2017年全国统一高考数学试卷及答案详解(理科-新课标Ⅲ)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3    B．2    C．1    D．0

2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　）

A．    B．    C．    D．2

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （　　）

A．﹣80    B．﹣40    C．40    D．80

5．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．﹣=1    B．﹣=1    C．﹣=1    D．﹣=1

6．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为﹣2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

A．5    B．4    C．3    D．2

8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．π    B．    C．    D．

9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）

A．﹣24    B．﹣3    C．3    D．8

10．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　）

A．﹣    B．    C．    D．1

12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3    B．2    C．    D．2

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　   　．

14．（5分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=　   　．

15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　   　．

16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是　   　．（填写所有正确结论的编号）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． 

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

20．（12分）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

21．（12分）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若 f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

参与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（　　）

A．3    B．2    C．1    D．0

【解答】解：由，解得：或，

∴A∩B的元素的个数是2个，

故选：B．

2．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（　　）

A．    B．    C．    D．2

【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1．

则|z|=．

故选：C．

3．（5分）（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（　　）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：

月接待游客量逐月有增有减，故A错误；

年接待游客量逐年增加，故B正确；

各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；

故选：A

4．（5分）（2017•新课标Ⅲ）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （　　）

A．﹣80    B．﹣40    C．40    D．80

【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1=（2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．

令5﹣r=2，r=3，解得r=3．

令5﹣r=3，r=2，解得r=2．

∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=+23×=40．

故选：C．

5．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（　　）

A．﹣=1    B．﹣=1    C．﹣=1    D．﹣=1

【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标（±3，0），

则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，

双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，

可得，即，可得=，解得a=2，b=，

所求的双曲线方程为：﹣=1．

故选：B．

6．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为﹣2π

B．y=f（x）的图象关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，

B．当x=时，cos（x+）=cos（+）=cos=cos3π=﹣1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x=对称，故B正确，

C当x=时，f（+π）=cos（+π+）=cos=0，则f（x+π）的一个零点为x=，故C正确，

D．当＜x＜π时，＜x+＜，此时函数f（x）不是单调函数，故D错误，

故选：D

7．（5分）（2017•新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（　　）

A．5    B．4    C．3    D．2

【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，

要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，

则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，

要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，

则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，

要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，

此时N的最小值为2，

故选：D．

8．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（　　）

A．π    B．    C．    D．

【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，

∴该圆柱底面圆周半径r==，

∴该圆柱的体积：V=Sh==．

故选：B．

9．（5分）（2017•新课标Ⅲ）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）

A．﹣24    B．﹣3    C．3    D．8

【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，

∴，

∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，

解得d=﹣2，

∴{an}前6项的和为==﹣24．

故选：A．

10．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，

∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．

∴椭圆C的离心率e===．

故选：A．

11．（5分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（　　）

A．﹣    B．    C．    D．1

【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+）=0，

所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+）有唯一解，

等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象只有一个交点．

①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最高点为B（1，2a），

由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+）的图象有两个交点，矛盾；

③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，

且y=a（ex﹣1+）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，

所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+）的图象的最低点为B（1，2a），

由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=，符合条件；

综上所述，a=，

故选：C．

12．（5分）（2017•新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）

A．3    B．2    C．    D．2

【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），

∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，

∵BC=2，CD=1，∴BD==

∴BC•CD=BD•r，∴r=，

∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，

设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），

∵=λ+μ，

∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），

∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，

∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，

∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，

故λ+μ的最大值为3，

故选：A

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为　﹣1　．

【解答】解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），

平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，

经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，

将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，

即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．

故答案为：﹣1．

14．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=　﹣8　．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，

∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，

解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．

故答案为：﹣8．

15．（5分）（2017•新课标Ⅲ）设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范围是　x＞﹣　．

【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣，

则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞，

此时＜x≤0，

当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣，

当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，

当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+，

此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞，

故答案为：x＞

16．（5分）（2017•新课标Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是　②③　．（填写所有正确结论的编号）

【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，

不妨设图中所示正方体边长为1，

故|AC|=1，|AB|=，

斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，

B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，

以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，

则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），||=1，

直线b的方向单位向量=（1，0，0），||=1，

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），

其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），

∴AB′在运动过程中的向量，=（﹣cosθ，﹣sinθ，1），||=，

设与所成夹角为α∈[0，]，

则cosα==|sinθ|∈[0，]，

∴α∈[，]，∴③正确，④错误．

设与所成夹角为β∈[0，]，

cosβ===|cosθ|，

当与夹角为60°时，即α=， |sinθ|===，

∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ=|cosθ|=，

∵β∈[0，]，∴β=，此时与的夹角为60°，

∴②正确，①错误．

故答案为：②③．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。

17．（12分）（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，∴tanA=，

∵0＜A＜π，∴A=，

由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，

即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），即c2+2c﹣24=0，解得c=﹣6（舍去）或c=4，

（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，

∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，∴cosC=，∴sinC=，∴tanC=

在Rt△ACD中，tanC=，∴AD=，∴S△ACD=AC•AD=×2×=，

∵S△ABC=AB•AC•sin∠BAD=×4×2×=2，

∴S△ABD=S△ABC﹣S△ADC=2﹣=

18．（12分）（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

【解答】解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，

P（X=200）==0.2，

P（X=300）=，

P（X=500）==0.4，

∴X的分布列为：

当200＜n≤300时，

若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，

若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，

∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，

∴EY≤1.2×300+160=520，

当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，

若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，

∴当n=300时，（EY）max=0﹣0.4×300=520，

若x=500，则Y=2n，

∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=0﹣0.4n，

当n≥500时，Y=，

EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，

∴EY≤1440﹣2×500=440．

综上，当n=300时，EY最大值为520元．

19．（12分）（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD． 

（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．

∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．

△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．

∵△ACD是直角三角形，

∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO=AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．

∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．

又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．

又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．

（2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为hD，hE．则=．

∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，

∴===1．∴点E是BD的中点．

建立如图所示的空间直角坐标系．不妨取AB=2．

则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E．

=（﹣1，0，1），=，=（﹣2，0，0）．

设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取=．

同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．

∴cos===﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．

20．（12分）（2017•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

（1）证明：坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．

【解答】解：方法一证明（1）当直线l的斜率不存在时则A（2，2）B（2，﹣2），

则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，

则坐标原点O在圆M上；

当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：k2x2﹣（4k2+1）x+4k2=0，

则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，

由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，

综上可知：坐标原点O在圆M上；

方法二：设直线l的方程x=my+2，

，整理得：y2﹣3my﹣4=0，A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣4，

则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，

则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；

（2）由（1）可知：x1x2=4，x1+x2=，y1+y2=，y1y2=﹣4，

圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），

由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，

整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，

当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2=，y1+y2=﹣1，

则M（，﹣），半径为r=丨MP丨==，

∴圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=．

当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，

同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨=，

∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，

综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+）2=

或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．

21．（12分）（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．

（1）若 f（x）≥0，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．

【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，

所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．

所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，

所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增即f（x）min=f（a），

又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；

（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，

所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*．

一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，

即（1+）（1+）…（1+）＜e；

另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2，

同时当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e）．

因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，

所以m的最小值为3．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）（2017•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，M为l3与C的交点，求M的极径．

【解答】解：（1）∵直线l1的参数方程为，（t为参数），

∴消掉参数t得：直线l1的普通方程为：y=k（x﹣2）①；

又直线l2的参数方程为，（m为参数），

同理可得，直线l2的普通方程为：x=﹣2+ky②；

联立①②，消去k得：x2﹣y2=4，即C的普通方程为x2﹣y2=4；

（2）∵l3的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）﹣=0，

∴其普通方程为：x+y﹣=0，

联立得：，  ∴ρ2=x2+y2=+=5．

∴l3与C的交点M的极径为ρ=．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，

∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；

综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，

即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．

由（1）知，g（x）=，

当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，

∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；

当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），

∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；

当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，

∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；

综上，g（x）max=，

∴m的取值范围为（﹣∞，]．