高中数学不等式选修题型全归纳

6.1均值不等式在证明中的应用

1.（1）已知，求证：；

（2）已知实数 满足：，试利用（1）求的最小值。

（1）证：

（当且仅当时，取等号）；

（2）解：，当且仅当时，的最小值是。

考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式

6.2绝对值不等式

6.2.1单绝对值不等式

2.已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围为_______.

答案：

解析：分别作出函数与的图像，

由图知，时，函数与无交点，

时，函数与有三个交点，

故

当，时，函数与有一个交点，

当，时，函数与有两个交点，

当时，若与相切，

则由得：或（舍），

因此当，时，函数与有两个交点，

当，时，函数与有三个交点，

当，时，函数与有四个交点，

所以当且仅当时，函数与恰有个交点.

考点：单绝对值不等式

3.存在 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为_____________

答案： 

解析：不等式 ，即 ，

令 的图象是关于 对称的一个 字形图形，其象位于第一、二象限；

 ，是一个开口向下，关于 轴对称，最大值为 的抛物线；

要存在 ，使不等式 成立，

则 的图象应该在第二象限和 的图象有交点，

两种临界情况，①当 时，的右半部分和 在第二象限相切：

 的右半部分即 ，

联列方程 ，只有一个解；

即 ，即 ， ，得： ；

此时 恒大于等于 ，所以取不到；

所以 ；

②当 时，要使 和 在第二象限有交点，

即 的左半部分和 的交点的位于第二象限；

无需联列方程，只要 与 轴的交点小于 即可；

 与 轴的交点为 ，所以 ，

又因为 ，所以 ；

综上，实数 的取值范围是： ；

故答案为：．

考点：单绝对值不等式

6.2.2同系数绝对值相加型不等式

4.已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，且当时，，求的取值范围。

（1）当时，令，

作出函数图像可知，当时，，

故原不等式的解集为；

（2）依题意，原不等式化为，

故对都成立，

故，

故，

故的取值范围是.

考点：同系数绝对值相加型不等式

6.2.3同系数绝对值相减型不等式

5.已知函数

（1）证明：

（2）求不等式的解集。

（1） 

当时，，所以，

（2）由（1）可知

当 时，的解集为空集；

当时，的解集为 

当 时，的解集为

综上：不等式的解集：

考点：同系数绝对值相减型不等式

6.2.4不同系数绝对值相加减型不等式

6.设函数

（1）求不等式的解集；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

（1）由题意得 

当 时，不等式化为，解得，

当时，不等式化为，解得，

当时，不等式化为，解得，

综上，不等式的解集为．

（2）由（1）得 ，若， 恒成立，

则只需 ，解得 ，

综上，的取值范围为 

考点：不同系数绝对值相加减型不等式

6.3已知绝对值不等式解求参数

7.设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)如果不等式的解集为，求的值。

（1）当时，可化为。

         由此可得  或。

         故不等式的解集为或。

 (2) 由 得 

         此不等式化为不等式组    或

即 或

         因为，所以不等式组的解集为

         由题设可得，故

考点：已知绝对值不等式解求参数

6.4已知绝对值不等式解的范围求参数范围

8.已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的取值范围. 

答案：

（1）当时，

 所以不等式可化为，或，或

解得或

因此不等式的解集为或

（2）由已知

即为，

也即

若的解集包含 ，

则，，

也就是，，

所以，，

从而，

解得

因此的取值范围为.

考点：已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减

6.5含绝对值不等式的恒成立问题

9.已知函数，

（1）若对任意的有成立，求的取值范围；

（2）若不等式，对于任意的都成立，求的取值范围。

（1）根据题意, 小于等于 的最小值

由 

可得

所以 

（2）当 即 时， 恒成立，

当 时，由绝对值不等式得性质可得

 ，

当且仅当 时取 ， 恒成立，

  ，

 ，

考点：含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式

6.6含绝对值不等式的能成立问题

10.已知函数 .

(1)求 的取值范围,使 为常数函数.

(2)若关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.

(1)

则当 时, 为常数函数.

(2)方法一:如图,结合(1)知函数的最小值为 ,

 实数 的取值范围为 .

方法二: ;

 ,

等号当且仅当 时成立.

得函数 的最小值为 ,则实数 的取值范围为 .

考点：含绝对值不等式的能成立问题

6.7利用绝对值的三角不等式放缩求最值

11.已知实数满足：求证：．

证明：，

由题设

.

.

考点：绝对值的三角不等式

6.8数形结合在含参绝对值不等式中的应用

12.已知函数．

（1）求的解集；

（2）设函数，，若对任意的都成立，求实数的取值范围．

（1），

，即,

① 或② 或③

解得不等式①：；②：无解；③：，

所以的解集为或．                   

（2）即的图象恒在图象的上方，

可以作出的图象，

而图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线，

作出函数图象，                                                                

其中 ，，

由图可知，要使得的图象恒在图象的上方，

实数的取值范围应该为．  

考点：同系数绝对值不等式相加型、  数形结合在含参绝对值不等式中的应用     

7.证明不等式的基本方法

7.1比较法证明不等式

13.设不等式的解集是，．

（1）试比较与的大小；

（2）设表示数集的最大数．求证：

答案：（1）（2）见解析

解析：（1）先解出

.

问题得证.

（2）

可知,

所以根据不等式的性质，同向正向不等式具有可乘性，从而可证出.

故.

考点：比较法证明不等式

7.2综合法证明不等式

7.3分析法证明不等式

14.已知,不等式的解集为.

（1）求；

（2）当时,证明:.

（1）解不等式： ；

  或  或

或或，

.                       

（2）需证明：，

只需证明，

即需证明

，

所以原不等式成立. 

考点：分析法证明不等式

7.4反证法证明不等式

15.设 且证明：    

（1） ；

（2） 与 不可能同时成立.

由， 得

（1）由基本不等式及 ，有 ，即；

（2）假设与同时成立，

则由 及 得 ，

同理 ，

从而 ，这与 矛盾，

故 与 不可能同时成立.

考点：反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用

8.5放缩法证明不等式(多为数列的题)

16.已知数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前和为，证明：．

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）考虑到，因此可以利用条件中的式子得到数列的一个递推公式，从而即可求解；（2）由（1）可知，，从而可证，进一步放缩可得，求和即可得证.

试题解析：（1）∵，当时， ，又∵，与两边分别相减得，得，又∵，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，得；

∵，∴，，得，又∵，∴

，∴.

9.柯西不等式

9.1柯西不等式的代数形式

17.已知关于的不等式的解集为

 求实数 的值；

 求的最大值.

 由，

得

则，

解得

当且仅当即时等号成立，

故.

考点：柯西不等式的代数形式

9.2一般形式的柯西不等式

18.已知函数且的解集为,

求的值;

若且求证

(1)

的解集是

故.

由知

由柯西不等式得

考点：一般的柯西不等式