第一章 1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定

学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识点　含量词的命题的否定

1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　√　)

2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(　√　)

3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(　×　)

一、全称量词命题的否定

例1　写出下列命题的否定．

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

解　(1)存在一个矩形不是平行四边形；

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.

反思感悟　全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．

跟踪训练1　写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；

(2)p：∀x∈N,2x>0.

解　(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．

(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．

二、存在量词命题的否定

例2　写出下列命题的否定．

(1)有些四边形有外接圆；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2＋1<0.

解　(1)所有的四边形都没有外接圆；

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0.

反思感悟　对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．

跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

解　(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，

∴命题的否定是假命题．

三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用

例3　对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．

解　令y＝x2＋4x－1，x∈R，

则y＝(x＋2)2－5，

因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，

所以只要m<－5即可．

所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．

延伸探究

本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．

解　令y＝－x2＋4x－1，

因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.

又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，

所以只要m小于函数的最大值即可，

所以所求m 的取值范围是{m|m<3}．

反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或aymax(或a(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或aymin(或a跟踪训练3　若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥1  B．a>1  C．a<1  D．a≤1

答案　D

解析　命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.

1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x∈R，|x|＋x2<0

D．∃x∈R，|x|＋x2≥0

答案　C

解析　条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．

2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案　C

解析　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　)

A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0

B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0

C．p是真命题，綈p是假命题

D．p是假命题，綈p是真命题

答案　C

解析　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．

4．命题“同位角相等”的否定为________．

答案　有的同位角不相等

解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．

5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.

答案　所有的三角形都不是直角三角形

解析　命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．

1．知识清单：

(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．

(2)命题真假的判断．

2．方法归纳：转化思想．

3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．

1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则(　　)

A．綈p：∃x∈R，|x|>1

B．綈p：∀x∈R，|x|>1

C．綈p：∃x∈R，|x|≥1

D．綈p：∀x∈R，|x|≥1

答案　A

解析　根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.

2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定(　　)

A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0

B．∃x>0，使得x2－x＋3>0

C．∀x>0，都有x2－x＋3>0

D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0

答案　B

解析　命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.

3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案　B

解析　量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.

4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为(　　)

A．∀x∈N，x3≤x2      B．∃x∈N，x3>x2

C．∃x∈N，x3答案　D

解析　命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；

∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．

故选D.

5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A．命题綈p是真命题

B．命题p是存在量词命题

C．命题p是全称量词命题

D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题

答案　C

解析　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.

6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．

答案　∀x∈N，x2≤1

解析　由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题 “∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．

7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．

答案　∀x∈R，x2－x＋1≠0.

解析　因为存在量词命题的否定是全称量词命题，

所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.

8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．

答案　存在x∈R，使得x2－2x＋4>0

解析　 原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.

9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．

(1)∀x∈R，x2>0；

(2)∃x∈R，x2＝1；

(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；

(4)等腰梯形的对角线垂直．

解　(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．

(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，

因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．

(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．

(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．

10．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定；

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

解　(1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.

(2)b≤a.

11．下列命题的否定是真命题的是(　　)

A．三角形角平分线上的点到两边的距离相等

B．所有平行四边形都不是菱形

C．任意两个等边三角形都是相似的

D．3是方程x2－9＝0的一个根

答案　B

解析　A的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题，

B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题，

C的否定：有些等边三角形不相似，假命题，

D的否定： 3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题，

故选B.

12．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<0      B．0≤a≤4

C．a≥4      D．0答案　D

解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－213．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________．

答案　∃x∈R，x2－x＋3≤0　∀x∈R，x2＋1≥0

14．已知命题p：任意x∈R，x2＋2ax＋a>0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是____________．

答案　{a|a≤0，或a≥1}

解析　 若命题p为真命题，则Δ＝4a2－4a<0，

∴015．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1

D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1

答案　D

解析　由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”，故选D.

16．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．

解　因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，

由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．

事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；

当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，

即－3≤a<0；

综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}