立体几何解答题(详解)

1.在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形。

（Ⅰ）若，证明：直线平面；

（Ⅱ）设，分别是线段，的中点，在线段上是否存在一点，使直线平面？请证明你的结论。

2．如图，四棱锥中，⊥底面，底面为菱形，点为侧棱上一点.

（1）若，求证：平面；    

（2）若，求证：平面⊥平面.

3．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，若点E，F分别是PC，BD的中点。

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAD⊥平面PCD

4．如图，长方体中，，，点为的中点。

（1）求证：直线∥平面；

（2）求证：平面平面；

5．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上．

 (1)求证：AC⊥B1C；

（2）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD.

6．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，

平面，且，点是的中点.

（1）求证：；

（2）求证:平面；

（3）求二面角的大小.

7．如图1，在直角梯形中，，，且．

现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：∥平面;

（2）求证：;

（3）求点到平面的距离.

8．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面

底面，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；    

（2）求证：面平面； 

（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由.

参

1．（1）证明详见解析；（2）存在，M为线段AB的中点时，直线平面.

【解析】

试题分析：（1）证直线垂直平面，就是证直线垂直平面内的两条相交直线.已经有了，那么再在平面内找一条直线与BC垂直. 据题意易得，平面ABC，所以.由此得平面.（2）首先连结，取的中点O. 考虑到，分别是线段，的中点，故在线段上取中点，易得.从而得直线平面.

试题解析：（Ⅰ）因为四边形和都是矩形，

所以.

因为AB，AC为平面ABC内的两条相交直线，

所以平面ABC.

因为直线平面ABC内，所以.

又由已知，为平面内的两条相交直线，

所以，平面.

（2）取线段AB的中点M，连接，设O为的交点.

由已知，O为的中点.

连接MD，OE，则MD，OE分别为的中位线.

所以，，

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则.

因为直线平面，平面，

所以直线平面.

即线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使得直线平面.

【考点定位】空间直线与平面的位置关系.

2．(1)详见解析; （2）详见解析

【解析】

试题分析：(1) 要证证平面，根据线面平行的判定定理可转化为线线平行，在本题中可取的交点为，转化为证明，且平面，平面，即可得证平面;（2）要证平面⊥平面，联想到面面垂直的判定定理，可转化为证线面垂直，由于底面为菱形，则对角线，又⊥底面，可得⊥平面，进而得到平面，再加之平面，即可证得平面⊥平面．

(1) 证：（1）设的交点为，连底面为菱形， 为中点，

又， ，                               5分

且平面，平面，

平面.                                   7分

（2）底面为菱形， ， ⊥底面， ， ⊥平面，

， ， 平面，

又平面，平面⊥平面.                      14分

考点：1.线面平行的判定;2.线面垂直的判定和性质;3.面面垂直的判定

3．（1）详见解析，（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）证线面平行找线线平行，本题有G为AD中点，F为BD中点条件，可利用平行四边形性质.即取PD中点H，AD中点G，易得EFGH为平行四边形，从而有EF∥GH.写定理条件时需完整，因为若缺少EF面PAD，则EF可能在面PAD内，若缺少GH面PAD，则EF与面PAD位置关系不定.（2）证面面垂直关键找线面垂直.可由面面垂直性质定理探讨，因为侧面PAD⊥底面ABCD，CD垂直AD,而AD为两平面的交线,所以应有CD垂直于平面PAD，这就是本题证明的目标.

试题解析：（1）设PD中点为H，AD中点为G，连结FG，GH，HE

G为AD中点，F为BD中点， GF，

同理EH，

ABCD为矩形， ABCD， GFEH， EFGH为平行四边形

EF∥GH，又∥面PAD.

（2）面PAD⊥面ABCD，面PAD面ABCD＝AD，又ABCD为矩形，

CD⊥AD， CD⊥面PAD

又CD面PCD，面PAD⊥面PCD.

考点：线面平行判定定理，面面垂直判定与性质定理

4．（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）设AC与BD的交点为O，连接OP，则长方体中O为BD中点，又P为DD1的中点，所以三角形BDD1 中，由中位线定理可知PO ∥ ，根据线面平行的判定定理即可，得证；（2）根据四边形ABCD为菱形，故BDAC，由题意可知DD1AC，故AC 平面，进而可证明出结论．

解：（1）设AC与BD的交点为O，连接OP，则长方体中O为BD中点，又P为DD1的中点，

所以三角形BDD1 中，PO ∥ ，而  不在平面PAC内，OP在平面PAC内，故∥平面 

（2）长方体中，AB=AD，所以ABCD为菱形，故BDAC，

又长方体中，DD1面ABCD，所以DD1AC，从而AC 平面，则平面平面

考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定；3．面面垂直的判定．

5．(1)详见解析；（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）要证明AC⊥B1C，根据线面垂直的判定定理，只要转化证明AC⊥平面BB1C1C即可；

（2）要证明AC1∥平面B1CD，根据线面的判定定理，只要转换证明DE//AC1即可.

试题解析：(1)证明：在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，

所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，所以CC1⊥AC，

因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB1C1C．

所以AC⊥B1C．   6分

（2）连结BC1，交B1C于E，连接DE．

因为直三棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中点，所以侧面BB1C1C为矩形，

DE为△ABC1的中位线，所以DE//AC1．

因为DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．   12分

考点：空间位置关系的证明.

6．（1）见解析（2）见解析（3）135︒

【解析】

试题分析：（1）利用三垂线定理可证；（2）直线与平面平行的判定定理（Ⅲ）证，进而找出二面角的平面角

试题解析：（1）AB是PB在平面ABCD上的射影，

又ABAC，AC平面ABCD， ACPB.

（2）连接BD，与AC相交与O，连接EO，

ABCD是平行四边形O是BD的中点又E是PD的中点， EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，

PB平面AEC，

（3）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则

EF是△PAD的中位线， EFPA又平面， 

同理FO是△ADC的中位线， FOABFO⊥AC，由三垂线定理可知∠EOF是二面角E－AC－D的平面角.又FO＝AB＝PA＝EF。

∠EOF＝45︒而二面角与二面角E－AC－D互补，

故所求二面角的大小为135︒.

考点：利用三垂线定理可证；直线与平面平行的判定定理；出二面角的平面角

7．（1）见解析（2）见解析(3) 

【解析】

试题分析：

(1)要证明线面平行,取中点，连结,其中线段BN在面BEC中,根据线面平行的判断,只需要证明线段BN与AM平行即可,根据MN为所在线段的中点,利用中位线定理即可得到MN平行且等于DC的一半,题目已知AB平行且等于DC的一半,则可以得到MN与AB平行且相等,即四边形ABMN为平行四边形,而AM与BN为该平行四边形的两条对边,则AM与BN平行,即得到线段AM平行于面BEC.

(2)题目已知面ABCD与ADEF垂直且ED垂直于这两个面的交线,根据面面垂直的性质定理可得线段ED垂直于面ABCD,再根据线面垂直的性质可得到BC垂直于ED,根据梯形ABCD为直角梯形和边长关系和勾股定理可以得到BC与BD垂直,即线段BC与面BED中两条相交的线段ED,BD相互垂直,根据线面垂直的判断即可得到线段BC垂直于面BED

(3)要求点面距离可以考虑利用三棱锥体积的等体积法,即分别以D点和E点作为顶点求解三棱锥D-BEC的体积,当以E作为顶点时,DE为高,三角形BCD为底面,求出高和底面积得到三棱锥的体积,当D为顶点,此时,高为D到面BEC的距离,而三角形BEC为底面,利用三角形的勾股定理得到BE的长度,求出三角形BEC的面积,利用三棱锥的体积公式即可得到D到面BEC的距离.

试题解析：

（1）证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，

所以∥，且．

由已知∥，，

所以∥，且．          3分

所以四边形为平行四边形．

所以∥．          4分

又因为平面，且平面，

所以∥平面．         5分

（2）在正方形中，．

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面．

所以．         7分

在直角梯形中，，，可得．

在△中，，

所以．

所以．          8分

所以平面．          10分

（3）解法一：因为平面，所以平面平面．    11分

过点作的垂线交于点，则平面

所以点到平面的距离等于线段的长度         12分

在直角三角形中，

所以

所以点到平面的距离等于.         14分

解法二：平面,所以

所以

         12分

又，设点到平面的距离为

则，所以

所以点到平面的距离等于.         14分

考点：勾股定理线面平行,线面垂直等体积法

8【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）线段上存在点，使得二面角的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）连接经过点，利用中位线得到，再由直线与平面平行的判定定理得到

平面；（2）利用平面与平面垂直的性质定理结合侧面底面得到平面，从而得到，再由勾股定理证明，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后利用平面与平面垂直的判定定理得到平面平面；（3）取的中点，连接、，

利用平面与平面垂直的性质定理证明平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决题中二面角问题.

（1）证明：连接，由正方形性质可知，与相交于的中点，

也为中点，为中点.

所以在中，，

又平面，平面，

所以平面；

（2）证明：因为平面平面，平面面   

为正方形，，平面，所以平面.  

又平面，所以.

又，所以是等腰直角三角形，且，即. 

又，且、面，所以面. 

又面，所以面面；

（3）取的中点，连接、，因为，所以.  

又侧面底面，平面平面，所以平面.

而、分别为、的中点，所以，

又是正方形，故.

以为原点,建立空间直角坐标系，

则有，，，，，

若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接、，

设，

则，，由（2）知平面的法向量为，

设平面的法向量为.则，即，解得，

令，得，

所以，解得（舍去）.

所以，线段上存在点，使得二面角的余弦值为.

考点：1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直的性质与判定；3.利用空间向量法处理二面角