南京航空航天大学线性代数样卷

二0一一~二0一二学年第二学期《线性代数》考试试题B

一（8*4=32分）填空

1 设向量组线性相关，则a=________，此时向量组的一个极大线性无关组为________。

2 A为三阶矩阵，且，为的伴随矩阵，则______， _______。

3 n阶矩阵A与角对形矩阵相似的充分必要条件为_______；设A为n*s的矩阵，则齐次线性方程组只有全零解的充分必要条件为_______。

4 矩阵A为5*4矩阵，B为4*5矩阵，则_______， _________。

5 实数域数R上的线性空间的维数为________和一组基______。

6 _________， _______。

7 向量，则矩阵的秩______， ______。

8 设三阶矩阵均不可逆，且，则A的特征值为_______，实对称矩阵B与A相似，则二次型的规范形是_______。

二（7*4=28分）计算题（要求写出计算过程）

1、计算行列式

2、设矩阵，，矩阵X满足方程，求矩阵X。

3、设A为的线性变换，她使得，求A在其自然基下的矩阵。

4、已知矩阵有三个线性无关的特征向量，

（1）求常熟a,b满足的关系式；

（2）问矩阵A是否与对角形矩阵相似，若相似，写出A的对角标准形。

三、（12分）设线性方程组，问a取何值时，方程组有解；求有解时方程组的通解。

四、（13分）已知二次型

  （1）写出二次型的矩阵A

  （2）用正交变换法将此二次型化为标准形，并写出所做正交变换以及二次型的标准形。

五（5*3=15分）证明题

1、已知n阶矩阵A满足，证明：。

2、设n阶矩阵A为实对称矩阵，A的所有特征值的绝对值为1，证明:A为正交矩阵。

3、证明：若与合同，与合同，则与合同。