截面几何性质

6.1 预备知识

一、基本概念

1、 组合截面惯性矩的计算

  工程中常遇到组合截面，这些组合截面有的是由几个简单图形组成（图a、b、c），有的是由几个型钢截面组成（图d）。在计算组合截面对某轴的惯性矩时，根据惯性矩的定义，可分别计算各组成部分对该轴的惯性矩，然后再相加。

   在计算组合截面的形心主惯性矩时，应首先确定形心的位置，然后过形心选择一对便于计算惯性矩和惯性积的坐标轴并算出组合截面对这对轴的惯性矩和惯性积，通过式（6—16）、（6—17）便可确定形心主轴的位置和算出截面对形心主轴的惯性矩。

二、重点与难点

1、

2、

3、

三、解题方法要点

6.2典型题解

一、计算题

    求图中截面的形心主惯性矩。

解：此题在例6—1中已求出形心位置为        

过形心的主轴z0、y0如图6—10所示。 z0轴到两个矩形形心的距离分别为 

截面对z0轴的惯性矩为两个矩形面积对  轴的惯性矩之和，即

截面对y0轴的惯性矩为

  二、计算题

  求图所示箱形截面对其对称轴z的惯性矩Iz。

  解：可将箱形看作由大矩形减去小矩形组合而成，大、小矩形都关于z轴对称，所以

  三、计算题  

试求图中所示截面图形对形心轴的惯性矩。

  解：  此图形为矩形截面中挖去—圆形截面，计算时可把圆形看成负的面积。c点为图形的形心，选yc，z轴为参考坐标轴，由于yc为组合图形的对称轴，所以有。zc1轴和zc2 轴分别过矩形和圆形的形心，且和 z 轴平行。

由组合图形的形心计算公式得

利用矩形截面和圆形截面对各自形心轴的惯性矩计算式，并由平行移轴公式得

6.3 练习题

一、概念题

1、是非判断题

（1）   图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。（  对   ）

（2）  平行移轴公式表示图形对于任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（ 错）

（3）  图形在任一点只有一对主惯性轴。（  错  ）

（4）   有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（ 对 ）

（5）   图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。（  对  ）

2、填空题

（1）   组合图形对某一轴的静矩等于（ 各组成图形对同一轴静矩  ）的代数和

（2）   图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对（ 两轴交点的极惯性矩 ）

(3)    图形对于若干相互平行轴的惯性矩中，其中数值最小的是对（ 距形心最近的  ）轴的惯性矩

(4)    如果一对下正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形（主惯性轴）

(5)   过图形的形心且（ 图形对其惯性积等于零 ）的一对轴为图形的形心主惯性轴

3、选择题

（1）  图形对于其对称轴的（ A  ）

        A  静矩为零，惯性矩不为零          B  静矩和惯性矩均为零

C  静矩不为零，惯性矩为零          D  静矩和惯性矩均不为零

（2）  直径为d的圆形对其形心轴的惯性半径i=（  C  ）。

        A   d/2                             B   d/3      

C   d/4                             D   d/8

（3）  图示截面图形对形心轴z的惯性矩Iz=（  C   ）。

        A                        B  

    C                        D  

（4）  图示1/4圆截面，c点为形心，则 （  A   ）。

     A   y1，z1是主惯性轴，而y，z不是       B   y，z是主惯性轴，而y1，z1不是

     C   两对轴都是主惯性轴                  D   两对轴都不是主惯性轴

（5）  直角三角形如图所示，A点为斜边的中点，则（    ）为图形的一对主惯性轴。

                A    y1，z1                      B   y1，z2     

C    y2，z1                      D   y2，z2

二、计算题

 1、 求图所示各图形中阴影部分对z轴的静矩。

答案：

2、  求图所示图形的形心位置。

答案：

3、 求图所示截面对z、y轴的惯性矩和惯性积。

答案：

4、  求图所示各图形对z、y轴的惯性矩和惯性积

y

答案：

5、  图所示矩形，在左右两侧切去两个半圆形（）。试求切去部分的面积与原面积的百分比和惯性矩Iz、Iy比原来减少了百分之几。

答案：

6、  试求图所示各图形的形心位置。

答案： （a）yc=280.6mm  (b) yc=－16.7mm  (c) yc=133.97mm  ；yc=179.5mm

7、  试求图所示各平面图形关于形心轴的惯矩Ix和惯积Ixy 。

答案： （a）

      (b)  

8、  试求图所示各图形关于χ轴的惯矩Ix 。

(a)

答案：（a）；   （b）

9、  图所示截面系由一个长为l的正方形挖去一个边长为l/2的正方形，试求该截面关于x轴的惯性矩Ix 。

答案：Ix=0。0781l4

10、  试求图所示型钢组合截面的形心主轴及形心主惯矩。

答案：（a）

(b) 

11、  图示为由两个18a号槽钢组成的组合截面，如欲使此截面对两个对称由的惯性矩相等，问两根槽钢的间距应为多少？ 

答案： 

12、  在图示的对称截面中，求截面对形心主轴z0的惯性矩。

答案： 

13、  图示为工字钢与钢板组成的组合截面，已知工字钢的型号为40a，钢板的厚度，求组合截面对形心主轴z0轴的惯性矩。

答案： 

14、  试求下列各截面的形心位置。

答案：（a）

     （b）

15、  图示T形截面，已知h/b=6。试求截面形心的位置及对截面形心轴的惯性矩。

答案： 

16、  试求图示截面图形对其形心轴y，z的惯性矩

答案：  

17、  图示四块的等边角钢组成的图形，已知δ=12mm。试求图形对形心轴的惯性矩。

（b）

答案：（a）

     （b）