=-2

【点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等．

23.如图，已知抛物线与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C．

（1）直接写出A、D、C三点的坐标；

（2）若点M在抛物线上，使得△MAD面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；

（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)；（2）或；（3）存在，，

【解析】

分析】

由题意可知，本题考察二次函数的图像，性质与梯形．

（1）根据题意A、D、C三点，分别令横坐标和纵坐标为零，进行求解．

（2）根据题意可求出对称轴，通过△MAD的面积与△CAD的面积相等，且AD为三角形公共边，运用对称以及代入求值法进行求解．

（3）根据题意分别以BC，AP为底，运用一次方程解析式求法以及与二次函数联立方程组，进行求解

【详解】解：（1）当时，

解得：，

当时，

∴A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)

（2）设M点的坐标为（），可知，

∵

∴

∴,即

∵M点在抛物线上

∴，当时，

解得

当时，

解得0或2

当时，点M与点C重合，故舍去；

综上所述，M点坐标或

（3）存在；如图1所示，若,此时梯形为

∵点B为点C关于抛物线对称轴的对称点

∴BC与对称轴垂直，故轴

∴点位于轴上，故点此时与D重合，对称轴，，

∵，

∴为梯形，此时点的坐标为(－1，0)

如图2所示，若，此时梯形为，设直线AB的解析式为：

∵直线过点A(3,0)，B(2,-3)

∴

解得：

∴直线AB的解析式为

∵

∴可设直线的解析式为：

把C(0,-3)代入，可得n=-3

∴直线的解析式为：     

∵为直线与抛物线的交点，可得

解得：（舍去）或     

将代入，可得，

∴点的坐标为(5,12)     

∴     

∵，

∴为梯形

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，P点的坐标为(-1,0)或(5,12)

【点睛】本题考察二次函数的图像与性质以及梯形的性质，熟练掌握二次函数的性质以及与一次函数交点的关系，并通过联立方程是解决此类问题的关键．