江苏省苏州市2017届中考数学一模试卷(含解析)

一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上．

1．的倒数是（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

2．某细胞截面可以近似看成圆，它的半径约为0.000 000787m，则0.000 000787用科学记数法表示为（　　）

A．7.87×107    B．7.87×10﹣7    C．0.787×10﹣7    D．7.87×10﹣6

3．下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3=a5    B．a2•a3=a6    C．a8÷a4=a2    D．（﹣2a2）3=﹣8a6

4．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，其中，参加书法兴趣小组的有8人，文学兴趣小组的有11人，舞蹈兴趣小组的有9人，其余参加绘画兴趣小组．则参加绘画兴趣小组的频率是（　　）

A．0.1    B．0.15    C．0.25    D．0.3

5．小明记录了3月份某一周的最高气温如下表：

A．13，14    B．13，15    C．13，13    D．10，13

6．已知点A（﹣1，y1）、B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列y1、y2、y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3    B．y1＞y3＞y2    C．y1＞y2＞y3    D．y2＞y3＞y1

7．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（　　）

A．16    B．14    C．12    D．6

8．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

9．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（　　）

A．（35+55）m    B．（25+45）m    C．（25+75）m    D．（50+20）m

10．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（　　）

A．（0，）    B．（0，）    C．（0，）    D．（0，3）

二、选择题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应的位置上.

11．因式分解：a2﹣1=　　．

12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．

13．如图，a∥b，MN⊥a，垂足为N．若∠1=56°，则∠M度数等于　　．

14．某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，其中A所在扇形的圆心角为30°，则在被调查的学生中选择跳绳的人数是　　．

15．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，则m的取值范围是　　．

16．如图，矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′　　．

17．如图，⊙O的半径是2，弦AB和弦CD相交于点E，∠AEC=60°，则扇形AOC和扇形BOD的面积（图中阴影部分）之和为　　．

18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为　　．

三、解答题本大题共10小题，共76分把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．

19．（5分）计算： +|﹣|﹣﹣tan30°．

20．（5分）解不等式组：．

21．（6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=+1．

22．（6分）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了396元钱购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？

23．（8分）九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．

（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是　　．

（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．

24．（8分）如图，已知Rt△ABD中，∠A=90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．

（1）求证：△ABD≌△ECB；

（2）若∠ABD=30°，BE=3，求弧CD的长．

25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB．

（1）若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；

（2）求证： =；

（3）若AD∥BC，求点B的坐标．

26．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．

（1）求证：BD=CD；

（2）若∠G=40°，求∠AED的度数．

（3）若BG=6，CF=2，求⊙O的半径．

27．（10分）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）

（1）顶点C的坐标为（　　，　　），顶点B的坐标为（　　，　　）；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．

（3）若正方形OABC以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

2017年江苏省苏州市中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上．

1．的倒数是（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【考点】17：倒数．

【分析】根据倒数的定义求解即可．

【解答】解：得到数是，

故选：C．

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．

2．某细胞截面可以近似看成圆，它的半径约为0.000 000787m，则0.000 000787用科学记数法表示为（　　）

A．7.87×107    B．7.87×10﹣7    C．0.787×10﹣7    D．7.87×10﹣6

【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000 000787=7.87×10﹣7，

故选：B．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3=a5    B．a2•a3=a6    C．a8÷a4=a2    D．（﹣2a2）3=﹣8a6

【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方以及幂的乘方的性质对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、a2+a3不能进行运算，故本选项错误；

B、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；

C、a8÷a4=a8﹣4=a4，故本选项错误；

D、（﹣2a2）3=（﹣2）3（a2）3=﹣8a6，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

4．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，其中，参加书法兴趣小组的有8人，文学兴趣小组的有11人，舞蹈兴趣小组的有9人，其余参加绘画兴趣小组．则参加绘画兴趣小组的频率是（　　）

A．0.1    B．0.15    C．0.25    D．0.3

【考点】V6：频数与频率．

【分析】根据各小组频数之和等于数据总和．频率=，可得答案．

【解答】解：绘画小组的频数是40﹣8﹣11﹣9=12，

频率是12÷40=0.3，

故选：D．

【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．注意：每个小组的频数等于数据总数减去其余小组的频数，即各小组频数之和等于数据总和．频率=．

5．小明记录了3月份某一周的最高气温如下表：

A．13，14    B．13，15    C．13，13    D．10，13

【考点】W5：众数；W4：中位数．

【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可．

【解答】解：∵这组数据中13出现的次数最多，是3次，

∴每天的最高气温的众数是13；

把3月份某一周的气温由高到低排列是：

16℃、15℃、14℃、13℃、13℃、13℃、10℃，

∴每天的最高气温的中位数是13；

∴每天的最高气温的众数和中位数分别是13、13．

故选：C．

【点评】此题主要考查了众数、中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．

6．已知点A（﹣1，y1）、B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列y1、y2、y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3    B．y1＞y3＞y2    C．y1＞y2＞y3    D．y2＞y3＞y1

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，求得y1、y2、y3的值，然后比较它们的大小．

【解答】解：∵反比例函数y=﹣图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），

∴y1=﹣=1，y2=﹣1，y3=﹣．

∵﹣﹣1＜﹣＜1，

∴y2＜y3＜y1

故选B．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．函数图象上点坐标都满足该函数解析式．

7．如图，△ABC中，AB=AC=15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为21，则BC的长为（　　）

A．16    B．14    C．12    D．6

【考点】KH：等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．

【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE=AC=．

∵△CDE的周长为21，

∴CD=6，

∴BC=2CD=12．

故选C．

【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

8．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点（3，0），则a﹣b+c的值为（　　）

A．﹣1    B．0    C．1    D．2

【考点】H3：二次函数的性质．

【分析】根据二次函数对称性可求出点（3，0）关于对称轴直线x=1的对称点为（﹣1，0），然后把（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c即可求出答案．

【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，

∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（﹣1，0），

∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，

∴a﹣b+c的值等于0．

故选B．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是求出点P关于对称轴的对称点，此题难度不大．

9．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（　　）

A．（35+55）m    B．（25+45）m    C．（25+75）m    D．（50+20）m

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识表示出线段CG的长，根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x•tanβ即可求得．

【解答】解：设CG=xm，

由图可知：EF=（x+20）•tan45°，FG=x•tan60°，

则（x+20）tan45°+30=xtan60°，

解得x==25（+1），

则FG=x•tan60°=25（+1）×=（75+25）m．

故选C．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．

10．在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在x轴和y轴上，OA=3，OB=4．把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC．边OB上的一点M旋转后的对应点为M′，当AM′+DM取得最小值时，点M的坐标为（　　）

A．（0，）    B．（0，）    C．（0，）    D．（0，3）

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；PA：轴对称﹣最短路线问题．

【分析】根据旋转的性质得到AM=AM′，得出AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，则AD′=AM′+DM的最小值，过D作DE⊥x轴于E，解直角三角形得到DE=×3=，AE=，求出D（，），根据轴对称的性质得到D′（﹣，），求出直线AD′的解析式为y=﹣x+，于是得到结论．

【解答】解：∵把△AOB绕点A顺时针旋转120°，得到△ADC，点M是BC边上的一点，

∴AM=AM′，

∴AM′+DM的最小值=AM+DM的最小值，

作点D关于直线OB的对称点D′，连接AD′交OB于M，

则AD′=AM′+DM的最小值，

过D作DE⊥x轴于E，

∵∠OAD=120°，

∴∠DAE=60°，

∵AD=AO=3，

∴DE=×3=，AE=，

∴D（，），

∴D′（﹣，），

设直线AD′的解析式为y=kx+b，

∴，

∴，

∴直线AD′的解析式为y=﹣x+，

当x=0时，y=，

∴M（0，），

故选A．

【点评】本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转，待定系数法求函数的解析式，轴对称的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

二、选择题本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应的位置上.

11．因式分解：a2﹣1=　（a+1）（a﹣1）　．

【考点】54：因式分解﹣运用公式法．

【分析】考查了对平方差公式的理解，本题属于基础题．本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．

【解答】解：a2﹣1=a2﹣12=（a+1）（a﹣1）．

【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．

12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x＞﹣2　．

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：由题意得，x+2＞0，

解得，x＞﹣2，

故答案为：x＞﹣2．

【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．

13．如图，a∥b，MN⊥a，垂足为N．若∠1=56°，则∠M度数等于　34°　．

【考点】JA：平行线的性质；J3：垂线．

【分析】先根据平行线的性质以及对顶角的性质，得到∠3的度数，再根据三角形内角和定理即可得到结论

【解答】解：∵a∥b，∠1=56°，

∴∠2=∠1=56°，

∴∠3=∠2=56°，

∵MN⊥a，

∴∠M=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣56°﹣90°=34°．

故答案为：34°．

【点评】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，以及对顶角相等的知识．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等．

14．某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目：A．篮球、B．乒乓球、C．跳绳、D．踢毽子．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，其中A所在扇形的圆心角为30°，则在被调查的学生中选择跳绳的人数是　100人　．

【考点】VC：条形统计图；VB：扇形统计图．

【分析】根据统计图中的信息可以求得本次调查的学生人数，从而可以求得被调查的学生中选择跳绳的人数．

【解答】解：由题意可得，

被调查的学生有：20÷=240（人），

则选择跳绳的有：240﹣20﹣80﹣40=100（人），

故答案为：100人．

【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

15．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，则m的取值范围是　m≤2　．

【考点】AA：根的判别式．

【分析】根据一元二次方程有实数根，得出△≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【解答】解：由题意知，△=4﹣4（m﹣1）≥0，

∴m≤2，

故答案为：m≤2．

【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0，方程有两个不相等的实数根；△=0，方程有两个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根是本题的关键．

16．如图，矩形ABCD中，AB=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点B、D分别落在点B′，D′处，且点A，B′，D′在同一直线上，则tan∠DAD′　=　．

【考点】R2：旋转的性质；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形．

【分析】直接利用旋转的性质结合相似三角形的判定与性质得出DB′的长进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：AD∥CD′，

故△ADE∽△D′CB′，

则=，

设AD=x，则B′C=x，DB′=4﹣x，AB=CD′=4，

故=，

解得：x1=﹣2﹣2（不合题意舍去），x2=﹣2+2，

则DB′=6﹣2，

则tan∠DAD′===．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出DB′的长是解题关键．

17．如图，⊙O的半径是2，弦AB和弦CD相交于点E，∠AEC=60°，则扇形AOC和扇形BOD的面积（图中阴影部分）之和为　　．

【考点】MO：扇形面积的计算．

【分析】根据三角形的外角的性质、圆周角定理得到∠AOC+∠BOD=120°，利用扇形面积公式计算即可．

【解答】解：连接BC，如图所示：

∵∠CBE+∠BCE=∠AEC=60°，

∴∠AOC+∠BOD=120°，

∴扇形AOC与扇形DOB面积的和==，

故答案为：．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．

18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为　　．

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．

【分析】作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，证△PCF≌△DPE得PF=DE、PE=CF，从而得PE=CF=4﹣x，根据四边形ABCD的面积求得AD的长，据此知AE=BF=2﹣x、FC=BC﹣BF=4﹣（2﹣x）=2+x，从而得2+x=4﹣x，求得x的值，由勾股定理得出答案．

【解答】解：如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，

∵AD∥BC，

∴∠PFC=∠DEP=90°，

∴∠CPF+∠PCF=90°，

∵∠DPC=90°，

∴∠CPF+∠DPE=90°，

∴∠PCF=∠DPE，

在△PCF和△DPE中，

∵，

∴△PCF≌△DPE（AAS），

∴PF=DE、PE=CF，

设PF=DE=x，则PE=CF=4﹣x，

∵S四边形ABCD=（AD+BC）•AB=12，

∴×（AD+4）×4=12，解得AD=2，

∴AE=BF=2﹣x，

∴FC=BC﹣BF=4﹣（2﹣x）=2+x，

可得2+x=4﹣x，解得x=1，

∴BP==，

故答案为：．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、矩形的性质、四边形的面积及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

三、解答题本大题共10小题，共76分把解答过程写在答题卷相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．

19．计算： +|﹣|﹣﹣tan30°．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．

【分析】首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式+|﹣|﹣﹣tan30°的值是多少即可．

【解答】解： +|﹣|﹣﹣tan30°

=3+﹣1﹣

=

【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

20．解不等式组：．

【考点】CB：解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：由①得，x＞﹣1，

由②得，x≤4，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤4．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=+1．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先化简题目中的式子，再将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1﹣）÷

=

=

=，

当x=+1时，原式==．

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

22．某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动员，花了396元钱购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件15元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种奖品各买多少件？

【考点】9A：二元一次方程组的应用．

【分析】设甲种奖品买了x件，乙种奖品买了y件．根据两种奖品共30件以及共花了396元，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设甲种奖品买了x件，乙种奖品买了y件．

根据题意得：，

解得：．

答：甲种奖品买了12件，乙种奖品买了18件．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．

23．九年级（1）班和（2）班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔．

（1）若从报名的4名学生中随机选1名，则所选的这名学生是女生的概率是　　．

（2）若从报名的4名学生中随机选2名，用树状图或表格列出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）根据概率公式即可得出答案；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）所选的学生性别为女生的概率==，

故答案为：；

（2）画树形图得：

所以共有12种等可能的结果，满足要求的有4种．

∴这2名学生来自同一个班级的概率为=．

【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．

24．如图，已知Rt△ABD中，∠A=90°，将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，使BC∥AD，过点C作CE⊥BD于点E．

（1）求证：△ABD≌△ECB；

（2）若∠ABD=30°，BE=3，求弧CD的长．

【考点】MN：弧长的计算；KD：全等三角形的判定与性质；R2：旋转的性质．

【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，根据旋转的性质得出BC=BD，由AD∥BC推出∠ADB=∠EBC，从而能证明△ABD≌△ECB；

（2）由全等三角形的性质得出AD=BE=3．根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=2AD=6，根据平行线的性质求出∠DBC=60°，再代入弧长计算公式求解即可．

【解答】（1）证明：∵∠A=90°，CE⊥BD，

∴∠A=∠BEC=90°．

∵BC∥AD，

∴∠ADB=∠EBC．

∵将斜边BD绕点B顺时针方向旋转至BC，

∴BD=BC．

在△ABD和△ECB中，

∴△ABD≌△ECB；

（2）∵△ABD≌△ECB，

∴AD=BE=3．

∵∠A=90°，∠BAD=30°，

∴BD=2AD=6，

∵BC∥AD，

∴∠A+∠ABC=180°，

∴∠ABC=90°，

∴∠DBC=60°，

∴弧CD的长为=2π．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，旋转的性质，弧长的计算，证明出△ABD≌△ECB是解题的关键．

25．如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，AC与BD交于点E，连结AD，DC，CB．

（1）若△ABD的面积为3，求k的值和直线AB的解析式；

（2）求证： =；

（3）若AD∥BC，求点B的坐标．

【考点】GB：反比例函数综合题．

【分析】（1）先求出k的值，进而得出mn=12，然后利用三角形的面积公式建立方程，联立方程组求解即可；

（2）先表示出BE，CE，DE，AE，进而求出BE•CE和DE•CE即可得出结论；

（3）利用（2）的结论得出△DEC∽△BEA，进而得出AB∥CD，即可得出四边形ADCB是菱形即可得出点B的坐标．

【解答】解：（1）∵函数y=（x＞0，k是常数）的图象经过A（2，6），

∴k=2×6=12，

∵B（m，n），其中m＞2．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，

∴mn=12①，BD=m，AE=6﹣n，

∵△ABD的面积为3，

∴BD•AE=3，

∴m（6﹣n）=3②，

联立①②得，m=3，n=4，

∴B（3，4）；

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

∴，

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+10

（2）∵A（2，6），B（m，n），

∴BE=m﹣2，CE=n，DE=2，AE=6﹣n，

∴DE•AE=2（6﹣n）=12﹣2n，

BE•CE=n（m﹣2）=mn﹣2n=12﹣2n，

∴DE•AE=BE•CE，

∴

（3）由（2）知，，

∵∠AEB=∠DEC=90°，

∴△DEC∽△BEA，

∴∠CDE=∠ABE

∴AB∥CD，

∵AD∥BC，

∴四边形ADCB是平行四边形．

又∵AC⊥BD，

∴四边形ADCB是菱形，

∴DE=BE，CE=AE．

∴B（4，3）．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解（1）的关键是确定出k的值，解（2）的关键是表示出DE•AE，BE•CE，解（3）的关键是判断出四边形ADCB是菱形．

26．（10分）（2017•苏州一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，交AC边于点E．过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G，连接DE．

（1）求证：BD=CD；

（2）若∠G=40°，求∠AED的度数．

（3）若BG=6，CF=2，求⊙O的半径．

【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得出AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得出即可；

（2）连接OD，根据切线的性质求出∠ODG=90°，求出∠BOD、∠ABC，根据圆内接四边形求出即可；

（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圆的半径．

【解答】（1）证明：连接AD，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD；

（2）解：连接OD，

∵GF是切线，OD是半径，

∴OD⊥GF，

∴∠ODG=90°，

∵∠G=40°，

∴∠GOD=50°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=65°，

∵点A、B、D、E都在⊙O上，

∴∠ABD+∠AED=180°，

∴∠AED=115°；

（3）解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴=，

∴设⊙O的半径是r，则AB=AC=2r，

∴AF=2r﹣2，

∴=，

∴r=3，

即⊙O的半径是3．

【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．

27．（10分）（2017•苏州一模）如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A的坐标为（4，3）

（1）顶点C的坐标为（　﹣3　，　4　），顶点B的坐标为（　1　，　7　）；

（2）现有动点P、Q分别从C、A同时出发，点P沿线段CB向终点B运动，速度为每秒1个单位，点Q沿折线A→O→C向终点C运动，速度为每秒k个单位，当运动时间为2秒时，以P、Q、C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时k的值．

（3）若正方形OABC以每秒个单位的速度沿射线AO下滑，直至顶点C落到x轴上时停止下滑．设正方形OABC在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，推出C（﹣3，4），由CK=AK，OK=BK，可得K（，），B（1，7）．

（2）分两种情形①当点Q在OA上时．②当点Q在OC上时．分别计算即可．

（3）分两种情形①当点A运动到点O时，t=3，当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．②当点C运动到x轴上时，t=4当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F．分别求解即可．

【解答】解：（1）如图1中，作CM⊥x轴于，AN⊥x轴于N．连接AC、BO交于点K．

易证△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，

∴C（﹣3，4），∵CK=AK，OK=BK，

∴K（，），B（1，7），

故答案为﹣3，4，1，7．

（2）由题意得，AO=CO=BC=AB=5，

当t=2时，CP=2．

①当点Q在OA上时，∵PQ≥AB＞PC，

∴只存在一点Q，使QC=QP．

作QD⊥PC于点D（如图2中），则CD=PD=1，

∴QA=2k=5﹣1=4，

∴k=2．

②当点Q在OC上时，由于∠C=90°所以只存在一点Q，使CP=CQ=2，

∴2k=10﹣2=8，∴k=4．

综上所述，k的值为2或4．

（3）①当点A运动到点O时，t=3．

当0＜t≤3时，设O’C’交x轴于点E，作A’F⊥x轴于点F（如图3中）．

则△A’OF∽△EOO’，

∴==，OO′=t，

∴EO′=t，

∴S=t2．

②当点C运动到x轴上时，t=4

当3＜t≤4时（如图4中），设A’B’交x轴于点F，

则A’O=A′O=t﹣5，

∴A′F=．

∴S=（+t）×5=．

综上所述，S=．

【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

28．（10分）（2017•苏州一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．

（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；

（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．

（2）设点E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根据直线和抛物线解析式求得点D的横坐标，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函数解析式，根据最值确定a的值即可；

（3）分以AD为矩形的对角线和以AD为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P的坐标即可．

【解答】解：（1）令y=0，则ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得x1=﹣1，x2=3

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，

∴=，

∵CD=4AC，

∴==4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D点的横坐标为4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y=kx+b得，

解得，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a．

（2）如图2，过点E作EH∥y轴，交直线l于点H，

设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），则H（x，ax+a）．

∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，

由得x=﹣1或x=4，

即点D的横坐标为4，

∴S△ADE=S△AEH+S△DEH=（﹣ax2+3ax+4a）=﹣a（x﹣）2+a．

∴△ADE的面积的最大值为a，

∴a=，

解得：a=．

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣x﹣．

（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．

∵y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴抛物线的对称轴为x=1，

设P（1，m），

①若AD为矩形的边，则AD∥PQ，且AD=PQ，

则Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2=，

∵a＞0，

∴a=，

∴P1（1，），

②若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．

∴xD+xP=xA+xQ，yD+yA=yP+yQ，

∴xQ=2，

∴Q（2，﹣3a）．

∴yP=8a

∴P（1，8a）．

∵四边形APDQ为矩形，

∴∠APD=90°

∴AP2+PD2=AD2

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2

即a2=，

∵a＞0，

∴a=

∴P2（1，4）

综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，4）．

【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．