在小学数学教学中培养学生代数思维的新思考

[内容摘要]   

在小学数学学习中，从算术思维到代数思维是学生数学思维的重大飞跃，是促进具体运算阶段向形式运算阶段转化的最好的思维训练，同时也有助于实现小学数学和初中数学的顺利衔接。因此，本文从影响代数思维发展的教学原因和体现代数思维的例题与自己设计的练习的角度，渗透代数思维与方法，从而达到培养学生代数思维的意识与能力，进一步发展学生的数学意识。

[关键词]   代数思维   小学   数学教学   

一、思考背景

根据皮亚杰观点，小学儿童认知发展的关键是从具体运算阶段到形式运算阶段。具体运算阶段的儿童虽已具有了较强的思维能力，但这些问题必须是他们过去曾经遇到过的，或类似于曾遇到过，思维活动在很大程度上要依赖自身经验；相对地，形式运算阶段的个体思维已不再局限于具体事物及自身经验，可以仅凭借运演各种抽象的符号去解决认知问题，其思维活动不再是指向客体，而是指向思维活动本身。在小学数学学习中，从算术向代数的过渡正是这两阶段思维转换的最好体现，而从算术思维到代数思维是学生数学思维的重大飞跃，是促进具体运算阶段向形式运算阶段转化的最好的思维训练，同时也有助于实现小学数学和初中数学的顺利衔接，进一步发展学生的数学意识。

基于以上地思考，在小学数学学习阶段，培养学生的代数思维意识应运而生。

二、影响代数思维发展的教学原因

1．算术思维定势

我们知道，算术知识是代数学习的基础，而且算术中的一些内容不能完全被代数所替代，如四则运算。在小学数学中，算术（主要是计算）知识体系是基本内容，而代数往往被看做是初中生学习的一个合适的数学内容。因此，在一些教师的教学观念中，引导小学生从算术到代数的顺利过渡没有得到足够的重视。

在教材编排上，学生在接触代数之前接受了大量的算术训练，这是必须的，但也由此造成了学生的思维定势，即看到解决问题，就会习惯性地使用算术解法。

2．在算术教学中代数方法未显优势

在学习列方程解题的开始阶段，教师重在强调方程格式，培养学生形成良好的解方程习惯，因此学生面临的是难度相对偏低的问题，有些题目甚至可直接用算术方法解答。而且，学生不习惯书写“解：设……”这个步骤，不喜欢解方程的各个步骤都需写“X=”，再递等。久而久之，给学生造成一种印象：算术解法简单，列方程繁琐复杂。一时对代数法的接受和运用比较困难，出现种种理解障碍。

三、数学教学中，为培养学生代数思维搭建平台

近几年，笔者为培养学生代数思维在教学上做了新的尝试，下面结合具体案例与题型设计，阐述如下。

1．在算术教学中适时渗透代数意识。

（1）低段学生方程意识（等式意识）的渗透与题型设计。

※ 方程意识的渗透：人教版数学一上教材P70。 

对于刚入学二个多月的一年级新生来说，计算10以内的加减法有学前基础，出现7+（  ）=10这样的例题很有教学的价值。7+（  ）=10题目本身能让学生认识到（  ）代表一个数，渗透了字母表示数的启蒙。

师：你是怎么想的？

生1：盒子里已经放了7枝了，再放3支就是10枝。

生2：7和3组成10，所以（ ）里填3。

生3：10—7=3，所以（ ）里填3。

老师展开教学会有以上解法生成，生1是根据图数出来的，思维直观，生2是根据数的组成来思考的，生3的解法，若果用一个加数等于和减另一个加数的方法来解答，那么学生还是一种算术解法，只有当学生意识到7+（  ）=10作为一个整体结构，可以利用结构性质（等式性质），逐步变形为（  ）=10—7，（  ）=3，这才是真正的代数思维。

随着年级的升高，由10以内的数扩展到20以内的数，百以内的数，低年级以这种形式渗透代数思维还是比较普遍适用的，因为它有依托的解题策略。

※ 题型设计：第一组：

9+（  ）=10    （  ）+9=10   （  ）—9=10     19—（  ）=10

8+（  ）=17    （  ）+8=17   （  ）—8=17     25—（  ）=17 

34+（  ）=52   （  ）+34=52  （  ）—34=52    86—（  ）=52

（设计说明：10以内——20以内——100以内；依据例题在数的大小上有所提高，第2列算式是改第2个加数未知数为第1个加数未知数，还是属于同位知识，第3、4列是改为减法题。求加数和减数都是用减法来做的，求被减数是用加法来做的。）

第二组：变式

10=（  ）+9    10=9+（  ）   10=（  ）—9     10 =19—（  ）

17=（  ）+8    17=8+（  ）   17=（  ）—8     17=25—（  ）

52=（  ）+34   52=34+（  ）  52=（  ）—34    52=86—（  ）

（设计说明：这组题的设计对等式的含义理解要求是相当深刻的，属于上位知识，方程的等式性质，渗透的代数思维对于低年级的学生来说是有难度的。）

第三组：

2+4=（  ）+1

8+（  ）=6+7

25+（  ）=25—（  ）

3+5=（  ）+2=7+（  ）=（  )－4=8—（  ）

（  ）+6=5+（  ）=（  ）—8=14—5=10—（  ）

（设计说明：这组题相当复杂，但是等式的性质是不变的。）

（2）低段学生不等式的解是集合的思想的渗透与题型设计。

※ 不等式的解是集合的思想的渗透：人教版数学一下教材P60。 

例：想一想：下面每个（   ）里可以填什么数？ 

10+30＞（   ）

20+（   ）＜25 

第1道（  ）里填比40小的数都可以；第2道（  ）里填比5小的数都对。出现这样的填空题，逐步让学生体会到这里的（  ）不仅可以表示一个数，而且也可以表示某个范围内的若干个数，渗透不等式的解是集合的思想。

※  题型设计：

25+（   ）＜70                 90—（  ）＞65

（  ）+25＜70                  90—（  ）＜65

70＞（   ）+25                （  ）—25＞65

70＞25+（   ）                （  ）—25＜65

（设计说明：从加法延伸到减法，（  ）在不同的位置设计，一定量的练习可以逐步让学生有所体会。）

（3）给低段学生提供特殊的代数推理机会，发展代数思维与题型设计。

※ 代数推理：人教版数学二上教材P99。

例：三个小朋友见面，每两个人握一次手，三人一共握几次手？

表1   “握手问题”教学举例

对于低年级学生来说，我们可以通过直观的方式引导他们进行代数思维，见表1。

※ 题型设计：

    有n个人聚会，要求每个人都要与其他人握手（一次）以示友好。请问：这n个人一共握手多少次？

表2   “握手问题”题型设计举例

2．体会代数思维的结构性。

    许多代数中的数学概念具有二重性：即表现为一种过程操作，又表现为对象、结构。相类似的，算术思维是过程性的，代数思维既包含了过程性，更表现了结构性。例如：a+b这个形式本身，既表示a和b这两个数作加法运算，也表示a和b相加的结果。即a和b本身既可以看做运算过程，又可以看做运算结果，也就是作为一个对象看待。

（1）二重性。

    《用字母表示数》的公开课的展开环节，本人是这样展开进行的，例：一条线段，分1次，平均分成几段？分2次，平均分成几段？分3次，平均分成几段？如果我们按这种方法分10次呢？20次？

表3   分的次数与段数的关系

※ 题型设计：

● 你能列式吗？（加、减、乘、除、各一题）

（1）小华m岁，小东比小华大3岁，小东（ m＋3 ）岁。

（2）五年级同学种树120棵，比四年级多种x棵，四年级种树（ 120－x ）棵。

（3）一种糖果的价钱是每千克a元，买14千克需（ 14×a ）元，买b千克需（  a×b ）元。

（4）小红家去年用电c度，平均每月用（ c÷12  ）度。

● 儿歌：

•1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿。

•2只青蛙2张嘴，4只眼睛腿。

•3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿。

•……

   (ａ)只青蛙(ａ)张嘴,(ａ×２)只眼睛(ａ×４)条腿。

● 说一说： a＋3、40×a、3×b表示什么？

表4   体会二重性

在右图中，                                      

§哪一部分的面积是a×b？

§哪一部分的面积是b×b？

§整个图形的面积怎样表示

（2）看作一个整体。

二下学习列综合式时，设计把二个算式写成一个算式的练习，让学生把一个数用一个算式来代替，也就是说把一个算式看作是一个整体，这是一种真正的代数思维训练。

※ 题型设计：

◎ 把两个算式合成一个算式

6×4=24            78—36=42           8÷2=4           21+19=40

24+50=74           9×4=36             3×4=12          85—40=45 

◎ ▲+▲+▲+▲=20                  △×△=△+△  

    ●+▲=8                         ○×△=6

▲=（   ）                      □×○=15

●=（   ）                      △=（   ），○=（   ），□=（   ）。

◎ 简便计算拆数也是看作一个整体的代数思维。

如：24×101

  =24×（100+1）

  =24×100+24×1

  =2400+24

  =2424 

把101拆成（100+1），当作一个整体来替换，培养学生的代数思维，在简便计算中也是很有价值体现的。

3．选择适当的例题突出代数方法的优越性。

    （1）代数方法的优越性。

●  从列式子讲，方程容易。

    因为它只根据问题中的等量关系，平铺直叙地列出方程，先不考虑解得过程，也就是列方程和求解答是两件事。算术解法，则必须把列式子和“求答数”综合起来。代数解法列出的式子，只是表示出等量关系的式子，而算术解法列出的式子是“直接表示出答案”的式子，把求解的过程也考虑在内了，因此思考起来要困难得多。列方程解题是用字母代表未知数并参与列式，把题中的等量关系用含有未知数的等式表示出来，列式时不需要进行逆向思考。而用算术方法解应用题是根据已知量和未知量之间的数量关系，把已知量列成一个算式来表示未知量，需要逆向思考。

●  从解法上讲，解方程容易。

不管什么题，只要方程列出来，解法都是一样的，所以具有统一性，也比较简单。算术解法，由于列式和解是统一考虑的，所以，对所列式子的每一步，都要找到适当的理由来作解释，而且不同类型的题，必须用不同的理由来解释。因此算术解法显得繁杂，缺乏统一性和普遍性，不容易掌握。

（2）选择适当的例题体会方程的优越性。

与代数解题方法优越性形成鲜明对比的是，中高年级时，小学生做解决问题时经常会从代数方法回到算术推理上，他们不习惯用代数方程来表示问题中所给出的信息，不习惯通过对符号进行操作来获取答案。不少学生不能列出正确的方程。究其原因，是由于从算术思维到代数思维的认知发展非连续性，代数思维是抽象层面上的思维，代数的方法更具有一般性，算术思维是更接近日常生活的思维。在算术法中，知与未知，泾渭分明；在代数法中，辩证地处理知与未知、求与不求，使这一矛盾双方和谐地处于同一方程中。应该说，算术解法是学生认知发展的现有水平，代数解法是学生认知发展的可能水平。

在解决问题教学的起始课，可以选择用算术法较难而方程处理时较简单的例题，让学生自己去比较，去体会，为方程思想的建立奠定一个良好的基础。例1：“某人从甲地到乙地，又从乙地返回甲地，共用了8小时，去时每小时行6千米，返回时每小时行10千米，求甲乙两地间的距离。”这道题若用算术解法，显然很难，涉及到单位“1”思想的转化，而用方程解答就简单，只要弄清楚题目的等量关系就可以设未知数进行计算了。可以设甲乙两地的距离为X千米。X÷6+ X÷10=8。例2：今年父亲的年龄是儿子年龄的9倍，母亲年龄是儿子年龄的7倍，父亲比母亲大8岁。儿子今年多少岁？此题若用算术方法解，有点繁难，若用方程解，只要设儿子年龄为X岁，就可得到方程9X—7X=8，问题迎刃而解。

四、效果与思考

基于以上教学实例和针对性的练习，学生在实现从算术思维到代数思维的过渡上并不是一个突变的过程，它可以在整个小学阶段循序渐进有机渗透，达到润物细无声，从而发展学生的代数意识，为以后学习代数知识打下基础。

当然，代数不同于算术的一个典型特征是：代数对符号的操作，在代数中，用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平。字母的使用只是是用代数的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数思维，也就是一般化的思维。如果，只是借用代数的字母，实际运作的却是算术的思维，则仍称不上是在运用代数。例：“一个定价100元的杯子，打八五折出售，问便宜了多少钱？”，学生解题时，如假设便宜了X元，并列出方程式：X=100—100×0.85，因此得到X=15。在这里，符号并没有发挥作用，他只是解了一个特定的题目，如此仍属于算术思维。

[参考文献]

[1]徐速 著《小学数学学习心理研究》，浙江大学出版社，2006．6；

[2]课程教材研究所 著义务教育课程标准实验教科书数学，人民教育出版社2001．6；

[3]张天孝 著义务教育课程标准新数学读本，浙江教育出版社，2003．11。