北师大版高中数学选修2-2综合测试题

（时间：120分钟满分：150分）

学号：______班级：______姓名：______得分：______

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知复数z＝(1＋i)(－2＋3i)(i为虚数单位)，则z的共轭复数＝(　　)

A．1＋i　　　　　　　　　    B．1－i

C．－5＋i                    D．－5－i

2.已知复数z＝1－2i，那么等于(　　)

A.＋i    B.－i

C.＋i        D.－i

3.证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增加的”，现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1，所以ex－>0，即f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增加的，使用的证明方法是(　　)

A．综合法                    B．分析法

C．反证法                    D．以上都不是

4.观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是(　　)

A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2

B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2

C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2

5.函数y＝sin(2x＋1)的导数为(　　)

A．cos(2x＋1)                B．2cos(2x＋1)

C．2cosx                    D．(2x＋1)sin(2x＋1)

6.函数y＝lnx(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于(　　)

A．ln2－1    B．ln2＋1

C．ln2    D．2ln2

7.已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，函数y＝f(x)的图象大致是图中的(　　)

8.设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S－ABC的体积为V，则R＝(　　)

A.B.

C.D.

9.f(x)＝则＝(　　)

A.B.C.    D．不存在

10.函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)>0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c    B．c>a>b

C．b>a>c    D．c>b>a

11.若0A．2x>3sinx        B．2x<3sinx

C．2x＝3sinx        D．与x的取值有关

12.设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x>0时，f(x)(　　)

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

2、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13.观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．

14.设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．

15.由曲线y＝(x－2)2＋1，横坐标轴及直线x＝3，x＝5围成的图形的面积等于________．

16.已知函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（10分）设复数z＝，若z2＋ax＋b＝1＋i，求实数a，b的值．

18.（12分）已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，计算得S1＝，S2＝，S3＝，S4＝.

观察上述结果，推测出Sn(n∈N*)，并用数学归纳法加以证明．

19.（12分）设F(x)＝(t2＋2t－8)dt.

(1)求F(x)的单调区间；

(2)求F(x)在[1,3]上的最值．

20.（12分）已知函数f(x)＝x2＋lnx.

(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，

函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．

21.（12分）在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．

(1)求证：PA⊥底面ABCD；

(2)求四棱锥P－ABCD的体积；

(3)对于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定义一种运算：

(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1.

试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P－ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义．

22.（12分）设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．

高中数学选修2-2水平测试题

1、选择题

1.D2.C3.A4.C5.B6.A7.C8.C9.C10.B11.D12.D

提示：

1．z＝(1＋i)(－2＋3i)＝(－2－3)＋(－2＋3)i＝－5＋i，所以＝－5－i.

2．＝＝＋i.

3．从题设出发，利用导数理论证明函数是增函数，故本例所使用的方法是综合法.

4.法一:由已知得第n个式子左边是2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项应为m，

则m－n＋1＝2n－1，所以m＝3n－2.

法二:特值验证法．

n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5，都不是4，故只有3n－2＝4.

5．y＝sin(2x＋1)是由函数y＝sinμ和μ＝2x＋1复合而成的，所以y′x＝y′μ·μ′x＝cosμ·(2x＋1)′＝2cosμ＝2cos(2x＋1)．

6．因为函数y＝lnx的导数y′＝，又函数y＝lnx(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，所以＝，即x＝2，所以切点P(2，ln2)，所以ln2＝1＋a，即a＝ln2－1.

7.由y＝xf′(x)的图象可得当x<－1时，f′(x)>0，所以当x<－1时f(x)为增函数；当－11时，f′(x)>0，所以f(x)在(1，＋∞)上增函数，所以选择C.

8．四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.

所以R＝.

9．＝＝

＝＋(4－2)－＝.

10．因为(x－1)f′(x)>0，所以当x>1，f′(x)>0，即函数y＝f(x)在(1，＋∞)上是增函数，又f(x)＝f(2－x)，所以a＝f(0)＝f(2)，b＝f()＝f()，所以c>a>b.

11．令f(x)＝2x－3sinx，则f′(x)＝2－3cosx.

当cosx<时，f′(x)>0;当cosx＝时，f′(x)＝0;当cosx>时，f′(x)<0.

即当0而f(0)＝0，f＝π－3>0.

故f(x)的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关．故选D.

12.由题意知f′(x)＝－＝.令g(x)＝ex－2x2f(x)，则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)＝ex－2(x2f′(x)＋2xf(x))＝ex－＝ex.由g′(x)＝0得x＝2，当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×＝0，即g(x)≥0，则当x>0时，f′(x)＝≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．

二、填空题

13．13＋23＋33＋43＋53＋63＝21214．515．16．(0,1)∪(2,3)

提示：

13．第i个等式左边为1到i＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(i＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.

14．z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.

15．S＝＝＝＝.

16．由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1三、解答题

17．解：解：z＝＝＝＝＝1－i，

将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，即(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，

所以所以

18．解：推测Sn＝(n∈N*)．

用数学归纳法证明如下：

(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；

(2)假设当n＝k时等式成立，

即Sk＝，那么当n＝k＋1时，

Sk＋1＝Sk＋

＝＋

＝

＝

＝

＝＝.

也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．

根据(1)和(2)，可知对一切n∈N*，等式均成立．

19．解：依题意得F(x)＝(t2＋2t－8)dt

＝＝x3＋x2－8x，

定义域是(0，＋∞)．

(1)F′(x)＝x2＋2x－8，令F′(x)>0得x>2或x<－4，令F′(x)<0得－4由于定义域是(0，＋∞)，所以函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0,2)．

(2)令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－4舍去)，由于F(1)＝－，F(2)＝－，F(3)＝－6，

所以F(x)在[1,3]上的最大值是F(3)＝－6，最小值是F(2)＝－.

20．解：(1)因为f(x)＝x2＋lnx，所以f′(x)＝2x＋.

因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，

所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.

(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋lnx，

所以F′(x)＝x－2x2＋＝＝＝.

因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，

所以F(x)所以当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．

21．解：(1)因为·＝－2－2＋4＝0，

所以AP⊥AB.

又因为·＝－4＋4＋0＝0，

所以AP⊥AD.

因为AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，

所以AP⊥底面ABCD.

(2)设与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.

V＝||·||·sinθ·||＝··＝16.

(3)|(×)·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P－ABCD体积的3倍．

猜测：|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积)．

22．解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，由已知f′(1)＝2a，

因此3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.

又令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，由已知f′(2)＝－b，

因此12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.

因此f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.

又因为f′(1)＝2×(－)＝－3，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－)＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，

从而有g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x.

令g′(x)＝0，得－3x2＋9x＝0，解得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，故g(x)在(－∞，0)上为减函数；

当x∈(0,3)时，g′(x)>0，故g(x)在(0,3)上为增函数；

当x∈(3，＋∞)时，g′(x)<0，故g(x)在(3，＋∞)上为减函数．

从而函数g(x)在x1＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x2＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.