高中数学解题方法系列⑨——解三角形中的范围问题

素养解读：任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外．三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一种是用函数求解；另一种是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．

1．与边角有关的范围问题

【典例1】　(2019·兰州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＝.

(1)求A的大小；

(2)若a＝6，求b＋c的取值范围．

[切入点]　由正弦定理求出角A.

[关键点]　把b＋c表示成B或C的三角函数．

[规范答题]　(1)∵＝＝，

∴cosA＝sinA，∵tanA＝.

∵0(2)∵＝＝＝＝4，

∴b＝4sinB，c＝4sinC，

∴b＋c＝4sinB＋4sinC

＝4[sinB＋sin(π－A－B)]

＝4

＝12sin.

∵∴6<12sin≤12，即b＋c∈(6,12]．

求与三角形中边、角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，02．与面积有关的最值问题

【典例2】　(2019·郑州市高三第三次质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC＝(2b－c)cosA.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，求△ABC面积的最大值．

[切入点]　由正弦定理求角A的大小．

[关键点]　由余弦定理和基本不等式求出bc的最大值．

[规范解答]　(1)由正弦定理可得，sinAcosC＝2sinBcosA－sinCcosA，从而可得sin(A＋C)＝2sinBcosA，即sinB＝2sinBcosA.

又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是cosA＝，

又A为三角形的内角，所以A＝.

(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－2bc≥2bc－bc，

当且仅当b＝c时等号成立．

所以bc≤4(2＋)．

所以S＝bcsinA≤2＋.

故当a＝2时，△ABC面积的最大值为2＋.

与面积有关的最值问题一般通过正、余弦定理进行转化，借助三角形的面积公式，结合基本不等式求解．

1．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

[解]　(1)由题设及正弦定理得sinAsin＝sinBsinA.

因为sinA≠0，所以sin＝sinB.

由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos.

因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.

(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.

由正弦定理得a＝＝＝＋.

由于△ABC为锐角三角形，故0°所以30°因此，△ABC面积的取值范围是.

2．(2020·北京四中月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝＋.

(1)证明：a＋b＝2c；

(2)求cosC的最小值．

[解]　(1)证明：由题意知2＝＋，

化简得2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，

即2sin(A＋B)＝sinA＋sinB，

因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.

从而sinA＋sinB＝2sinC.

由正弦定理得a＋b＝2c.

(2)由(1)知c＝，

所以cosC＝＝＝

－≥，

当且仅当a＝b时等号成立．

故cosC的最小值为.