SARS传染病数学建模及预测预防控制机理研究

Sep.2004Vol 6No 9

研究报告

[收稿日期] 2003-10-28;修回日期 2004-02-26

[作者简介] 刘云忠(1970-),男,江西新干县人,西安交通大学博士研究生

SARS 传染病数学建模及预测预防控制机理研究

刘云忠,宣慧玉,林国玺

(西安交通大学管理学院,西安 710049)

[摘要] 首先,利用疾病传播的一般规律及人口守恒统计法则建立了四类人的SA RS 传染病数学模型,然后

运用数学方法对四类人的SA RS 传染病数学模型进行分析,得出了其生理意义和预防、控制机理。其次,利用人工神经网络理论建立了SA RS 的预测模型,以北京市的SARS 数据为例进行了预测和分析,预测结果显示该模型简单易行,预测精度高。

[关键词] SARS;稳定性;轨线;阈值定理;人工神经网络[中图分类号]

O175 1

[文献标识码]A [文章编号]

1009-1742(2004)09-0060-06

1 引言

传染病是当今世界最严重的问题之一。2003年春天,非典型肺炎(SARS)传染病突然侵袭了大半个中国,由于人们对此种传染病的传播机理还不太清楚,因而一度引起了人们心理上的恐慌。现在,预防和控制SARS 的研究显得极其紧迫。目前,对传染病的研究有4种方法:描述性研究,分析性研究,实验性研究和理论性研究。在理论性研究中,数学模型起着极其重要的作用。它把传染病的主要特征通过假设、参数、变量和它们之间的联系清晰地揭示出来。数学模型的分析结果能提供许多强有力的理论基础和概念。用数学模型帮助发现传染病的传播机理,预测传染病的流行趋势已成为共识。

利用非线性动力学的方法建立传染病的数学模型,来研究传染病是否会蔓延持续下去以及是否终将会被消灭具有重要的现实意义。因为这有助于人们对传染病的发展趋势进行预测,为人们预防和治疗传染病提供有益的信息和有效的措施。Kermack 和Mckendrick [1~3]的论文是传染病数学模型的基石,他们首先利用非线性动力学的方法建立了传染

病的数学模型,即所谓的KM 模型,之后,Cooke [4]

,H ethcote [5]

等做了大量的工作。陈兰荪、

陈健[6]

详细阐述了传染病的建模思想和研究方法。笔者利用非线性动力学的方法建立了非典型肺炎(SARS)传染病四类人的数学模型,并探索了预防和控制SARS 的机理。然后,利用人工神经网络理论建立了SARS 的预测模型,以北京市的SARS 数据为例进行了预测和分析,预测结果显示,该模型简单易行,预测精度高。

2 四类人模型

[7]

SARS 传染病四类人数学模型如下:

把人口分为健康人S (t )、SARS 病人I (t)、病愈免疫(包括死亡)的人R (t)及SARS 疑似病人P (t )四类人。

疾病传播一般服从下列法则:

法则1 在所考虑的时期内,人口总数保持在固定水平N ;

法则2 易受传染者S (t)人数的变化率正比于传染病患者I (t)与S (t)人数的乘积;

法则3 由I (t)向R (t)转变的速率与I (t)成正比。

由上述疾病传播法则,不难得出SARS 传染病四类人的数学模型为

d S /d t =- I S d I /d t = IS - I d R /d t = I d P /d t = I

(1)

方程组式(1)是四维的。且初始状态为

S (0)=S 0>0,I (0)=I 0>0,R (0)=R 0>0,P (0)=P 0=0。其中常数 , 称为传染率和移除率,其值均大于零。 >0。

令 = ,1 = 称为相对移除率。为了讨论问题的方便,假设总体N =1。

定理1

(阈值定理)设S (t),I (t),R (t),

P (t)是初值问题式(1)的解。如果 S 0<1,那么,当t + 时,I (t )单调减少趋于零;如果 S 0>1,那么,当t + 时,I (t)先增加达到最大值1-1 -1 ln ( S 0),此时S =1 ,而后单调减少趋于零。S (t)是一个单调减少函数,并且其极限lim t + S (t)=S (+ ),是方程1-S +(ln

0) =0在(0,1/ )内的根。当t + 时,R (t) 0,P (t) 0(见图1)。

图1 S(t),I(t),R(t),P(t )的变化趋势

Fig 1 T he changing trend of S (t),

I (t),R (t),P (t)

由于人类对传染病的认识提高以及现代医学水平的发展,对于许多传染病可以做到提前预防,使人群对许多种传染病具有免疫能力,例如打预防针、进行免疫接种等。在不久的将来人类将找到SARS 的免疫疫苗,因而在模型式(1)的基础上

经过调整,得到如下的数学模型:

S /d t =- IS - S I /d t = IS - I R /d t = I d P/d t = I

(2)

其中, >0。以下对模型式(2)进行分析,在(S ,I )相平面上考察轨线。首先由

d S /d t =- IS - S =-( IS + S )<0,

得到的S (t)是单调减少的,所以,对于所有t >0,有S (t)0成立,此时I (t)单调减少。当S 0>1/ 时由S (t)单调减少可得到唯一的t 1,使S (t 1)=1/ ,因此有00,此时I (t)增加,t >t 1后d I /d t <0,此时I (t )单调减少,所以I (t 1)是最大值。即在相平面上的轨线I (r )在r =1/ 时,I (1/ )为最大值。

显然方程组式(2)的轨线方程为

I (t)+ln I (t)I (0)=1-S +1 ln S S 0

。 由此得I

1 =1-1 -1 ln ( S 0

)-ln I (1/ )I 0

<

1-1 -1

ln (S 0 )。上式说明采取预防措施后,可以减少得病人数,并

且I (t)的最大值小于不采取预防措施时的最大值。令 D ={(S ,I )0 S 1,0对于方程组式(2),其轨线为:

S =0,I =I 0e - t

,

I =0,S =S 0e - t 。

O (0,0,0,0)点是式(2)在D 上唯一的平衡点,并且点(0,0,0,0)是局部渐近稳定的,这

是因为特征根- 及- 均小于零。

对于直线S +I =1上的所有解均有

d (S +I )d t =- I - S <0。

所以,在D 内出发的轨线不会越出区域D 。

令 D ={(S ,I )0 S 1,0综上所述,得出如下定理:

定理2 对于初值问题式(2),区域 D 是平衡点O (0,0,0,0)的渐近稳定区域(见图1)。

定理3 (阈值定理)设S (t),I (t),R (t),P (t )是初值问题式(2)的解。如果 S 0<1,那

61第9期刘云忠等:SARS 传染病数学建模及预测预防控制机理研究

么,当t + 时,I (t)单调减少趋于零;如果 S 0>1,那么,当t + 时,I (t)先增加到达最大值I (1 ),而后单调减少趋于零。S(t)同时单调减少趋于零。当t + 时,R (t) 0,P(t) 0通过建立四类人的SARS 传染病数学模型并对其进行分析的基础上,可得到如下结论:

1)在不考虑自然出生和死亡的前提下,SARS 传染病发生时,如果易感染人的总数小于等于该病的相对移除率,SARS 不可能发生流行,将很快被消灭。如果易感染人的总数大于该病的相对移除率,SARS 可能发生流行,得病的人数将猛增,当易感染人数下降到S =(1 )时,得病人数I (t )达到最大值1-1 -(1 )ln ( S 0),而后得病人数逐渐减少,最终趋向于零,即SARS 被消灭。在整个过程中易感染人数单调减少,最终并不是所有的易感染人都会得病。因此,疾病不是因为缺少受传染者而停止传播,而是因为没有了传染者才停止传播。

2)在SARS 传染病流行之前,对易感染的人群进行有效的预防可以使易感染的人数下降,从而达到防止SARS 传染病流行的目的。在SARS 传染病发生之后,立即对易感染的人群进行隔离,同样可以使易感染的人数下降,从而减少得病人数。此种情况下,如果在发病初期易感染的人数S 0 (1 ),那么SARS 会很快被消灭。如果在发病初期易感染人数S 0>(1 ),那么得病人数先增加,当其达到最大值I (1 )后,得病人数逐渐减少而后SARS 被消灭。此种情况下的最大值I (1 )小于不预防时的最大值1-1 -(1 )ln ( S 0)。

3 利用人工神经网络理论建立SARS

预测模型[11]

目前,用于预测的定量化方法尽管很多,但基本上可归纳为时间关系、结构关系和因果关系模型等三类[11]。时间关系模型的特点为被预测对象是时间变量的函数,它包括两种:一是数理统计学中的时间序列分析模型,二是用时间函数(如多项式,正余弦等)表示的趋势外推模型。结构关系模型的特点是在一定时间内被预测事件与其影响因素之间保持着某种固定的结构函数关系(如回归模型、联立方程模型、动态模型等)。因果关系模型的特点是用因果关系表达被预测事件与其影响因

素之间的相互作用。一般来说,应用时间关系模型

和结构关系模型时,要求被预测对象必须满足预测模型的前提条件,否则预测结果不可靠;而因果关系模型实际上是因和果之间的映射关系,几乎可以

表达所有非线性关系(如人工神经网络),因而比以上二类函数的适用范围广。人工神经网络(ANN,artificial neural netw ork)理论是在综合了众多学科理论的基础上发展起来的,其发展在预测方面为各领域的应用带来了广阔前景,特别是地质、天文、机械等理工科领域。近年来,人们才逐渐将ANN 技术用于生物、医学、药学、化学等学科,但主要是应用ANN 进行分类或进行静态分析,例如用蛋白质一级结构预测二级结构、药物筛选、恶性肿瘤的生存分析、疾病的诊断及预后分析等[11]

。笔者拟用误差反向传播(BP,back propag ation)神经网络对北京市SARS 的发病率进行分析,建立SARS 发病率的ANN 预测模型,旨在探讨ANN 预测模型在疾病发病率或死亡率预测上的应用前景。

3 1 三层BP 神经网络的结构

BP 神经网络模型是人工神经网络中应用最广泛的一种。它的功能函数为S 型函数,神经元连接形式为前馈神经网络,学习方式为有监督学习。如图2和图3所示,整个学习过程的具体步骤为:

图2 BP 网络模型结构Fig 2 Structure of BP ANN model

Step 1初始化网络及学习参数,如设置网络初始权矩阵、参数 等;

Step 2提供训练模式、训练网络、直到满足学习要求;

Step 3前向传播过程:对给定训练模式输入,计算网络的输出模式,并与期望模式比较,如有误差,则执行Step 4,否则返回Step 2;

62中国工程科学第6卷

Fig 3 Steps of Setting up BP ANN Model

Step4向后传播过程:计算同一层单元的误差e k j;修正权值和阈值,返回Step2,直至全部m 个学习模式对训练完毕。

各个连接权的调整量是分别与各个学习模式对的误差函数E k成比例变化的,该方法称为标准误差反向传播算法(又称平均误差),网络的全局误差为

E= m k=1E k= m k=1 q t=1(y k t-c t)2/2(3) BP学习算法实质上是最小均方(LM S)算法的推广,是一种非线性梯度优化算法,因此不可避免地存在局部极小值问题。学习算法的收敛速度很慢,通常需要上千次迭代或更多。为此,采用了动态学习比率BP算法。在BP算法中,连接权值的改变规则为:

t= d k t t=1,2, ,q(4)

j= e k j j=1,2, ,p(5)其中, , 为定义的权值步长,即学习比率,以下均用 表示。若 选择的很小,网络的学习速度不但很慢,而且很容易使网络陷入局部最小点;而 选择的太大,又容易使网络出现振荡,使误差E始终不能达到极小点。因此,对BP网络的学习算法做以下改进:

赋予 相对较大的初始值,使网络在学习初期误差较大,以较大的步长逼近极值点,同时又容易跳开局部极小点。随着网络的学习,根据学习误差的变化改变学习因子 ,设n为学习次数,有

n=

(1-0.05) E n+1 E n

(1+0.05) E n+1>E n

(6) BP人工神经网络模型结构和建立步骤见图2和图3。

3 2 基于BP网络的非线性时间序列预测原理

已知时间序列{X i i=1,2, ,t-1},若用过去的N(N 1)个时刻的数值预测未来M(M 1)个时刻的数值时,可将训练数据分为K段,长度为N+M的有一定重叠的数据段,每一段的前N 个数据作为网络的输入,后M个数据作为网络的输出(见表1)。

表1 训练数据的分段方法

T able1 The method of dividing section

for training data

N个输入M个输出

X1,X2, ,X N X N+1,X N+2, ,X N+M

X2,X3, ,X N+1X N+2,X N+3, ,X N+M+1

X3,X4, ,X N+2X N+3,X N+4, ,X N+M+2

X K,X K+1, ,X N+K-1X N+K,X N+K+1, ,X N+K+N-1

然后应用前述的BP神经网络进行训练学习,寻找一个R N到R M的函数关系。该网络的输入层有N(N 1)个节点,输出层有M(M 1)个节点。其预测值的一般形式为:

X t=f1(X)X t-1+f2(X)X t-2+ +

f p(X)X t-p+ t(7)其中p为预测网络的输入节点数。

f i(X)=f i(X t-1,X t-2, ,X t-p, t),(i=1, 2, ,p)是一个以预测网络各输入变量为自变量的非线性函数。预测误差为

2= (X^t-X t)2(8) 神经网络的训练过程就是使 2达到全局最小的过程,也是预测模型的建立过程。从统计学观点看,神经网络建模的最终结果是求出非线性函数f i(X),而f i(X)是用网络中各节点的连接权阈值表示的。而用传统的时间序列AR(p)模型进行预测,其预测值的一般形式为

X t=C1X t-1+C2X t-2+ +C p X t-p+ t(9)其中{ t}为白噪声,C i为常系数。

63

第9期刘云忠等:SARS传染病数学建模及预测预防控制机理研究

3 3 预测模型参数的确定

利用神经网络来建立SARS发病率预测模型时需要确定神经网络BP训练中的模型参数。模型参数包括模型层数、隐含层节点数和功能函数。模型层数的确定尚无统一方法。通过试验对2个隐含层的ANN与1个隐含层的ANN进行比较,前者易陷入局部极小,误差在局部极小处振荡,在同样学习次数的训练中,二者所达到的误差相近,因而选用3层BP神经网络模型。节点数包括输入输出层节点数和隐含层节点数,输入节点一般为输入变量的个数,输出层节点为SARS每天发病数。隐含层节点数目的确定难度较大,若隐含层节点太少,网络可能不能训练;若网络节点数太多,网络训练可能无穷无尽,不易收敛。在选取隐含层节点数时,根据最小上界(LUB,least upper bound)理论[12],经大量试验取隐含层节点数为6。功能函数的确定:BP神经网络的功能函数要求处处可微分且收敛。目前的研究多用Sigmoid函数f1(x)= 1(1+e-x),极少使用双曲正切函数f2(x)=(e x -e-x)(e x+e-x)作为网络功能函数。

3 4 预测结果

预测结果见表2。从预测结果可以看出,所建立的人工神经网络模型较好地预测了SARS感染人数,精度较高。事实上,在3月1日到4月18日间,由于北京市没有采取措施,SARS在社会上传播很快,北京市采取各种隔离和防疫措施后,疾病传播速度呈减缓趋势。研究表明,防疫措施当时就会起作用,隔离措施的效果在其后的第一、第二个周期并不明显,而在第三个周期会显现出显著作用。由于5月1日至5日大多数单位放假,外出人数明显减少,人员流动性大大降低,相当于隔离措施的进一步加强,从而使该期间的可跟踪概率变大,相当大的一部分传染源能够发现,并被隔离,这就使得5月11日至15日期间的新患病人数显著下降;5月6日上班后,人员的社会流动性增加,使可跟踪概率下降,因此,可能使5月16日至20日间的新患病人数有一定程度的反弹,或者说下降的势头与5月11日至15日相比将会减弱。如果5月16日以后,新发病人数没有反弹,说明主要的感染途径已经能够掌握,并实施了较有效的措施,北京市的SARS疫情已得到有效控制。因此,5月16日至20日是北京市SARS疫情的分水岭[13]。

北京市防治SARS的经验以及数据分析结果表明,为阻断SARS疫情在北京传播,在新发病人数(包括疑似患者中的确诊者)在达到WHO接触疫区警报要求的数字之前,需要保持防范措施力度,并进一步加强公众防范意识[13]。

表2 SARS感染人数实际值[14]和预测值及相对误差

Table2 The real and forecasting value w hich people infect SARS and the relative error

日期

感染人数

实际预测相对误

差/%

日期

感染人数

实际预测

相对误

差/%

日期

感染人数

实际预测

相对误

差/%

日期

感染人数

实际预测

相对误

差/%

4-191051104 765-031051115 715-171514-6 675-31110

4-209693-3 125-0462654 845-1814157 146-01110

4-2110298-3 925-0594973 195-193306-02000

4-221091155 505-066360-4 765-207706-03000

4-231131184 425-07923 375-210006-04000

4-24117112-4 275-0887914 605-22121206-05000

4-25124120-3 235-094139-4 885-239906-06000

4-261441493 475-105048-4 005-24252 006-07000

4-27126123-2 385-1138405 265-259906-08000

4-288581-4 715-1239415 135-265506-09000

4-291481533 385-134342-2 335-278806-10000

4-3093-4 305-1423244 355-282206-11000

5-011131173 545-151817-5 565-293306-12000

5-0283863 615-1617185 885-303306-13000 中国工程科学第6卷

4 结论

首先,利用疾病传播的一般规律及人口守恒统计法则建立了四类人的SARS 传染病数学模型,然后运用数学方法对四类人的SARS 传染病数学模型进行分析,得出了其生理意义和预防、控制机理。其次,利用人工神经网络理论建立了SARS 的预测模型,以北京市的SARS 数据为例进行了预测和分析,预测结果显示该模型简单易行,预测精度高。

参考文献

[1]

Kermack W O,M ckendr ick A G.Contributions to the mat hemat ical t heory of epidemics [J].Proc Roy So c A,1927,115(5):700~721

[2]

Kermack W O,M ckendrick A G.Contributions to the mat hemat ical t heory of epidemics [J].Proc Roy So c A,1932,138(1):55~83

[3]

Kermack W O ,M ckendrick A G.Contributions to the mat hemat ical t heory of epidemics [J].Proc Roy So c A,1933,141(1):94~122

[4]Coo ke K L.Stablility analysis for a vector disease mode [J].Rocky M ount J M ath 1979,9(1):31~42[5]

Hethcote H W.Qualititative analysis of communicable

disease models [J].M ath Biosci,1976,28(3):335~356

[6]陈兰荪,陈 健.非线性生物动力系统[M ].北京:科学出版社,1983.111~162

[7]张运权.传染病数学模型的建立及稳定性分析[J].数理医药学杂志,1999,12(2):99~100

[8]张芷芬.微分方程定性理论[M ].北京:科学出版社,1985

[9]张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题[M ].北京:北京大学出版社,1987

[10]王稳地.传染病数学模型的稳定性和分枝[D].西安:西安交通大学,2002

[11]

丁守銮,王洁贞,崔希友.基于双曲正切函数HFRS 发病率的BP 神经网络预测模型[J].系统工程理论与实践,2003,23(7):126~131,136

[12]Huang S C,Huang Y F.Bounds on the number o f hidden neurons on multilayer perceptions [J].I EEE T r ans N eural N etw orks,1991,2(1):47~55

[13]龚其国,佟仁城,吕本富,等.北京市SARS 的防疫措施、疫情的发展趋势分析[J ].管理评论,2003,15(4):28~30

[14]王建锋.SARS 流行预测分析[J].中国工程科学,2003,5(8):23~29

Mathematical and Predictive Models of SARS Epidemic Disease and Mechanism of Prevention and Control

Liu Yunzhong,Xuan Huiyu,Lin Guoxi

(M anagement School of X i an Jiaotong University ,Xi an 710049,China )

[Abstract] First,based on the law of disease propagation and conservation of population statistics,this paper

sets up mathematical models of four kinds of person for SARS,applies mathematical method to analy ze the model,and it gets the physiology senses of the mathem atical model and mechanism of prevention and control respectively.Second,it sets up predictive models of SARS epidem ic disease using BP artificial neural netw ork.According to the data of SARS in Beijing,it predicts and analyzes the model.T he ex perimental results show that the method is simpler,and more effective w ith hig h prediction precision 。[Key words] SARS;stability;trail;threshold theory;artificial neural netw ork

65第9期刘云忠等:SARS 传染病数学建模及预测预防控制机理研究