高中数学 正余弦定理

一：根底知识理解

1．正弦定理

(1)S＝ah(h表示边a上的高)；

(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．

二：根底知识应用演练

1．(2021·广东高考)在△ABC中，假设∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)

A．4　　　　　　　        B．2

C.                          D.

2．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)

A．30°                      B．45°

C．60°                      D．75°

3．(教材习题改编)在△ABC中，假设a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)

A．无解                  B．两解

C．一解                  D．解的个数不确定

4．(2021·陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.假设a＝2，B＝，c＝2，则b＝________.

5．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．

解析：1选B　由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝2.

2选C　∵cos A＝＝＝，又∵0°3 选B　∵＝，∴sin B＝sin A＝sin 45°，∴sin B＝.又∵a4 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2.答案：2

5、解析：设BC＝x，由余弦定理得49＝25＋x2－10xcos 120°，整理得x2＋5x－24＝0，即x＝3.

因此S△ABC＝AB×BC×sin B＝×3×5×＝. 答案：

小结：(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.

(2)在△ABC中，a、b和A时，解的情况如下：

 〔1〕利用正弦、余弦定理解三角形

[例1]　(2021·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B.

(1)求角B的大小； (2)假设b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．

解析：(1)由bsin A＝acos B及正弦定理   ＝，得sin B＝cos B，所以tan B＝，所以B＝.

(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，

得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝，c＝2.

思考一下：

在本例(2)的条件下，试求角A的大小．

方法小结：

1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．

2．两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行推断．

试题变式演练1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a.

(1)求；

(2)假设c2＝b2＋a2，求B.

解：(1)由正弦定理得，

sin2Asin B＋sin Bcos2A＝ sin A，即sin B(sin2A＋cos2A)＝sin A.

故sin B＝ sin A，所以＝ .

(2)由余弦定理和c2＝b2＋a2，得cos B＝.

由(1)知b2＝2a2，

故c2＝(2＋)a2.可得cos2B＝，

又cos B>0，故cos B＝，所以B＝45°.

〔2〕利用正弦、余弦定理判定三角形的形状

[例2]　在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.

(1)求A的大小；

(2)假设sin B＋sin C＝1，试推断△ABC的形状．

[解析]　(1)由，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.

由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故cos A＝－，∵0(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C＝ 又sin B＋sin C＝1，解得sin B＝sin C＝.

∵0°方法小结：依据条件中的边角关系推断三角形的形状时，主要有如下两种方法：

(1)利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而推断三角形的形状；

(2)利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而推断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

[注意]　在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

试题变式演练 (2021·安徽名校模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，－1)，n＝，且m·n＝.

(1)求角A的大小；

(2)假设b＋c＝2a＝2，试推断△ABC的形状．

解：(1)∵m＝(4，－1)，n＝，

∴m·n＝4cos2－cos 2A＝4·－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cos A∵m·n＝，

∴－2cos2A＋2cos A＋3＝，解得cos A＝.∵0(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①

又∵b＋c＝2， ∴b＝2－c，代入①式整理得c2－2c＋3＝0，解得c＝，∴b＝ ，于是a＝b＝c＝ ，即△ABC为等边三角形．

〔3〕与三角形面积有关的问题

 [例3]　(2021·新课标全国卷)a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋asin C－b－c＝0.

(1)求A；

(2)假设a＝2，△ABC的面积为，求b，c.

[解]　(1)由acos C＋asin C－b－c＝0及正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0.

因为B＝π－A－C， 所以sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0.

由于sin C≠0，所以sin＝. 又0＜A＜π，故A＝.

(2)△ABC的面积S＝bcsin A＝，故bc＝4.

而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.

方法小结：

1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．

2．在解决三角形问题中，面积公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B最常用，因为公式中既有边也有角，简单和正弦定理、余弦定理结合应用．

试题变式演练 (2021·江西重点中考)在△ABC中，cos 2A＝cos2A－cos A.

(1)求角A的大小；

(2)假设a＝3，sin B＝2sin C，求S△ABC.

解：(1)由得(2cos2A－1)＝cos2A－cos A，则cos A＝.因为0(2)由＝，可得＝＝2， 即b＝2c.

所以cos A＝＝＝， 解得c＝，b＝2，

所以S△ABC＝bcsin A＝×2××＝.

课后加强与提高练习〔根底篇-必会题〕

1．在△ABC中，a、b分别是角A、B所对的边，条件“acos B〞成立的(　　)

A．充分不必要条件　　　　        B．必要不充分条件

C．充要条件                      D．既不充分也不必要条件

2．(2021·泉州模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．假设A＝，b＝1，△ABC的面积为，则a的值为(　　)

A．1                              B．2

C.                              D.

3．(2021·“江南十校〞联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝(　　)

A．30°                          B．45°

C．45°或135°                      D．60°

4．(2021·陕西高考)在△ABC中 ，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，假设a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为(　　)

A.                       B.

C.                          D．－

5．(2021·上海高考)在△ABC中，假设sin2 A＋sin2BA．锐角三角形                  B．直角三角形

C．钝角三角形                  D．不能确定

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.假设b＝2asin B，则角A的大小为________．

解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，∵sin B≠0，

7．在△ABC中，假设a＝3，b＝，A＝，则C的大小为________．

8．(2021·北京西城期末)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.假设b＝2，B＝，sin C＝，则c＝________；a＝________.

9．(2021·北京高考)在△ABC中，假设a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.

10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asin A＋csin C－asin C＝bsin B.

(1)求B；

(2)假设A＝75°，b＝2，求a，c.

11．(2021·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a－2bsin A＝0.

(1)求角B的大小；

(2)假设a＋c＝5，且a>c，b＝，求·的值．

12．(2021·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)假设a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

课后加强与提高练习〔提高篇-选做题〕

1．(2021·湖北高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.假设三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为(　　)

A．4∶3∶2                      B．5∶6∶7

C．5∶4∶3                  D．6∶5∶4

2．(2021·长春调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，4sin2－cos 2C＝，且a＋b＝5，c＝，则△ABC的面积为________．

3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0.

(1)求角A的大小；

(2)假设a＝，S△ABC＝，试推断△ABC的形状，并说明理由．

选做题

1．a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．假设a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.

2．在△ABC中，a＝2bcos C，则这个三角形肯定是(　　)

A．等腰三角形　　　　　　　            B．直角三角形

C．等腰直角三角形                      D．等腰或直角三角形

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

cos 2C＝－.

(1)求sin C的值；

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．

4．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，

且cos B＝，b＝2.

(1)当A＝30°时，求a的值；

(2)当△ABC的面积为3时，求a＋c的值．

课后加强与提高练习〔根底篇-必会题〕解析

1解析：选C　acos B.

2解析：选D　由得bcsin A＝×1×c×sin＝，解得c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－2×2×1×cos＝3⇒a＝.

3解析：选B　由1＋＝和正弦定理得cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，

即sin C＝2sin Ccos A，所以cos A＝，则A＝60°.由正弦定理得＝，

则sin C＝，又c4解析：选C　由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C，又c2＝(a2＋b2)，得2abcos C＝(a2＋b2)，即cos C＝≥＝.

6解析：选C　由正弦定理得a2＋b27解析：由正弦定理可知sin B＝＝＝，所以B＝或(舍去)，所以C＝π－A－B＝π－－＝.答案：

8解析：根据正弦定理得＝，则c＝＝2，再由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2－4a－12＝0，(a＋2)(a－6)＝0，解得a＝6或a＝－2(舍去)．答案：2　6

9解析：根据余弦定理代入b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.答案：4

10解：(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B.

故cos B＝，因此B＝45°.

(2)sin A＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.

故a＝b×＝＝1＋，c＝b×＝2×＝.

11解：(1)因为a－2bsin A＝0，

所以 sin A－2sin Bsin A＝0，因为sin A≠0，所以sin B＝.又B为锐角，所以B＝.

(2)由(1)可知，B＝.因为b＝ .

根据余弦定理，得7＝a2＋c2－2accos，整理，得(a＋c)2－3ac＝7.

由a＋c＝5，得aca>c，故a＝3，c＝2.

于是cos A＝＝＝，

所以·＝||·||cos A＝cbcos A

＝2××＝1.

12解：(1)证明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝

tan Atan C，

所以sin B＝·，

因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C，

所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C.

又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sin B，

因此sin2B＝sin Asin C.

由正弦定理得b2＝ac，

即a，b，c成等比数列．

(2)因为a＝1，c＝2，所以b＝，

由余弦定理得cos B＝＝＝，

因为0故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝.

课后加强与提高练习〔提高篇-选做题〕解析

1解析：选D　由题意可得a>b>c，且为连续正整数，设c＝n，b＝n＋1，a＝n＋2(n>1，且n∈N*)，则由余弦定理可得3(n＋1)＝20(n＋2)·，化简得7n2－13n－60＝0，n∈N*，解得n＝4，由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝6∶5∶4.

2解析：因为4sin2－cos 2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，

2＋2cos C－2cos2C＋1＝，cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝.根据余弦定理有cos C＝＝，

ab＝a2＋b2－7,3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，ab＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝×6×＝.答案：

3解：(1)法一：由(2b－c)cos A－acos C＝0及正弦定理，得

(2sin B－sin C)cos A－sin Acos C＝0，∴2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，

sin B(2cos A－1)＝0. ∵0法二：由(2b－c)cos A－acos C＝0，

及余弦定理，得(2b－c)·－a·＝0，

整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，∵0(2)∵S△ABC＝bcsin A＝，

即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2＋c2－2bccos A，a＝，A＝，

∴b2＋c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形．

选择题解析

1解析：在△ABC中，A＋C＝2B，∴B＝60°.又∵sin A＝＝，∴A＝30°或150°(舍)，∴C＝90°，∴sin C＝1.

答案：1

2解析：选A　法一：(化边为角)由正弦定理知：

sin A＝2sin Bcos C，又A＝π－(B＋C)，

∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.

∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，

∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，

∴sin(B－C)＝0.

又∵B、C为三角形内角，∴B＝C.

法二：(化角为边)由余弦定理知cos C＝，

∴a＝2b·＝，

∴a2＝a2＋b2－c2，∴b2＝c2，∴b＝c.

3解：(1)因为cos 2C＝1－2sin2C＝－，且0所以sin C＝.

(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，由正弦定理＝，得c＝4.由cos 2C＝2cos2C－1＝－，及0由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2±b－12＝0，解得b＝或2，

所以或

4 解：(1)因为cos B＝，所以sin B＝.

由正弦定理＝，可得＝，所以a＝.

(2)因为△ABC的面积S＝ac·sin B，sin B＝，所以ac＝3，ac＝10.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.

所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2a＋c＝2.