2021年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷(一)解析版

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1．下列各数中是无理数的是（　　）

A．3.14 B． C．0.58 D．﹣

2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．下列事件属于必然事件的是（　　）

A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”    

B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变    

C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题    

D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数

4．2020年5月22日，李克强总理在工作报告中指出：三大攻坚战取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，贫困发生率降低至0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就．将数字11090000用科学记数法表示为（　　）

A．1.109×105 B．1.109×106 C．1.109×107 D．1.109×108

5．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

6．下列运算正确的是（　　）

A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 B．2a+3a＝5a2    

C．（a+b）2＝a2+b2 D．a2•a3＝a6

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C． D．

8．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C． D．

10．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　）

A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20 B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20    

C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20 D．（x+3）（5+0.5x）＝20

11．如图，已知P为反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，E是PA中点，F是BE的中点．若△OPF的面积为3，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为（　　）

A．+1 B．+1 C． D．+1

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．若分式有意义，则x的取值范围是　   　．

14．化简＝　   　．

15．医院为了解医护人员的服务质量，随机调查了来就诊的200名病人，调查的结果如图所示．根据图中给出的信息，这200名顾客中对该医院医护人员的服务质量表示不满意的有　   　人．

16．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是　   　．

17．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点C作CH⊥DF，交DF的延长线于点H．若AB＝4，BE＝BC，则CH＝　   　．

18．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E．若∠OCD＝45°，OC＝+1，则扇形AOB的半径长是　   　．

三、解答题（本大题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19．计算：﹣32÷3+（）×12﹣（﹣1）2020．

20．解下列不等式组：，并写出它的非负整数解．

21．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示：

（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其相似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标；

（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C，并表示出A2的坐标；

（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．

22．2020年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情，为了早日取得抗疫的胜利，各级、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传，某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各1名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：

【收集数据】

甲班15名学生测试成绩分别为：

78，83，，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100

乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93

【整理数据】

（1）根据以上信息，可以求出：a＝　   　分，b＝　   　分；

（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；

（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．

23．将两张完全相同的矩形纸片ABCD，矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG．

（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；

（2）若四边形DHBG的面积为15，AD＝3，求AB的长．

24．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．

（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？

（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．

25．如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．

（1）填空：OD＝　   　AC，求证：MC是⊙O的切线；

（2）若OD＝9，DM＝16，连接PC，求sin∠APC的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至点N，使BN＝，在⊙O上找一点Q，使得NQ+MQ的值最小，请求出其最小值．

26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；

（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．

2021年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（一）

参与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．下列各数中是无理数的是（　　）

A．3.14 B． C．0.58 D．﹣

【分析】无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．根据无理数的概念进行解答即可．

【解答】解：A、3.14属于有理数，故本选项不合题意；

B、＝2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

C、0.58属于有理数，故本选项不合题意；

D、是无理数，故本选项符合题意．

故选：D．

2．下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选：C．

3．下列事件属于必然事件的是（　　）

A．打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”    

B．将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变    

C．一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题    

D．在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．

【解答】解：A、打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件；

B、将一组数据中的每一个数都加上同一个数，这组数据的方差不变，是必然事件；

C、一个命题的原命题和它的逆命题都是真命题，是随机事件；

D、在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数，是随机事件；

故选：B．

4．2020年5月22日，李克强总理在工作报告中指出：三大攻坚战取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，贫困发生率降低至0.6%，脱贫攻坚取得决定性成就．将数字11090000用科学记数法表示为（　　）

A．1.109×105 B．1.109×106 C．1.109×107 D．1.109×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：11090000＝1.109×107．

故选：C．

5．将一副三角板按图中方式叠放，则∠α的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可．

【解答】解：由题意得，∠DBC＝45°，∠ACB＝30°，

∴∠α＝30°+45°＝75°，

故选：D．

6．下列运算正确的是（　　）

A．（﹣ab2）3＝﹣a3b6 B．2a+3a＝5a2    

C．（a+b）2＝a2+b2 D．a2•a3＝a6

【分析】分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，完全平方公式以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．

【解答】解：A、（﹣ab2）3＝﹣a3b6，故本选项符合题意；

B、2a+3a＝5a，故本选项不合题意；

C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；

D、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；

故选：A．

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（　　）

A．2 B．3 C． D．

【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC＝3，然后利用勾股定理计算CE的长．

【解答】解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，

AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，

在Rt△ACE中，CE＝＝．

故选：D．

8．消费者在网店购物后，将从“好评、中评、差评”中选择一种作为对卖家的评价，假设这三种评价是等可能的，若小明、小亮在某网店购买了同一商品，且都给出了评价，则两人中至少有一个给“好评”的概率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人中至少有一个给“好评”的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，两人中至少有一个给“好评”的结果数为5，

所以两人中至少有一个给“好评”的概率＝．

故选：C．

9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC＝8，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C． D．

【分析】设AC＝a，AB＝b，BC＝c根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可求解．

【解答】解：设AC＝a，AB＝b，BC＝c，则a+b＝8，c2＝a2+b2，HG＝c﹣b，DG＝c﹣a，

则阴影部分的面积S＝HG•DG＝（c﹣b）（c﹣a）＝2，

∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝，

∴ab＝32﹣，

∴S＝c2﹣c（a+b）+ab＝c2﹣8c+32﹣＝2，

解得c1＝6，c2＝10（舍去）．

故选：B．

10．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　）

A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20 B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20    

C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20 D．（x+3）（5+0.5x）＝20

【分析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5﹣0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5﹣0.5x）＝20，从而可以解答本题．

【解答】解：由题意可得，

（x+3）（5﹣0.5x）＝20，

故选：A．

11．如图，已知P为反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，E是PA中点，F是BE的中点．若△OPF的面积为3，则k的值为（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S四边形AOBP＝PA•PB＝k，S△POB＝k，由E是PA中点得出S△PBE＝PA•PB＝k，S△EOB＝OB•OA＝k，再根据F是BE的中点得出S△FOB＝S△EOB＝k，S△PFB＝S△PEB＝k，进一步得到S△OPF＝S△POB﹣S△FOB﹣S△PFB＝k﹣k﹣k＝k＝3，即可求得k＝24．

【解答】解：连接OE，

∵P为反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点P作PA⊥y轴，PB⊥x轴，

∴S四边形AOBP＝PA•PB＝k，S△POB＝k，

∵E是PA中点，

∴S△PBE＝PA•PB＝k，S△EOB＝OB•OA＝k，

∵F是BE的中点，

∴S△FOB＝S△EOB＝k，S△PFB＝S△PEB＝k，

∴S△OPF＝S△POB﹣S△FOB﹣S△PFB＝k﹣k﹣k＝k，

∵△OPF的面积为3，

∴k＝3，

∴k＝24，

故选：D．

12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，以2为半径为圆上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接BP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为（　　）

A．+1 B．+1 C． D．+1

【分析】连接OP，根据平行四边形对角线互相平分知AO＝CO＝AC＝a、BO＝DO＝BD＝b，由点P为CE中点得知随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，据此解答可得．

【解答】解：如图，连接OP，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO＝AC＝a，BO＝DO＝BD＝b，

∵点P为CE中点，

∴OP∥AE，且OP＝AE＝1，

∴随着点E的运点，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，

则当⊙O与OD交于点P时，BP最大，为BO+OP＝+1，

故选：B．

二．填空题（共6小题）

13．若分式有意义，则x的取值范围是　x≠﹣3　．

【分析】若分式有意义，则2x+6≠0，据此求出x的取值范围即可．

【解答】解：∵分式有意义，

∴2x+6≠0，

解得：x≠﹣3．

故答案为：x≠﹣3．

14．化简＝　3　．

【分析】根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．

【解答】解：原式＝+2，

＝3，

故答案为：3．

15．医院为了解医护人员的服务质量，随机调查了来就诊的200名病人，调查的结果如图所示．根据图中给出的信息，这200名顾客中对该医院医护人员的服务质量表示不满意的有　8　人．

【分析】扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．这200名顾客中对该医院医护人员的服务质量表示不满意的人数：200×（1﹣45%﹣42%﹣9%）＝8人．

【解答】解：这200名顾客中对该医院医护人员的服务质量表示不满意的人数：200×（1﹣45%﹣42%﹣9%）＝8人，

故答案为8．

16．平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则该平行四边形的周长是　14　．

【分析】根据根与系数的关系求得平行四边形的两条邻边的长的和，再乘2即可求解．

【解答】解：∵平行四边形的两条邻边的长分别是方程x2﹣7x+1＝0的两根，

∴平行四边形的两条邻边的长的和是7，

故该平行四边形的周长是7×2＝14．

故答案为：14．

17．如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上的任意一点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点C作CH⊥DF，交DF的延长线于点H．若AB＝4，BE＝BC，则CH＝　　．

【分析】过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N，于是得到CN＝CM＝FM＝NF，通过AE＝EF，根据全等三角形的判定利用AAS证明△ABE△EMF，得到BE＝FM，AB＝EM＝4，然后根据勾股定理得到 DF＝＝，再根据相似三角形的性质＝，即可得到结论．

【解答】解：过F作FM⊥BC交BC的延长线于M，FN⊥CD于N，

∴∠FNC＝∠FMC＝90°，

∵CF是∠NCM的角平分线，

∴FM＝FN，

则四边形CMFN是正方形，

∴CN＝CM＝FM＝NF，

由（1）知AE＝EF，

在△ABE和△EMF中，

，

∴△ABE≌△EMF （AAS），

∴BE＝FM，AB＝EM＝4，

∵BE＝BC＝AB＝，

∴FM＝BC＝NF＝，

∴DN＝DC﹣NC＝BC﹣BE＝CE＝，

∴DF＝＝，

∵CH⊥DF，

∴∠DNF＝∠H＝90°，

∵∠FDN＝∠CDH，

∴△DNF∽△DHC，

∴＝，

即＝，

∴CH＝．

故答案为：．

18．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，点C是半径OA上一点，点D是弧AB上一点．将扇形AOB沿CD对折，使得折叠后的图形恰好与半径OB相切于点 E．若∠OCD＝45°，OC＝+1，则扇形AOB的半径长是　2+　．

【分析】作O关于CD的对称点F，连接CF、EF，则EF为扇形AOB的半径，由折叠的性质得：∠FCD＝∠OCD＝45°，FC＝OC＝+1，得出△OCF是等腰直角三角形，得出∠COF＝45°，OF＝OC＝+，∠EOF＝∠AOB﹣∠COF＝75°，由切线的性质得出∠OEF＝90°，得出∠OFE＝15°，由三角函数即可得出结果．

【解答】解：作O关于CD的对称点F，连接CF、EF，如图1所示：

则EF为扇形AOB的半径，

由折叠的性质得：∠FCD＝∠OCD＝45°，FC＝OC＝+1，

∴∠OCF＝90°，

∴△OCF是等腰直角三角形，

∴∠COF＝45°，OF＝OC＝+，

∴∠EOF＝∠AOB﹣∠COF＝75°，

∵折叠后的图形恰好与半径OB相切于点E，

∴∠OEF＝90°，

∴∠OFE＝15°，

∵cos∠OFE＝＝cos15°＝，如图2所示：

∴EF＝OF×cos15°＝（）×＝2+；

故答案为：2+．

三．解答题

19．计算：﹣32÷3+（）×12﹣（﹣1）2020．

【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

【解答】解：﹣32÷3+（）×12﹣（﹣1）2020

＝﹣9÷3+×12﹣×12﹣1

＝﹣3+6﹣8﹣1

＝﹣6．

20．解下列不等式组：，并写出它的非负整数解．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式＜x+1，得：x＞﹣3，

解不等式2+5x≤3（6﹣x），得：x≤2，

则不等式组的解集为﹣3＜x≤2，

所以不等式组的非负整数解为0、1、2．

21．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示：

（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其相似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标；

（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C，并表示出A2的坐标；

（3）在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）．

【分析】（1）延长AC到A1使A1C＝AC，延长BC到B1使B1C＝BC，则△A1B1C满足条件；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从而得到△A2B2C．

（3）先计算出CB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．

【解答】解：（1）△A1B1C为所作，点A1的坐标为（0，0）；

②如图，△A2B2C为所作；

点A2的坐标为（1，3）；

点B经过的路径长＝．

22．2020年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情，为了早日取得抗疫的胜利，各级、各大新闻媒体都加大了对防疫知识的宣传，某校为了了解初一年级共480名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试，现随机抽取甲、乙两班各1名同学的测试成绩进行整理分析，过程如下：

【收集数据】

甲班15名学生测试成绩分别为：

78，83，，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100

乙班15名学生测试成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90，93

【整理数据】

（1）根据以上信息，可以求出：a＝　100　分，b＝　92　分；

（2）若规定测试成绩90分及其以上为优秀，请估计参加防疫知识测试的480名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；

（3）根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．

【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；

（2）用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得；

（3）比较甲、乙两班的方差，再根据方差的意义即可得出答案．

【解答】解：（1）∵100出现次数最多，

∴众数是100分，则a＝100；

乙组15名学生测试成绩中，中位数是第8个数，

即出现在90≤x＜95这一组中，故b＝92（分）；

故答案为：100，92；

（2）根据题意得：

480×＝304（人），

答：成绩为优秀的学生共304人．

（3）∵甲班方差＜乙班方差，即47.3＜50.2，

∴甲班学生掌握防疫测试整体水平较好．

23．将两张完全相同的矩形纸片ABCD，矩形纸片FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线．重叠部分为四边形DHBG．

（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；

（2）若四边形DHBG的面积为15，AD＝3，求AB的长．

【分析】（1）根据矩形的性质得出∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB，根据全等三角形的判定得出△DAB≌△DEB，根据全等三角形的性质得出∠ABD＝∠EBD，求出DH＝BH，再根据菱形的判定推出即可；

（2）根据菱形的性质和已知菱形的面积求出BH，求出DH＝BH＝5，根据勾股定理求出AH，再求出答案即可．

【解答】解：（1）四边形DHBG是菱形，

理由如下：

∵四边形ABCD、四边形FBED是完全相同的矩形，

∴∠A＝∠E＝90°，AD＝ED，AB＝EB，

在△DAB和△DEB中，

，

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴∠ABD＝∠EBD，

∵AB∥CD，DF∥BE，

∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB＝∠EBD，

∴∠HDB＝∠HBD，

∴DH＝BH，

∴▱DHBG是菱形；

（2）∵四边形DHBG的面积为15，

∴BH×AD＝15，

∵AD＝3，

∴BH＝5，

∵四边形DHBG是菱形，

∴DH＝BH＝5，

由勾股定理得：AH＝＝＝4，

∴AB＝AH+BH＝4+5＝9．

24．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．

（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？

（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．

【分析】（1）根据生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本；

（2）根据题意和（1）中的结果可以得到w与a的函数关系式；

（3）要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质可以得到总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．

【解答】解：（1）设生产A种型号的手写板需要投入成本a元，生产B种型号的手写板需要投入成本b元，

，得，

即生产A种型号的手写板需要投入成本600元，生产B种型号的手写板需要投入成本800元；

（2）∵该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，生产了A型号手写板a个，

∴生产B型号的手写板的数量为：＝（个），

∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，

即w关于a的函数关系式为w＝﹣100a+50000；

（3）∵要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，

∴a≥×2，

∴a≥100，

∵w＝﹣100a+50000，

∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝40000，＝50，

答：总获利最大的生产方案是生产A型号的手写板100台，B型号的手写板50台，最大总获利是40000元．

25．如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．

（1）填空：OD＝　　AC，求证：MC是⊙O的切线；

（2）若OD＝9，DM＝16，连接PC，求sin∠APC的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至点N，使BN＝，在⊙O上找一点Q，使得NQ+MQ的值最小，请求出其最小值．

【分析】（1）根据AC∥OM，得到△BOD∽△BAC，利用相似对应边成比例即可求解，证明△OCM≌△OBM．即可证明MC是切线．

（2）利用切线性质推导出△MCD∽△COD．求出OB的长度，即可求出sin∠ABC．即可求出sin∠APC．

（3）利用（2）的结论，求出AB，OM，BM，OQ．即可判断△ODQ∽△OQM，可得，NQ+MQ的值最小，相当于求DQ+QN，构建直角三角形，求出DN即可求解．

【解答】解：（1）∵AC∥OM．

∴△BOD∽△BAC．

∴．

∴．

故答案为：．

连接OC，如图：

∵AC∥OM．

∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM．

∵OA＝OC．

∴∠OAC＝∠ACO．

∴∠BOM＝∠COM．

在△OCM与△OBM中，

．

∴△OCM≌△OBM（SAS）．

又∵MB是切线．

∴∠OCM＝∠OBM＝90°．

∵点C在圆上，

∴MC是⊙O的切线．

（2）由MB、MC是切线．

∴OM⊥BC．

∴∠ODB＝∠ODC＝90°．

∵∠OCM＝90°．

∴∠COM＝∠DCM．

∴△MCD∽△COD．

∴．

∴CD2＝OD•MD．

在Rt△BOD中，．

∴．

∴．

（3）如图：

易得：AB＝2OB＝30，OM＝OD+DM＝25，BM＝20，OQ＝OB＝15．

∴．

∴OD＝9，即点D为定点．

∵且∠DOQ＝∠QOM．

∴△ODQ∽△OQM恒成立．

∴．

∴NQ+MQ的值最小，相当于求DQ+QN．

当D、Q、N共线时，DQ+QN最小，此时NQ+MQ＝DN．

作DH⊥ON于点H，可得OH＝＝，DH＝．

∴＝．

∴DN＝．

即NQ+MQ的值最小值为：．

26．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；

（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．

【分析】（1）由直线解析式求出点B，点C的坐标，将A，B的坐标代入抛物线解析式可得出答案；

（2）考虑两种情况：分别以点C、E为顶点的等腰三角形．由等腰三角形的性质和两点间的距离公式来求m的值；

（3）①当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），②当△BPM∽△ABC时，过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，得出P（4﹣4a，3a），代入抛物线解析式可得出答案．

【解答】解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，

∴C（0，﹣2），B（4，0），

将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，

得，

解得，，

∴y＝x﹣2；

（2）∵

∴，＝，

，

若以C为顶点，则CE2＝CF2，

∴，

解得：m1＝2，m2＝4（舍去），

若以E为顶点，则EC2＝EF2，

∴＝，

解得：m3＝4﹣，m4＝4+（舍去），

综合以上得m＝2或m＝4﹣．

（3）①∵AC＝，BC＝2，

∴AC2+BC2＝25＝AB2，

∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P1（﹣1，0），

②如图，当△BPM∽△ABC时，

过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，

∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，

∴∠BMR＝∠MPH，

∴△PHM∽△MRB，

∴

又∵AB∥HR，

∴∠ABC＝∠BMR，

∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，

令BR＝a，MR＝2a，

又∵∠ABC＝∠BMR，

∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，

∴，

∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，

∴HR＝4a，

∴P（4﹣4a，3a），

又∵点P在抛物线上，

将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：

（4﹣4a）﹣2＝3a，

∴a（8a﹣13）＝0，

a1＝0（舍），a2＝．

∴．

∴符合条件的点P为P1（﹣1，0）或．