第一章 1.5 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

教材知识探究

一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”

问题　请问探险家该如何保命？

提示　探险家应该说“我将被五马分尸”.

如果土人首领将探险家五马分尸，那就说明探险家说的就是真话，而说真话应该被烧死；

如果土人首领将探险家烧死，那就说明探险家说的就是假话，而说假话应该被五马分尸.

所以，土人首领怎么处置探险家都不行，只能让他活着.

1.命题与命题的否定的真假判断

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

2.全称量词命题的否定　 命题的否定：改变量词，否定结论

全称量词命题p： x∈M，p(x)，

它的否定綈p： x∈M，綈p(x).

全称量词命题的否定是存在量词命题.

3.存在量词命题的否定

存在量词命题p： x∈M，p(x)，

它的否定綈p： x∈M，綈p(x).

存在量词命题的否定是全称量词命题.

4.常见正面词语的否定举例如下：

[微判断]

1.命题“ x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题.(×)

提示　应该是存在量词命题.

2.若命题綈p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题.(√)

[微训练]

1.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是________.

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题.

答案　对任意的x∈R，2x>0

2.已知命题p： x>2，x－2>0，则綈p是________.

答案　 x>2，x－2≤0

[微思考]

1.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？

提示　不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.

2.对省略量词的命题怎样否定？

提示　对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.

题型一　全称量词命题的否定

【例1】　写出下列全称量词命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)任何一个圆都是轴对称图形；

(3) a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

解　(1)是全称量词命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.

(2)是全称量词命题，其否定：存在一个圆不是轴对称图形.

(3)是全称量词命题，其否定： a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在.

(4)是全称量词命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

规律方法　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.

【训练1】　写出下列全称量词命题的否定：

(1)每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)所有自然数的平方都是正数；

(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)对任意实数x，x2＋1≥0.

解　(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

(2)綈p：有些自然数的平方不是正数.

(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根.

(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.

题型二　存在量词命题的否定

【例2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)p： x>1，使x2－2x－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形.

解　(1)綈p： x>1，x2－2x－3≠0.(假).

(2)綈p：所有的素数都不是奇数.(假).

(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(假).

规律方法　存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p： x∈M，p(x)成立 綈p： x∈M，綈p(x)成立.

【训练2】　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假.

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3) x，y∈Z，使得x＋y＝3.

解　(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题.

(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.它为假命题.

(3)命题的否定是“ x，y∈Z，x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题.

题型三　根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数

【例3】　已知命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.   

解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，即m>－(x－1)2－4对任意x∈R恒成立，只需m>－4即可，故实数m的取值范围为{m|m>－4}.(说明：本题也可利用二次函数y＝x2－2x＋5＋m的图象恒在x轴上方，转化为对应方程Δ<0进行解题)

规律方法　1.注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.

2.对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题，如本题分离参数后，转化成了求二次函数的最值问题.

【训练3】　已知命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.   

解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，m－x2＋2x－5>0可化为m>x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，即 x∈R，m>(x－1)2＋4成立，只需m>4即可，故实数m的取值范围为{m|m>4}.(本题也可利用二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图象的顶点在x轴上方，转化为对应方程Δ>0进行解题)

一、素养落地

1.通过学习全称量词命题、存在量词命题的否定的概念，提升数学抽象素养，通过存在量词命题、全称量词命题否定的综合应用培养逻辑推理素养.

2.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.

(4)无量词的全称量词命题要先补回量词再否定.

二、素养训练

1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　)

A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根

C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根

D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根

解析　命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根.

答案　C

2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)

A.綈p： x∈A，2x∈B

B.綈p： x A，2x B

C.綈p： x A，2x∈B

D.綈p： x∈A，2x B

解析　命题p： x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，命题p的否定应为： x∈A，2x B.选D.

答案　D

3.对下列命题的否定说法错误的是(　　)

A.p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形

C.p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形

D.p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n>100.

解析　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.

答案　C

4.命题“ x≥0，x3＋x≥0”的否定是(　　)

A. x<0，x3＋x<0

B. x<0，x3＋x≥0

C. x≥0，x3＋x<0

D. x≥0，x3＋x≥0

解析　全称量词命题： x≥0，x3＋x≥0的否定是存在量词命题： x≥0，x3＋x<0.

答案　C

5.已知命题p： x>0，总有x＋1>1，则綈p为(　　)

A. x≤0，使得x＋1≤1

B. x>0，使得x＋1≤1

C. x>0，总有x＋1≤1

D. x≤0，总有x＋1≤1

解析　“ x>0，总有x＋1>1”的否定是“ x>0，使得x＋1≤1”.故选B.

答案　B

基础达标

一、选择题

1.命题“ x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A. x∈R，|x|＋x2<0      B. x∈R，|x|＋x2≤0

C. x∈R，|x|＋x2<0      D. x∈R，|x|＋x2≥0

解析　此全称量词命题的否定为： x∈R，|x|＋x2<0.

答案　C

2.下列命题中，为真命题的全称量词命题是(　　)

A.对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0

B.菱形的两条对角线相等

C. x∈R，＝x

D.一次函数y＝kx＋b(k>0)，y随x的增大而增大

解析　A中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B，D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；C是存在量词命题，所以选D.

答案　D

3.命题“ x>0，x2＝x－1”的否定是(　　)

A. x>0，x2≠x－1

B. x≤0，x2＝x－1

C. x>0，x2≠x－1

D. x≤0，x2＝x－1

解析　存在量词命题的否定是全称量词命题.

答案　A

4.下列存在量词命题是假命题的是(　　)

A.存在实数a，b，使ab＝0

B.有些实数x，使得|x＋1|<1

C.有些直角三角形，其中一条直角边长度是斜边长度的一半

D.有些实数x，使得x2<0

解析　任意实数x，x2≥0，故选D.

答案　D

5.下列命题中的假命题是(　　)

A. x∈R，|x|＋1>0      B. x∈N*，(x－1)2>0

C. x∈R，|x|<1      D. x∈R，＋1＝2

解析　A中命题是全称量词命题，易知|x|＋1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称量词命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是存在量词命题，当x＝0时，|x|＝0，故是真命题；D中命题是存在量词命题，当x＝±1时，＋1＝2，故是真命题.

答案　B

二、填空题

6.命题“任意x∈R，3x≥0”的否定是________.

解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，故“任意x∈R，3x≥0”的否定是“存在x∈R，3x<0”.

答案　存在x∈R，3x<0

7.命题“对任意x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是_______________________.

解析　由定义知命题的否定为“存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3”.

答案　存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

8.命题“每个函数都有最大值”的否定是______________.

解析　命题的量词是“每个”，即为全称量词命题，因此其否定是存在量词命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论.故应填：有些函数没有最大值.

答案　有些函数没有最大值

三、解答题

9.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；

(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r： x∈R，x2＋2x＋2≤0.

解　(1)綈p： x∈R，x2－x＋＜0，假命题.

∵ x∈R，x2－x＋＝≥0，

∴綈p是假命题.

(2)綈q：有的正方形不是矩形，假命题.

(3)綈r： x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题.

∵ x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，

∴綈r是真命题.

10.写出下列命题的否定，并判断其真假.

(1)p：2的平方是正数；

(2)p：实数的平方都是正数；

(3)p：<0.

解　(1)綈p：2的平方不是正数，假命题.

(2)綈p：实数的平方不都是正数，真命题.

(3)綈p：≥0，真命题.

能力提升

11.已知命题p： x∈R，x2－2x＋m＝0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围.

解　因为綈p为假命题，所以命题p： x∈R，x2－2x＋m＝0为真命题，则方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＝4－4m≥0，即m≤1.故实数m的取值范围为{m|m≤1}.

12.已知命题p： 1≤x≤3，都有m≥x，命题q： 1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，綈q为假命题，求实数m的取值范围.

解　由题意知命题p，q都是真命题.

由 1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.由 1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}.