数值分析第四版习题和答案解析

数值分析习题

第一章  绪 论

1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差.

2.设x的相对误差为2％,求的相对误差.

3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:

4.利用公式求下列各近似值的误差限:

其中均为第3题所给的数.

5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少

6.设按递推公式

 ( n=1,2,…)

计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差

7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈.

8.当N充分大时,怎样求

9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝

10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小.

11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗

12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好

13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式

   计算,求对数时误差有多大

14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠

15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c 的误差分别为证明面积的误差满足

第二章  插值法  

1.根据定义的范德蒙行列式,令

   证明是n次多项式,它的根是,且

.

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.

3.给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln  的近似值.

5.设,k=0,1,2,3,求.

6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证:

i)

ii)

7.设且,求证

8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少

9.若,求及.

10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数).

11.证明.

12.证明

13.证明

14.若有个不同实根,证明

15.证明阶均差有下列性质:

i)若,则;

ii)若,则.

16.,求及.

17.证明两点三次埃尔米特插值余项是

   并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,.

20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到.

21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.

22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差.

23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

24.给定数据表如下:

i)

ii)

25.若,是三次样条函数,证明

i);

ii)若,式中为插值节点,且,则.

26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式).                                                                 

第三章  函数逼近与计算

1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.

(b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较.

2.求证:

(a)当时,. (b)当时,.

3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

4.假设在上连续,求的零次最佳一致逼近多项式.

5.选取常数,使达到极小,又问这个解是否唯一

6.求在上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7.求在上的最佳一次逼近多项式.

8.如何选取,使在上与零偏差最小是否唯一

9.设,在上求三次最佳逼近多项式.

10.令,求.

11.试证是在上带权的正交多项式.

12.在上利用插值极小化求1的三次近似最佳逼近多项式.

13.设在上的插值极小化近似最佳逼近多项式为,若有界,证明对任何,存在常数、,使

14.设在上,试将降低到3次多项式并估计误差.

15.在上利用幂级数项数求的3次逼近多项式,使误差不超过.

16.是上的连续奇(偶)函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇(偶)函数.

17.求、使为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

18.、,定义

   问它们是否构成内积

19.用许瓦兹不等式估计的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.

20.选择,使下列积分取得最小值:.

21.设空间,分别在、上求出一个元素,使得其为的最佳平方逼近,并比较其结果.

22.在上,求在上的最佳平方逼近.

23.是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

.

24.将在上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

25.把在上展成切比雪夫级数.

26.用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.

28.在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:

29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图.

30.编出改进FFT算法的程序框图.

31.现给出一张记录,试用改进FFT算法求出序列的离散频谱

第四章  数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:

(1);

(2);

(3);

(4).

2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

(1);                 (2);

(3);                   (4).

3.直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.

4.用辛普森公式求积分并计算误差.

5.推导下列三种矩形求积公式:

(1);

(2);

(3).

6.证明梯形公式和辛普森公式当时收敛到积分.

7.用复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分,才能保证误差不超过(设不计舍入误差)

8.用龙贝格方法计算积分,要求误差不超过.

9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是,这里是椭圆的半长轴,是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记为近地点距离,为远地点距离,公里为地球半径,则.我国第一颗人造卫星近地点距离公里,远地点距离公里,试求卫星轨道的周长.

10.证明等式试依据的值,用外推算法求的近似值.

11.用下列方法计算积分并比较结果.

(1)龙贝格方法;

(2)三点及五点高斯公式;

(3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.

12.用三点公式和五点公式分别求在,和处的导数值,并估计误差.的值由下表给出:

1. 就初值问题分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解相比较。

2. 用改进的尤拉方法解初值问题

取步长h=计算，并与准确解相比较。

3. 用改进的尤拉方法解

取步长h=计算，并与准确解相比较。

4. 用梯形方法解初值问题

证明其近似解为

并证明当时，它原初值问题的准确解。

5. 利用尤拉方法计算积分

在点的近似值。

6. 取h=，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

  1）

  2）

7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：

8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：

1）                

2）                

9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

取计算并与准确解相比较。

10. 证明解的下列差分公式

是二阶的，并求出截断误差的首项。

11. 导出具有下列形式的三阶方法：

12. 将下列方程化为一阶方程组：

1）

2）

3）

13. 取h=，用差分方法解边值问题

14. 对方程可建立差分公式

试用这一公式求解初值问题

验证计算解恒等于准确解

15. 取h=用差分方法解边值问题

第六章  方程求根

1. 用二分法求方程的正根，要求误差<。

2. 用比例求根法求在区间[0,1]内的一个根，直到近似根满足精度时终止计算。

3. 为求方程在附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

1），迭代公式；

2），迭代公式；

3），迭代公式。

试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。

4. 比较求的根到三位小数所需的计算量；

1）在区间[0,1]内用二分法；

2) 用迭代法，取初值。

5. 给定函数，设对一切存在且，证明对于范围内的任意定数λ，迭代过程均收敛于的根。

6. 已知在区间[a,b]内只有一根，而当a，

试问如何将化为适于迭代的形式

将化为适于迭代的形式，并求x=（弧度）附近的根。

7. 用下列方法求在附近的根。根的准确值＝1.…，要求计算结果准确到四位有效数字。

1) 用牛顿法；

2）用弦截法，取；

3）用抛物线法，取。

8. 用二分法和牛顿法求的最小正根。

9. 研究求的牛顿公式

证明对一切且序列是递减的。

10. 对于的牛顿公式，证明

收敛到，这里为的根。

11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

1) 

2) 

12. 应用牛顿法于方程，导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛性。

13. 应用牛顿法于方程，导出求的迭代公式，并用此公式求的值。

14. 应用牛顿法于方程和，分别导出求的迭代公式，并求

15. 证明迭代公式

是计算的三阶方法。假定初值充分靠近根，求

第七章  解线性方程组的直接方法

1. 考虑方程组：

(a)用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），

(b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a) 设A是对称阵且，经过高斯消去法一步后，A约化为

证明A2是对称矩阵。

   (b)用高斯消去法解对称方程组：

4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。

5. 由高斯消去法说明当时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。

6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式

。

7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为

，

其中

证明 （1）A的对角元素

（2）A2是对称正定矩阵；

（3）

（4）A的绝对值最大的元素必在对角线上；

（5）

（6）从（2），（3），（5）推出，如果，则对所有k

8. 设为指标为k的初等下三角阵，即

（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同）

求证当时，也是一个指标为k的初等下三角阵，其中为初等排列阵。

9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。

10. 设，其中U为三角矩阵。

(a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。

(b) 计算解三角形方程组的乘除法次数。

(c) 设U为非奇异阵，试推导求的计算公式。

11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则也是正定阵；

（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成,其中L是具有正对角元的下三角阵。

12. 用高斯－约当方法求A的逆阵：

13. 用追赶法解三对角方程组，其中

14. 用改进的平方根法解方程组

15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）若能分解，那么分解是否唯一

16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

.

17. 如果方阵A 有，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导的计算公式，对

1）   ；

2）   .

18. 设

，

计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。

19. 求证

(a) ，

(b) 。

20. 设 且非奇异，又设为上一向量范数，定义

。

试证明是上的一种向量范数。

21. 设为对称正定阵，定义

，

试证明为上向量的一种范数。

22. 设，求证

。

23. 证明：当且尽当x和y线性相关且时，才有

。

24. 分别描述中（画图）

。

25. 令是（或）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数，证明。

26. 设为上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数，使对一切满足

27. 设，求证与特征值相等，即求证。

28. 设A为非奇异矩阵，求证

。

29. 设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计

30. 矩阵第一行乘以一数，成为

。

证明当时，有最小值。

31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为，其中，求证

(a) 

(b) 

32. 设

计算A的条件数。

33. 证明：如果A是正交阵，则。

34. 设且为上矩阵的算子范数，证明

。

第八章  解方程组的迭代法

1. 设方程组  

(a)考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(b)用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止．

2. 设, 证明:即使级数也收敛．

3. 证明对于任意选择的A, 序列

收敛于零．

４. 设方程组

迭代公式为

求证: 由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是

5. 设方程组

(a)         (b) 

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

6. 求证的充要条件是对任何向量x，都有

7. 设，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛试考察习题5(a)方程组。

8. 设方程组

(a)求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径；

(b)求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

(c)考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。

9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子）

精确解要求当时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数。

10. 用SOR方法解方程组（取＝）

要求当时迭代终止。

11. 设有方程组，其中A为对称正定阵，迭代公式

试证明当时上述迭代法收敛（其中）。

12. 用高斯－塞德尔方法解，用记的第i个分量，且

。

(a)证明  ；

(b)如果，其中是方程组的精确解，求证：

其中                    。

(c)设A是对称的，二次型

证明                  。

(d)由此推出，如果A是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向量是收敛的，则A是正定阵。

13. 设A与B为n阶矩阵，A为非奇异，考虑解方程组

其中。

(a)找出下列迭代方法收敛的充要条件

(b)找出下列迭代方法收敛的充要条件

比较两个方法的收敛速度。

14. 证明矩阵

对于是正定的，而雅可比迭代只对是收敛的。

15. 设，试说明A为可约矩阵。

16. 给定迭代过程，其中，试证明：如果C的特征值，则迭代过程最多迭代n次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR迭代法的框图。

18. 设A为不可约弱对角优势阵且，求证：解的SOR方法收敛。

19. 设，其中A为非奇异阵。

(a) 求证为对称正定阵；

(b) 求证。

第九章  矩阵的特征值与特征向量计算

1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：

(a)  ,     (b) ,

当特征值有3位小数稳定时迭代终止。

2. 方阵T分块形式为

,

其中为方阵，T称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用记矩阵T的特征值集合，证明

3. 利用反幂法求矩阵

的最接近于6的特征值及对应的特征向量。

4. 求矩阵

与特征值4对应的特征向量。

5. 用雅可比方法计算

的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p的最优值。

6.  (a)设A是对称矩阵，λ和是A的一个特征值及相应的特征向量，又设P为一个正交阵，使

证明的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。

  (b)对于矩阵

,

λ=9是其特征值，是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P，使，并计算。

7. 利用初等反射阵将

正交相似约化为对称三对角阵。

8. 设，且不全为零，为使的平面旋转阵，试推导计算第行，第j行元素公式及第i列，第j列元素的计算公式。

9. 设是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y是的一个特征向量。

(a)证明矩阵A对应的特征向量是；

(b)对于给出的y应如何计算x

10. 用带位移的QR方法计算

(a)  ,       (b) 

全部特征值。

11. 试用初等反射阵A分解为QR，其中Q为正交阵，R为上三角阵，

。

数值分析习题答案

第一章  绪论习题参

1．ε（lnx）≈。

2．。

3．有5位有效数字，有2位有效数字，有4位有效数字，有5位有效数字，有2位有效数字。

4．。

5．。

6．。

7．。

8．

9．。

10．，故t增加时S的绝对误差增加，相对误差减小。

11．，计算过程不稳定。

12．，如果令，则，，，的结果最好。

13．，开平方时用六位函数表计算所得的误差为，分别代入等价公式中计算可得。

14．方程组的真解为，而无论用方程一还是方程二代入消元均解得，结果十分可靠。

15．

第二章   插值法习题参

1.                   ；

.

2.    

          .

3. 线性插值：取，则

；

  二次插值：取

，则

＝－ .

4. ，其中.

所以总误差界 

 .

5.                  

当  时，取得最大值

 .

6. i) 对在处进行n次拉格朗日插值，则有

由于，故有.

  ii) 构造函数在处进行n次拉格朗日插值，有

.

插值余项为 ，

由于 故有

令即得 .

7. 以a, b两点为插值节点作的一次插值多项式

，

据余项定理，

由于故

8. 截断误差 

其中  则时取得最大值

 .

由题意， 

所以，

9.    则可得

， ，则可得

10.  数学归纳法证

当时，为m－1次多项式；

假设 是m-k 次多项式，设为，则

为m-(k+1)次多项式，得证。

11. 右左

12. 

13.     

      .

14. 由于是的n个互异的零点，所以

对求导得

，

则                    ，

记则       

由以上两式得

15. i)    

                   .

   ii) 证明同上。

16.                  

17.    

即均为的二重零点。因而有形式：

作辅助函数

则 

由罗尔定理，存在使得

类似再用三次罗尔定理，存在使得

 又 

可得           

即         

18. 采用牛顿插值，作均差表：

所以 

19. 记  则

因为，所以在上一致连续。

当时，此时有

由定义知当时，在上一致收敛于。

20. 在每个小区间上表示为

计算各值的C程序如下：

#include""

#include""

float f(float x)

{ return(1/(1+x*x));

}

float I(float x,float a,float b)

{

  return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b));

}

void main()

{ int i;

  float x[11],xc,xx;

  x[0]=-5;

  printf("x[0]=%f\\n",x[0]);

for(i=1;i<=10;i++)

  { x[i]=x[i-1]+1;

    printf("x[%d]=%f\\n",i,x[i]);

  }

for(i=0;i<10;i++)

  { xc=(x[i]+x[i+1])/2;

    I(xc,x[i],x[i+1]);

    printf("I[%d]=%f\\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1]));

  }

for(i=0;i<10;i++)

  { xx=(x[i]+x[i+1])/2;

    f(xx);

    printf("f[%d]=%f\\n",i+1,f(xx));

  }

}

21. 在每个小区间上为

22.  则在每个小区间上表示为

23.    

则三次样条插值函数表达式为

i) 由，得

，

关于的方程组为

24. i) 因为所以

右＝

＝左。

   ii) 由于为三次函数，故为常数，又，则

，所以

。

第三章  函数逼近与计算习题参

1.(a) 区间变换公式为，代入原公式可得新区间里的伯恩斯坦多项式为;

(b) ，相应的麦克劳林级数分别为，部分和误差则为，，大于伯恩斯坦多项式的误差。

2.，故，当时。

3.，对任意不超过6次的多项式，在时，若有，则在上至少有7个零点，这与不超过6次矛盾，所以，就是所求最佳一致逼近多项式。

4.设所求为，由47页定理4可知在上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为的最大值和最小值处，故由可以解得即为所求。

5.原函数与零的偏差极大值点分别为，故，解方程可得出唯一解。

6.，故，得，，故所求最佳一次逼近多项式为，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为。

7.，故由可以解得，，则有，故所求最佳一次逼近多项式为。

8.切比雪夫多项式在上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常数倍，，解得唯一解 。

9.作变换代入得，则在上的三次最佳逼近多项式为，作逆变换代入，则在上的三次最佳逼近多项式为。

10.，，，其中。

11.，故正交。

12.用的4个零点做插值节点可求得三次近似最佳逼近多项式为。

13.，则有，其中。由拉格朗日插值的余项表达公式可得出，令，则待证不等式成立，得证。

14.由泰勒级数项数节约，在上有，即其中误差限为。

15.，取为的近似，误差限为，再对幂级数的项数进行节约就可以得到原函数的3次逼近多项式，其误差限为，即为所求

16.当为上的奇函数时，设为原函数的最佳逼近多项式，则，对有，所以也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性，，即是奇函数。同理可证，当为上的偶函数时，最佳逼近多项式也是偶函数。

17.，为使均方误差最小，则有，解得。

18.(a)，c为常数，，，但当时，,不满足定义，所以不构成内积。（b），，且当且仅当时，满足定义，所以构成内积。

19.，其中，则，由此可知用积分中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。

20.，时最小。在时，值为，时，值为1，时，值为，时最小。

21.要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，误差为，要使最小，由拉格朗日乘子法可解得，误差为，前者误差小。

22.上均为偶函数，也为偶函数，则最小，由拉格朗日乘子法可解得。

23.，和差化积得证。

24.由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知，，将原函数在此积分区间上按勒让德多项式三次展开就可以求得，代入可得，均方误差为。

25.，其中。

26.，，解方程得，均方误差。

27.经验公式为，最小二乘法解得，运动方程为。

28.经验公式为，最小二乘法解得，浓度与时间的函数关系为。

29.

30.

31.，，， ，。

第四章 数值积分与数值微分习题参

1. 1) 公式可对均准确成立，即

解得 ，具有3次代数精度。

2) ，具有3次代数精度。

3) 或

具有2次代数精度。

4) ，具有3次代数精度。

2. 1) 

       ＝

       ＝

 ＝

  2)  

  3)  

  4)  

3. 柯特斯公式为

.

其中.

验证对于，均成立，但时不成立。

4. ＝

，

所以。

5. 1) 此差值型求积公式的余项为

由于在上恒为正，故在上存在一点，使

所以有。

  2) 

  3) 

6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为

其中，

所以当时，即两公式均收敛到积分，且分别为二阶和四阶收敛。

7. 设将积分区间分成n等分则应有

其中，

解得。

8. 首先算出，然后逐次应用3个加速公式

计算结果如下表

9. ，

   ，

所以 

      ＝4××

      ＝48728

（可任选一种数值积分方法，如柯特斯公式）。

10. 由泰勒展开式

有                    

由于，用外推算法，令，则

， ，

，

即的近似值为。

11.  

1) 计算结果如下表

2) ，令

三点高斯公式

五点高斯公式

 ＝。

3) 

对每个积分用高斯公式  ，得

I＝。

此积分精确值为。

12. 三点公式：

。

， ， 

的误差 

的误差 

的误差 。

五点公式：

。

误差分别为

，

，

。

第五章  常微分方程数值解法习题参

1．尤拉法表达式，误差，改进尤拉法表达式，无误差。

2．

5．取步长h=，f=，f(1)=，f=，f(2)=。

6．

8．(1)令，泰勒展开可得，，同理有， 代入龙格-库塔公式可得。(2) 类似(1)展开可得，，同理有， 代入龙格-库塔公式可得。

9．二阶显式公式为，代入得，二阶隐式公式为，代入得，真解为。

10．，，，代入得，截断误差首项为。

11．，，，代入待定系数的公式中可得系数之间的关系式为，，，。

12．(1)，其中。(2) ，其中。(3)，其中。

13．用差商逼近导数的方法把原边值问题转化为等价差分法方程组可得，解此方程组可得。

14．，初值条件等于准确解，由数学归纳法代入差分公式中可得，即差分法求出的解恒等于准确解。

15．差分方程，代入得。

第六章 方程求根

1. 令，则

3. 1) ，在附近，

迭代公式收敛。

  2) ，在附近，

迭代公式收敛，迭代得近似值。

  3) ，，

迭代公式发散。

4. 1) 二分14次得；

  2) 迭代5次得。

5. 迭代函数， ，

由已知，有，所以

即迭代过程收敛。

6. 将转化为，此时

在附近，所以迭代格式为，迭代三次得。

7. 1) 牛顿法迭代格式 ，迭代三次得。

  2) 弦截法迭代格式 ，迭代三次得。

  3) 抛物线法 ，

故 ，

则，迭代三次得。

8. 最小正根为。

9. ，即。

，

即，序列单调递减。

10. 迭代函数为，且有

，

，  .

其中介于与之间。将上式两边除以，并将处泰勒展开得

         ，

其中介于与之间。将上式两边取极限，及，得

。

11. 1) ，迭代格式发散。

   2) ，迭代格式收敛，且收敛到。

要使 ，

则，为一阶收敛。

12. 令，迭代公式为

。

，则，所以，

又 ，所以，因此迭代格式为线性收敛。

13.            ，

取，迭代三次得。

14. 求的迭代公式分别为

，    

设迭代函数为 ，则，

.

15. 记迭代函数 ，则，

由上                                          ①

两边求导得          

则可得                      

对①式两边求二阶导数得 

则可得                      

对①式两边求二阶导数得 

则可得                     

所以迭代公式是三阶方法，且

.

第七章 解线性方程组的直接方法习题参 

1．(a)高斯消去法解得；(b)列主元消去法解得。

2．(a)，故对称。(b) 高斯消去法解得。

3．(a)，(b)由及(a)的结论可得, 。

4．因为非奇异，的对角元不为零，又分解等价于高斯消去法，由引理可知，矩阵的顺序主子式均不为零。

5．高斯消去法第步等价于左乘单位下三角矩阵，而顺序主子式均不为零保证所得矩阵对角元不为零，可进行第步消元，。

6． ，则是对角优势阵，故高斯消去法与部分选主元高斯消去法对于对称的对角优势阵每一步均选取同样的主元，得出的是同样的结果。

7．(1)，(2)，又有当时，故是对称正定矩阵，(3) ，(4)若，令，由于和也是对称正定矩阵，代入得，矛盾，故的绝对值最大的元素必在对角线上，(5)，(6)对所有均有对称正定。

8．，其中与位置互换。

9．对施行初等列变换，进行次初等列变换后，令即为所求。

10．(a) 若为阶可逆下三角矩阵，则 当时，而当 时，算法即从第一行开始顺序循环，同理可知若为阶可逆上三角矩阵，则当时，而当时，，算法即从最后一行开始逆序循环，(b)第k步循环进行k次乘除法，共进行次乘除法，(c)。

11．(a)， 由此可知也是对称矩阵，由此可知也是对称正定矩阵，(b)，得出唯一正对角元的下三角阵使得。

12．。

13．。

14．。

15．按高斯消去法，无法进行第二次消去，换行后可以分解，第二次消去可乘任意系数，分解不唯一，可唯一分解。

16．，解得。

17．高斯消去法公式中去掉即可推出该公式。

18．。

19．(a),(b)。

20．，，故是上的向量范数。

21．，故，故是上的向量范数。

22．。

23．充分性：若有和线性相关且， 即，代入得；唯一性：若有，由于 ，两边同时平方可得出，消去共同项可得，当且仅当和线性相关时等号成立。

24．

以上图像分别为，。

25．。

26．由向量范数的相容性可知存在常数，使得，于是令>0，>0，则对任意，均有不等式。

27．若，则就有，可推出即，同理可以推出，综合这两点即可得。

28．。

29．，则，故存在。

30．，当时，当时，当时，有最小值7。

31．(a) ，(b),。

32．。

33．。

34．。

第八章 解线性方程组的迭代法习题参

1. (a) Jacobi迭代矩阵

特征方程为  

特征根均小于1，Jacobi迭代法收敛。

Gauss-Seidel迭代矩阵

特征方程为  

特征根均小于1，Gauss-Seidel迭代法收敛。

(b) Jacobi迭代格式为

其中B如上，

迭代18次得

，

Gauss-Seidel迭代格式为

其中G如上，

迭代8次得

。

2. 证：    ，

则  故，

因此，

即级数收敛。

3. 证： 设，

一方面，

另一方面，

因此，即序列收敛于零。

4. 证：由已知迭代公式得迭代矩阵

则特征多项式为          

解得 ，

向量序列收敛的充要条件是 ，即 。

5. (a) 谱半径，Jacobi迭代法不收敛；

     矩阵A对称正定，故Gauss-Seidel迭代法收敛。

  (b) 谱半径，Jacobi迭代法收敛；

     谱半径，Gauss-Seidel迭代法不收敛；

6. 证：必要性  ，则 ，

对任意向量，有 

因而有 ，即。

充分性  因对任何向量，都有，令，则

即当时，的任一列向量的极限为A的对应的列向量，因而有

。

7.A对称正定，Jacobi迭代法不一定收敛，如题5(a)。

8.(a) Jacobi迭代矩阵的谱半径；

(b) Gauss-Seidel迭代矩阵的谱半径；

(c) 两种方法的谱半径均小于1，所以两种方法均收敛。

事实上，对于方程组，矩阵A为严格对角占优则Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。

9.取，迭代公式为

使当时迭代终止，

取时，迭代5次达到

；

取时，迭代6次达到

；

取时，迭代6次达到

。

10.迭代公式为

取，迭代8次达到精度要求

。

11.证：所给迭代公式的迭代矩阵为，

其n个特征值分别为，

当时，有，

因而，迭代法收敛。

12.证：(a) 即为Gauss-Seidel迭代格式。

       (b) 由及，可得

；

其中，

。

       (c) 

       (d)

13. (a) 由已知，有，及，

则             ，

即由到的迭代矩阵为，所以由到的迭代矩阵为，

则迭代方法收敛的充要条件为。

  (b) 由已知可推得，所以迭代矩阵为，则迭代方法收敛的充要条件为。

由迭代矩阵可以看出，(b)迭代法的收敛速度是(a)的2倍。

14. 证：由于，当时，

，所以A正定。

Jacobi迭代矩阵谱半径为，所以只对收敛。

15. 取排列阵，则

A为可约矩阵。

16. 证： 迭代矩阵的特征方程为，

若，则，所以，即对任给向量，迭代n次后，其中，则

即最多迭代n次收敛于方程组的解。

17. 用SOR方法解方程组，其中A对称正定，数组x用来存放解向量，用控制迭代终止，k表示迭代次数。

18. 证：方程组的SOR迭代矩阵为，

特征方程，

即，

记

只要当时，则的根均满足。

A不可约则G也不可约，又A为弱对角优势阵，则当且时，

即时，G为不可约弱对角占优，于是有，故，SOR方法收敛。

19. 证：(a) ，设，则

，为对称正定阵。

   (b) 因为为对称阵，所以

左

右左。

20. 证：A为严格对角占优，则存在。

第九章 矩阵的特征值与特征向量计算习题参

1．(a)取初始值(1,1,1)得

3．，由幂法得，原矩阵最接近6的特征值为，对应的特征向量为。

4．设特征向量为，则有，解得对应的特征向量为。

5．雅可比迭代进行五步可得，对应的特征向量分别为

，

，

，

最优值。

6．(a) ，正交，则第一列，又是对称矩阵，的第一行和第一列除外均为零。(b) 为反射阵，解得

。

7．由豪斯荷尔德方法得

。

8．，

解得，

代入得

9.(a)，(b)由可求出初等反射阵，依次类推。

10．(a)令，带位移QR方法计算可得

 ，

(b) 令，带位移QR方法计算可得

。

11．，故有。