初三圆经典真题及答案详解

一．选择题（共10小题）

 1．（2015•安顺）如右图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2    B．4    C．4    D．8

 2．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）

A．80°    B．160°    C．100°    D．80°或100°

 3．（2015•兰州）如右图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）

A．80°    B．90°    C．100°    D．无法确定

 4．（2015•包头）如右图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π    B．π    C．π    D．π

 5．（2015•黄冈中学自主招生）如右图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

 6．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（　　）

A．3    B．8    C．    D．2

 7．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）

A．8≤AB≤10    B．8＜AB≤10    C．4≤AB≤5    D．4＜AB≤5

 8．（2015•衢州）如右图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．3    B．4    C．    D．

 9．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）

A．2    B．4    C．6    D．8

 10．（2015•海南）如右图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45°    B．30°    C．75°    D．60°

二．填空题（共5小题）

 11．（2015•黔西南州）如右图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　　　　　　．

 12．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=　　　　　　°．

 13．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为　　　　　　．

 14．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，

∠E=30°，则∠F=　　　　　　．

 15．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是　　　　　　．

三．解答题（共5小题）

 16．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

 17．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

 18．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

（1）求的长．

（2）求弦BD的长．

 19．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE=DM．

 20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2    B．4    C．4    D．8

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．

【解答】解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=OC=2，

∴CD=2CE=4．

故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．

2．（2015•酒泉）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）

A．80°    B．160°    C．100°    D．80°或100°

【考点】圆周角定理．

【分析】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．

【解答】解：如图，∵∠AOC=160°，

∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，

∵∠ABC+∠AB′C=180°，

∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．

∴∠ABC的度数是：80°或100°．

故选D．

【点评】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．

3．（2015•兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（　　）

A．80°    B．90°    C．100°    D．无法确定

【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．

【分析】由∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理，即可求得∠ACB=∠AOB=90°．

【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角，

∴∠AOB=∠ACB，

∵∠AOB=90°，

∴∠ACB=90°．

故选B．

【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB与∠ACB是优弧AB所对的圆周角．

4．（2015•包头）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π    B．π    C．π    D．π

【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．

【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．

【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，

∴△ABC为直角三角形，

由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，

由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，

∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，

故选：A．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．

5．（2015•黄冈中学自主招生）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的正弦值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；锐角三角函数的定义．

【分析】首先连接AC，OA，由直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），可得△OAC是等边三角形，继而可求得∠OAC的度数，又由圆周角定理，即可求得∠OBC的度数，则可求得答案．

【解答】解：连接AC，OA，

∵点C（0，5）和点O（0，0），

∴OC=5，

∵直径为10，

∴AC=OA=5，

∴AC=OA=OC，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，

∴∠OBC=∠OAC=30°，

∴∠OBC的正弦值为：sin30°=．

故选A．

【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

6．（2015•黄冈中学自主招生）将沿弦BC折叠，交直径AB于点D，若AD=4，DB=5，则BC的长是（　　）

A．3    B．8    C．    D．2

【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；射影定理．

【专题】计算题．

【分析】若连接CD、AC，则根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，求得AC=CD；过C作AB的垂线，设垂足为E，则DE=AD，由此可求出BE的长，进而可在Rt△ABC中，根据射影定理求出BC的长．

【解答】解：连接CA、CD；

根据折叠的性质，知所对的圆周角等于∠CBD，

又∵所对的圆周角是∠CBA，

∵∠CBD=∠CBA，

∴AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等）；

∴△CAD是等腰三角形；

过C作CE⊥AB于E．

∵AD=4，则AE=DE=2；

∴BE=BD+DE=7；

在Rt△ACB中，CE⊥AB，根据射影定理，得：

BC2=BE•AB=7×9=63；

故BC=3．

故选A．

【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判断出△ACD是等腰三角形，是解答此题的关键．

7．（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）

A．8≤AB≤10    B．8＜AB≤10    C．4≤AB≤5    D．4＜AB≤5

【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．

【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长．连接过切点的半径和大圆的一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8．若大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时AB≥8；又因为大圆最长的弦是直径10，则8≤AB≤10．

【解答】解：当AB与小圆相切，

∵大圆半径为5，小圆的半径为3，

∴AB=2=8．

∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，

∴8≤AB≤10．

故选：A．

【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理．此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长，再进一步分析有公共点时的弦长．

8．（2015•衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（　　）

A．3    B．4    C．    D．

【考点】切线的性质．

【专题】压轴题．

【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．

【解答】解：如图1，连接OD、BD，，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴BD⊥AC，

又∵AB=BC，

∴AD=CD，

又∵AO=OB，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE是⊙O的切线，

∴DE⊥OD，

∴DE⊥BC，

∵CD=5，CE=4，

∴DE=，

∵S△BCD=BD•CD÷2=BC•DE÷2，

∴5BD=3BC，

∴，

∵BD2+CD2=BC2，

∴，

解得BC=，

∵AB=BC，

∴AB=，

∴⊙O的半径是；

．

故选：D．

【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

9．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　）

A．2    B．4    C．6    D．8

【考点】垂径定理；勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长．

【解答】解：∵CE=2，DE=8，

∴OB=5，

∴OE=3，

∵AB⊥CD，

∴在△OBE中，得BE=4，

∴AB=2BE=8．

故选：D．

【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．

10．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）

A．45°    B．30°    C．75°    D．60°

【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，

然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．

【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，

∴OD=CD，

∴OD=OC=OA，

∴∠OAD=30°，

而OA=OB，

∴∠CBA=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠APB=∠AOB=60°．

故选D．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．

二．填空题（共5小题）

11．（2015•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为　　．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OC，由垂径定理得出CE=CD=2，设OC=OA=x，则OE=x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2=OC2，得出方程，解方程即可．

【解答】解：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴CE=CD=2，∠OEC=90°，

设OC=OA=x，则OE=x﹣1，

根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，

即22+（x﹣1）2=x2，

解得：x=；

故答案为：．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．

12．（2015•宿迁）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD=　100　°．

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．

【专题】计算题．

【分析】先根据圆内接四边形的性质得到∠A=180°﹣∠C=50°，然后根据圆周角定理求∠BOD．

【解答】解：∵∠A+∠C=180°，

∴∠A=180°﹣130°=50°，

∴∠BOD=2∠A=100°．

故答案为100．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．

13．（2015•南昌）如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为　110°　．

【考点】圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理求得∠BOC=100°，进而根据三角形的外角的性质求得∠BDC=70°，然后根据邻补角求得∠ADC的度数．

【解答】解：∵∠A=50°，

∴∠BOC=2∠A=100°，

∵∠B=30°，∠BOC=∠B+⊂BDC，

∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，

故答案为110°．

【点评】本题考查了圆心角和圆周角的关系及三角形外角的性质，圆心角和圆周角的关系是解题的关键．

14．（2015•青岛）如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A=55°，

∠E=30°，则∠F=　40°　．

【考点】圆内接四边形的性质；三角形内角和定理．

【专题】计算题．

【分析】先根据三角形外角性质计算出∠EBF=∠A+∠E=85°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠BCD=180°﹣∠A=125°，然后再根据三角形外角性质求∠F．

【解答】解：∵∠A=55°，∠E=30°，

∴∠EBF=∠A+∠E=85°，

∵∠A+∠BCD=180°，

∴∠BCD=180°﹣55°=125°，

∵∠BCD=∠F+∠CBF，

∴∠F=125°﹣85°=40°．

故答案为40°．

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了三角形外角性质．

15．（2015•甘南州）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1，则弦AB的长是　6　．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【专题】压轴题．

【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．

【解答】解：连接AO，

∵半径是5，CD=1，

∴OD=5﹣1=4，

根据勾股定理，

AD===3，

∴AB=3×2=6，

因此弦AB的长是6．

【点评】解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO，这是解题的关键．

三．解答题（共5小题）

16．（2015•永州）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．

（1）求证：BE=CE；

（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；

（3）若BC=8，AD=10，求CD的长．

【考点】垂径定理；勾股定理；菱形的判定．

【分析】（1）证明△ABD≌△ACD，得到∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）菱形，证明△BFE≌△CDE，得到BF=DC，可知四边形BFCD是平行四边形，易证BD=CD，可证明结论；

（3）设DE=x，则根据CE2=DE•AE列方程求出DE，再用勾股定理求出CD．

【解答】（1）证明：∵AD是直径，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，

，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AB=AC，

∴BE=CE；

（2）四边形BFCD是菱形．

证明：∵AD是直径，AB=AC，

∴AD⊥BC，BE=CE，

∵CF∥BD，

∴∠FCE=∠DBE，

在△BED和△CEF中

，

∴△BED≌△CEF，

∴CF=BD，

∴四边形BFCD是平行四边形，

∵∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∴四边形BFCD是菱形；

（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，

∴CE2=DE•AE，

设DE=x，

∵BC=8，AD=10，

∴42=x（10﹣x），

解得：x=2或x=8（舍去）

在Rt△CED中，

CD===2．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．

17．（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．

【专题】计算题．

【分析】（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；

（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=．

【解答】解：（1）连结OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ==；

（2）连结OQ，如图2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

当OP的长最小时，PQ的长最大，

此时OP⊥BC，则OP=OB=，

∴PQ长的最大值为=．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．

18．（2015•滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

（1）求的长．

（2）求弦BD的长．

【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．

【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．

（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．

【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

∵，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，

∴的长=．

（2）∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠AOD=∠BOD，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=45°，

在Rt△ABD中，

BD=AB×sin45°=10×．

【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．

（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．

19．（2015•丹东）如图，AB是⊙O的直径，=，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．

（1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积；

（2）求证：DE=DM．

【考点】切线的性质；扇形面积的计算．

【专题】证明题．

【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S阴影=S△OCD﹣S扇OBD计算即可；

（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明△AMD≌△ABD，得到DM=BD，得到答案．

【解答】（1）解：如图，连接OD，

∵CD是⊙O切线，

∴OD⊥CD，

∵OA=CD=2，OA=OD，

∴OD=CD=2，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴∠DOC=∠C=45°，

∴S阴影=S△OCD﹣S扇OBD=﹣=4﹣π；

（2）证明：如图，连接AD，

∵AB是⊙O直径，

∴∠ADB=∠ADM=90°，

又∵=，

∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，

在△AMD和△ABD中，

，

∴△AMD≌△ABD，

∴DM=BD，

∴DE=DM．

【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．

20．（2014•湖州）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

（1）求证：AC=BD；

（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．

【考点】垂径定理；勾股定理．

【专题】几何综合题．

【分析】（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；

（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．

【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，

则CE=DE，AE=BE，

∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；

（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，

∴OE=6，

∴CE===2，AE===8，

∴AC=AE﹣CE=8﹣2．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．