菱形专题(提高篇)

【知识点梳理】

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；

              ②菱形的四条边都相等；

              ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

              ④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形

（两条对角线所在的直线分别是对称轴；对角线交点是对称中心）

菱形的面积计算：①利用平行四边形的面积公式：S=底×高

                   ②菱形面积=  ab （a、b是两条对角线的长度）

注：只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

菱形的判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；

②四条边都相等的四边形是菱形．

  几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．

 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形

【易错点】

1、菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法（重点）

2、菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有本身独特的性质。在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，学生容易造成会混乱（难点）

【课时作业】

一、选择题（共7小题，每小题3分）

1、下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　　）

A．对边平行且相等               B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直                D．对角互补

2、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列条件：①AB∥CD； ②AB=CD； ③OA=OC；④OB=OD； ⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．则下列各组组合中，不能推出四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．①②④           B．③④⑤        C．①②⑤        D．①②⑥

3、如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（　　）

A．AB=AC          B．AD=BD           C．BE⊥AC        D．BE平分∠ABC

4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，DE⊥AB，DF⊥BC，则△DEF的周长为（　　）

A．3                B．            C．6            D．

5、在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（    ）

A．            B．            C．          D． 

6、如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°，连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第六个菱形的边长为（　　）

A．9              B．9               C．27             D．27

7、如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）

A．AB=AD            B．AC=BD            C．AD=BC            D．AB=CD

二、填空题（共5小题，每小题3分）

8、如图，在菱形中，在上，点在上，则的最小值为        

9、如图，ABCD是菱形，AC是对角线，点E是AB的中点，过点E作对角线AC的垂线，垂足是点M，交AD边于点F，连结DM．若∠BAD=120°，AE=2，则DM=　   　．

10、如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC=140°，则∠OED=　   　．

11、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为　   　cm．

12、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是G，且点G在边AD上，若EG⊥AC，AB=2，则FG的长为　   　．

三、解答题（共8小题，共分）

13、如图，中，，是的平分线，交于，是边上的高，交于，于，求证：四边形是菱形．

14、如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于，

证明：与互相平分

15、如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．将Rt△ABC绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，连接AD．

求证：四边形AFCD是菱形．

16、如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．

 17、如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．

（1）求证：△ACE≌△CBD；

（2）求∠CGE的度数．

18、已知等腰中，，平分交于点，在线段上任取一点（点除外），过点作，分别交、于、点，作，交于点，连结.

⑴求证四边形为菱形

⑵当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半？

19、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，M为对角线BD延长线上一点，连接AM和CM，E为CM上一点，且满足CB=CE，连接BE，交CD于点F．

（1）若∠AMB=30°，且DM=3，求BE的长；

（2）证明：AM=CF+DM．

20、如图①，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，

（1）求证：PG⊥PC，PG=PC；

（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，其它条件不变（如图②），（1）中的条件仍然成立，请你说明理由．

【错题&笔记】