初中数学竞赛专题选讲(初三7)

待定系数法

一、内容提要

1.多项式恒等的定义：设f(x)　和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)≡g(x)表示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的.

符号“≡”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式.　例如：

（x+3）2=x2+6x+9,  　　　　　　5x2－6x+1=(5x－1)(x－1), 

x3－39x－70=(x+2)(x+5)(x－7).

都是恒等式.

　根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值.　例如：

已知：恒等式ax2+bx+c=2(x+1)(x－2).

求：①a+b+c ； 　　　②a－b+c.

解：①以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c＝－4.

　　　　　②以x=－1，代入等式的左右两边，得a－b+c＝0.

2.恒等式的性质：如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等.

　　即 如果  a0xn+a1xn－1+……+an－1x+an=　b0xn+b1xn－1+……+bn－1x+bn

那么  a0=b0 ，  a1=b1， 　　…… ，   an－1=bn－1 ，     an=bn.

上例中又解： ∵ax2+bx+c=2x2－2x－4.

  ∴a=2, 　b=－2, 　c=－4.

  ∴a+b+c＝－4，　　 a－b+c＝0.

3.待定系数法：就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值.

二、例题 

例1.已知：  

求：A，B，C的值.

解：去分母，得

x2－x+2=A(x－3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x－3).

根据恒等式定义（选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值），

　　　　　　　当x=0时，　2＝－6A.　　∴A＝－.

当x=3时，　8＝15B.　　　∴B＝.

当x=－2时，　8＝10C.　　　∴C＝.

本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质：“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.（见下例）.

例2.把多项式x3－x2+2x+2表示为关于x－1的降幂排列形式.

解：用待定系数法：

设x3－x2+2x+2=a(x－1)3+b(x－1)2+c(x－1)+d  

把右边展开，合并同类项（把同类项对齐），

得　　　x3－x2+2x+2=ax3－3ax2+3ax－a

     　　　　+bx2－2bx+b

         　　　　　+cx－c

             　　　　　+d  

用恒等式的性质，比较同类项系数，

得   　　解这个方程组，得

∴x3－x2+2x+2=(x－1)3+2(x－1)2+3(x－1)+4.

本题也可用换元法：　　

设x－1=y, 　那么x=y+1.

把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x －1.

例3.已知：4x4+ax3+13x2+bx+1是完全平方式.

求： a和b的值.

解：设4x4+ax3+13x2+bx+1＝（2x2+mx±1）2　（设待定的系数，要尽可能少.）

右边展开，合并同类项，得

　4x4+ax3+13x2+bx+1＝4x4+4mx3+(m2±4)x2±2mx+1.

比较左右两边同类项系数，得

方程组；　 或.

解得.

例4.推导一元三次方程根与系数的关系.

解：设方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个根分别为x1,　x2,　x3.

原方程化为x3+.

∵x1,　x2,　x3是方程的三个根.

∴x3+ (x－x1) (x－x2) (x－x3).

把右边展开，合并同类项，得

x3+=x3－( x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x－x1x2x3.

比较左右同类项的系数，得

一元三次方程根与系数的关系是：

x1+x2+x3=－，　x1x2+x1x3+x2x3＝，　x1x2x3＝－.

例5.已知：x3+px+q 能被（x－a）2　　整除.

求证：4p3+27q2=0.

证明：设x3+px+q＝（x－a）2（x+b）.

x3+px+q=x3+(b－2a)x2+(a2－2ab)x+a2b.

　由①得b=2a，　代入②和③得　　 

 　　　　∴4p3+27q2＝4（－3a2）3+27(2a3)2

=4×（－27a6）+27×（4a6）=0.　（证毕）.

例6.已知：f (x)=x2+bx+c是g (x)=x4 +6x2＋25的因式，也是q (x)=3x4+4x2+28x+5

的因式.

求：f (1)的值.

解：∵g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除.

为了消去四次项，设g (x)－q (x)＝kf (x),   (k为正整数).

即14x2－28x+70＝k (x2+bx+c)

　　　　　　　　14（x2－2x+5）＝k (x2+bx+c)

∴k=14,　 b=－2, 　　c=5.

即f (x)=x2－2x+5.　

∴f (1)=4 .

例7.用待定系数法，求（x+y）5 的展开式

解：∵展开式是五次齐次对称式，

∴可设（x+y）5＝a(x5+y5)+b(x4y+xy4)+c(x3y2+x2y3)  (a,　b,　c是待定系数.)

 　　　当　x=1,y=0时，　　得a=1；

当　x=1,y=1时，　　得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16

当　x=－1,y=2时，　　得31a－14b+4c=1.

得方程组

解方程组，得

∴（x+y）5＝x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.

三、练习51

1.　已知.　　求a,　b的值.

2.　已知：.　求：A，B，C的值.

3.已知：　x4—6x3+13x2－12x+4是完全平方式.

求：这个代数式的算术平方根.

4.已知：ax3+bx2+cx+d　能被x2+p整除.

求证：ad=bc.

5.已知：x3－9x2+25x+13=a(x+1)(x－2)(x－3) 

=b(x－1)(x－2)(x－3) 

                 　   =c(x－1)(x+1)(x－3) 

=d(x－1)(x+1)(x－2).

求：a+b+c+d的值.

6.试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.

7.用x－2的各次幂表示3x3－10x2+13.

8.k取什么值时，kx2－2xy－y2+3x－5y+2能分解为两个一次因式..

9.分解因式：①x2+3xy+2y24x+5y+3；

②x4+1987x2+1986x+1987.

10.求下列展开式：

 ① (x+y)6；     　　 ② (a+b+c)3.

11.多项式x2y－y2z+z2x－x2z+y2x+z2y－2xyz因式分解的结果是(    )

 　(A) (x+y)(y－z)(x－z) .      (B) (x+y)(y+z)(x－z).

(C) (x－y)(y－z)(x+z).        (D) (x－y)(y+z)(x+z).

12.已知( a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1,　若S=(x－1)4+4(x－1)3+6(x－1)2+4x－3.

则S等于( 　  )

(A)  (x－2)4 .   (B)  (x－1)4 .    (C)  x4  .   (D)  (x+1)4.

 　　　　 (1988年泉州市初二数学双基赛题)

13． 已知：的值是恒为常数求：a,　b,　c的值.

练习题参

1. a=－,b=－    　　

2.　 A=1,B=2,C=3   　　　

3.　 ± (x2－3x+2)

4.由 (x2+p)(ax+)…  　　 

5.  1      　　　

7. 3(x－2)3+8(x－2)2－4(x－2)－3

8. 先整理为关于x的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。

9.  ①(x+y +1)(x+2y+3)  　②(x2+x+1)(x2－x+1987)

10.　　①x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.

  　　②x3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.

11. (A)   

12.(C)    　　 

13. a=1,  b=1.5,  c=－2.