2014年福建省宁德市中考《数学》试卷(含答案、解析)

（满分：150分；考试时间：120分钟）

友情提示：1．所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；

2．抛物线的顶点坐标是（，）．

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）

1．-5的相反数是

A．                   B．-                   C．-5                   D．5

2．下列运算正确的是

A．                            B．      

C．                              D． 

3．下列图形中，不是正方体表面展开图的是

         A．             B．              C．              D．

4．下列事件是必然事件的是

A．任取两个正整数，其和大于1        B．抛掷1枚硬币，落地时正面朝上

C．在足球比赛中，弱队战胜强队        D．小明在本次数学考试中得150分

5．把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是

         A．               B．              C．              D．

6．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B=70°，现将△ADE沿DE翻折，点A的对应点为M，则∠BDM的大小是

A．70°        B．40°      C．30°        D．20° 

7．9的算术平方根是

A．             B．3            C．              D． 

8．如图，用尺规作图：“过点C作CN∥OA”，其作图依据是

A．同位角相等，两直线平行    

B．内错角相等，两直线平行

C．同旁内角相等，两直线平行 

第8题图

D．同旁内角互补，两直线平行

第9题图

9．如图，在边长为1的正方形网格中，从A1，A2，A3中任选一点An（n=1，2，3），从 B1，B2，B3，B4中任选一点Bm（m=1，2，3，4），与点O组成Rt△AnBmO，则=1的概率是

A．       B．       C．        D． 

第10题图

10．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF， DE⊥BC于E， FG⊥BC于G， DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG，②△EDP≌△GFP，③∠EDP＝60°，④EP=1中，一定正确的是

A．①③           B．②④        C．①②③           D．①②④

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡的相应位置）

11．若∠A＝30°，则∠A的补角是_______°．

12．若正多边形的一个外角为40°，则这个正多边形是_______边形．

13．《节能减排“十二五”规划》中明确指出：至2015年，全国二氧化硫排放总量控制在20 900 000吨．数据20 900 000用科学记数法表示是_____________． 

14．某校对甲、乙两名跳高运动员的近期跳高成绩进行统计分析，结果如下：，，，，则这两名运动员中______的成绩更稳定．

15．如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点       ． 

16．方程的解是         ．

第17题图

17．如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB=AC=67cm，BC=30cm，则∠ABC的大小约为_____°（结果保留到1°）． 

18．如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向轴和轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为           ．

第18题图

三、解答题（本大题有8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）

19．（本题满分14分）

（1）计算：；

（2）计算：．  

20．（本题满分8分）

某校在校内为见义勇为基金会开展了一次捐款活动，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，绘制了如下统计图1和统计图2，请根据相关信息，解答下列问题：

（1）直接写出样本中学生捐款金额的众数和中位数，及统计图1中“15元”部分扇形圆心角的度数；

（2）求本次被调查学生的人均捐款金额；

（3）若随机调查该校一名学生，估计该生捐款金额不低于20元的概率．

21．（本题满分8分）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．

求证：四边形AECD是矩形．

22．（本题满分10分）

为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？　　　　　　　　　　　　　　　　

23．（本题满分10分）

    如图，已知□ABCD，∠B=45，以AD为直径的⊙O经过点C．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若AB=，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．

.

24．（本题满分10分）

如图，点A在双曲线（k≠0）上，过点A作AB⊥x轴于点B（1，0），且△AOB的面积为1．

（1）求k的值；

（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90，得到△A′OB′，请在图中画出△A′OB′，并直接写出点A′，B′的坐标；

（3）连接A′B，求直线A′B的表达式．

25．（本题满分13分）

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90．

（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；

下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：

证明：设AB与CD相交于点O，

∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，

∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．

∵∠DOB=∠AOC，

∴∠DBO=∠  ①  ．

∵M是DC的中点，

∴CM=CD=  ②  ．

又∵AB=AC，

∴△ADB≌△AMC．

（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以ＤN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；

（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．

26．（本题满分13分）

如图，已知抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于C点．

（1）求A，B，C三点坐标及该抛物线的对称轴；

（2）若点E在x轴上，点P(x，y）是抛物线在第一象限上的点，△APC≌△APE，求E，P两点坐标；

（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使得∠AMC是钝角．若存在，求出点M的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

2014年宁德市初中毕业班质量检测

数学试题参及评分标准

⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．

⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分．

⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数．

⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．

一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，满分40分）

1．D   2．C   3．A    4．A   5．A    6．B    7．B    8．B   9．C   10．D

二、填空题：（本大题有8小题，每小题3分，满分24分）

11．150       12．九         13．     14．甲

15．C         16．       17．77            18．6    

三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡的相应位置作答）

19．（本题满分14分）

 （1）解：原式=+4+1                        …………6分

              =                            …………7分

 （2）解：原式=                        

           …………4分

                                 …………5分

                                 …………6分

                                         …………7分

20．（本题满分8分）

（1）众数10元，中位数 15元，圆心角 72 ．                  …………3分

（2）解法一： …………5分

             =16.2元      

答：人均捐款金额为16.2元．                          …………6分

        解法二：            …………5分

                 =16.2元                               

答：人均捐款金额为16.2元．                              …………6分

    （3）P(不低于20元）==．

答：在该校随机调查一个学生捐款金额不低于20元的概率为．  …………8分

21．（本题满分8分）

证明：∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四边形ABED是平行四边形． …………2分

∴AD = BE．

∵点E是BC的中点，

∴EC =BE= AD．            …………4分

∴四边形AECD是平行四边形．      …………5分

∵AB=AC，点E是BC的中点，

∴AE⊥BC，即∠AEC = 90°．       …………7分

∴□AECD是矩形．                …………8分

（证法2：由四边形ABED是平行四边形得DE=AB=AC，∴□AECD是矩形．）

22．（本题满分10分）

     解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得： ……1分

          ，                                    …………7分   

          解得．                                         …………9分

     答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元．         …………10分

23．（本题满分10分）

证明：（1）连结OC． 

          ∵四边形ABCD是平行四边形，

          ∴．

          ∵OC = OD，

          ∴，

          ∴．                                      

          （或．）                 …………3分

          ∵AD∥BC，

          ∴，

          ∴直线BC是⊙O的切线．                              …………5分

（2）在Rt△DOC中，CD = AB =，，

        ∴OC = CDsin=sin=2，                       …………7分

        ∴AD =2OC =4．

S阴影部分=S□ABCD-S Rt△COD- S扇形AOC 

              =4×2-×2×2-

              =6-π．    

        （或S阴影部分=S梯形AOCB- S扇形AOC．)               

答：阴影部分的面积为（6-π）．                           …………10分

24．（本题满分10分）

（1）解法一：由题意得OB=1，

∵，AB⊥x轴，

由，得AB=2，

∴点A的坐标为A(1，2) ．

将A代入得，k=2．                               …………3分

解法二：根据S△AOB =，点A在第一象限，得k=2．   …………3分

（2）画图（略）；                                           …………5分

A′(-2，1)，B′(0，1) ．                                  …………7分

（3）设直线A′B的表达式(k)，

∵A′(-2，1)，B (1，0) ，

∴，解得．                       …………9分

        ∴直线A′B的表达式．                   …………10分

25．（本题满分13分）

（1）证明：①∠ACO（或∠ACM) ；②BD； …………4分

（2）解法一：存在．在BD上截取BN=CD， …………5分

同（1）可证得∠ACD =∠ABN．

∵AC=AB，∴△ACD≌△ABN，       …………6分

∴AD=AN，∠CAD =∠BAN，

∴∠CAD+∠NAC=∠BAN+∠NAC，

即∠DAN =∠BAC=90°．                               …………8分

∴△AND为等腰直角三角形．                           …………9分

解法二：存在．过点A作AN⊥AD交BD于点N，则∠DAN=90°，…………5分

同（1）可证得∠ABN=∠ACD．

∵∠BAC=90°，

∴∠CAD+∠CAN=∠BAN+∠CAN=90°，

∴∠BAN=∠CAD．                                     …………7分

∵AB=AC，∴△ABN≌△ACD．                          …………8分

∴AN=AD，∴△AND为等腰直角三角形．                 …………9分

（3）①当CD＞BD时，CD=BD+AD；                      …………11分

②当CD＜BD时，BD=CD+AD．                      …………13分

26．（本题满分13分）

解：（1）把x=0代入，

得y=8，∴C（0，8）．       …………1分

由，    

得x=-6，或x=8．

∴点A坐标为（-6，0），点B坐标为（8，0）．   …………3分

∴抛物线的对称轴方程是直线x=1．             …………4分                                   

（2）如图1，连接AP交OC于F点，设F（0，t），

连接EF，由题意可得AC=10，

∵△APC≌△APE，

∴AE=AC=10，AP平分∠CAE．

∴OE=10-6=4，点E坐标为（4，0）．……5分

∵AP平分∠CAE，

∴由对称性得EF= CF=8-t．   

在Rt△EOF中，，

∴，解得t=3． 

∴点F坐标为（0，3）．             ……7分

设直线AF的表达式(k)，

将点A（-6，0），F（0，3）代入，解得，

∴直线AF的表达式．

由，

解得或（不符合题意，舍去）．

∴P（5，），E（4，0）．         …………10分,

注：解法二：如图2，连CE交AP于K，由AC=AE，AP平分∠CAE得K为CE中点，坐标为（2，4），则可求得直线AP的表达式，以下相同；

解法三：如图3，过点F作FG⊥AC，由AP平分∠CAE，得AG=AO=6，证△AOC∽△FGC，由，得F（0，3），以下相同；

解法四：如图3，过点F作FG⊥AC，设OF=FG=x，CF=8- x，在Rt△CGF中由勾股定理得F（0，3）以下相同；

解法五：如图4，用以上方法求出F（0，3）后，可过点P作PH⊥AB，证△AOF∽△AHP，由，设P为（2y-6，y），代入抛物线得出P（5，），E（4，0）；

(3) 解法一：如图5，以AC为直径画⊙I，交对称轴l于S，T，作IQ⊥l于Q，IQ交y轴于J，易得I为（-3，4），

∴IQ=4，IS=5；                   …………11分

在Rt△SIQ中由勾股定理得SQ=4

图5

∴S，T的坐标分别为（1，7）和（1，1），……12分

当M介于S1和S2之间时，延长AM交⊙I于L，∠ALC=90，

∠AMC＞∠ALC，∴∠AMC是钝角，∴1＜n＜7．……13分

注：解法二：如图6，对称轴l交x轴D点，设点S在对称轴l上，且∠ASC=90°，过C作CN⊥l于N，连接SC，AS，则有CN=1，AD=7，设SD=m，则SN=8-m．        ………11分

由△ADS∽△SNC，解得：m=1或m=7．               

经检验符合题意，得S1和S2的纵坐标分别为7和1……12分

当M介于S1和S2之间时，∠AMC是钝角，

∴当∠AMC是钝角时的取值范围是1＜n＜7． ……13分