[高考数学]高考数学函数典型例题

31．（本小题满分14分）

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．

32．（2010年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下:

①, ;         ②,;

③,;   ④,.

其中, 曲线和存在“分渐近线”的是(     )

A. ①④        B. ②③       C.②④　　　　　D.③④

33. (2010年高考天津卷理科16)设函数，对任意, 

恒成立，则实数m的取值范围是              。

34．（2010年高考江苏卷试题11）已知函数,则满足不等式的x的范围是__▲___。

35．（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是____▲____。

36已知函数.

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）证明： .

37（2010年高考江苏卷试题20）（本小题满分16分）

设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质。

(1)设函数，其中为实数。

(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。

(2)已知函数具有性质。给定设为实数，

，，且，

若||<||，求的取值范围。

38. (2010年全国高考宁夏卷21）（本小题满分12分）

设函数。

（1）若，求的单调区间；

（2）若当时，求的取值范围

39.（江苏卷20）若，，为常数，

且

（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；

（Ⅱ）设为两实数，且,若

求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．

40.（江西卷22）．（本小题满分14分）

已知函数，．

．当时，求的单调区间；

．对任意正数，证明：．

41.（天津）设函数.

（Ⅰ）证明,其中为k为整数；

（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；

（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,

证明。

（1）已知：，求证；

（2）已知：，求证：。

（1）令，由x>0，∴t>1， 

原不等式等价于

令f(t)=t-1-lnt，

∵当时，有，∴函数f(t)在递增

∴f(t)>f(1)    即t-1另令，则有

∴g(t)在上递增，∴g(t)>g(1)=0

∴

综上得

（2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得

即得

利用导数求和

42利用导数求和：

（1）；

（2）。

单调区间讨论

43设，求函数的单调区间.

分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 

44 已知函数，讨论的单调性.

分离常数

45已知函数.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

46已知

(Ⅰ)求函数的单调区间;

(Ⅱ)求函数在上的最小值;

(Ⅲ)对一切的,恒成立,求实数的取值范围. 

47已知函数, ,设．（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；

48设函数，其中；

（Ⅰ）若，求在的最小值；

（Ⅱ）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.

49设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

50设函数．（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

51已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；

（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。

52设二次函数，方程的两根和满足．

（I）求实数的取值范围；

（II）试比较与的大小．并说明理由．

．

53设的定义域为,的导函数为,且对任意正数均有，

(Ⅰ) 判断函数在上的单调性；

 (Ⅱ) 设， ，比较与的大小，并证明你的结论；

（Ⅲ）设，， ，若，比较与的大小，并证明你的结论.

54 已知函数f (x ) =x2 + lnx.

（I）求函数f (x )在[1，e]上的最大、最小值；

（II）求证：在区间[1，+∞上，函数f (x )的图象在函数g (x ) =x3的图象的下方；

（III）求证：[(x )]n－(xn)≥2n－2（n∈N*）.