三年级整数的速算与巧算

知识框架

一、加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：

（1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

（2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

（3）数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．

（4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）

二、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：，，

         （去8数，重点记忆）

        （三个常用质数的乘积，重点记忆）

理论依据：乘法交换率：a×b=b×a

乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)

乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

三、乘、除法混合运算的性质

（1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：

，

（2）在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：

（3）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．

例如：

（4）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即

　　        ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即   

（5）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．

例题精讲

一、加减速算

【例 1】计算：

       （1）117＋229＋333＋471＋528＋622  

（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）

（3）756－248－352

（4）4－－111－95－105－94

【考点】分组凑整           【难度】☆          【题型】解答   

【解析】在这个例题中，主要让学生掌握加、减法分组凑整的方法。几个数相加，可以先把可以凑整的几个数分成一组；一个数连续减去两个数，可以先把后两个数相加凑整，再用这个数减去后两个数的和．具体分析如下：

（1）原式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）

＝450＋700＋1150

＝（450＋1150）＋700

＝1600＋700

＝2300

（2）原式＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650

＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）

＝3000＋500＋800

＝4300

（3）原式＝756－（248＋352）

＝756－600

＝156

（4）原式＝（4－94）－（＋111）－（95＋105）

＝800－200－200

＝400

【答案】（1）2300；         （2）4300；        （3）156；        （4）400。

【巩固】计算：      ． 

【考点】分组凑整           【难度】☆          【题型】填空        

【解析】原式

【答案】140

【例 2】计算：． 

【考点】分组凑整           【难度】☆          【题型】填空      

【解析】原式

【答案】。

【巩固】同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次小老师！ 

⑵ 

⑶ 

⑷ 

【考点】分组凑整           【难度】☆          【题型】解答        

【解析】原式()()；

⑵ 原式()()；

⑶ 原式()；

⑷ 原式()()()；

【答案】（1）347；         （2）20159；        （3）1800；        （4）700。

二、加补凑整

【例 3】计算：（1）298＋396＋495＋691＋799＋21           

（2）195＋196＋197＋198＋199＋15

（3）98－96－97－105＋102＋101

（4）399＋403＋297－501

【考点】加补凑整           【难度】☆☆           【题型】解答        

【解析】在这个例题中，主要让学生掌握加法运算加补凑整的方法．具体分析如下：

（1）（法1）：原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1

＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）

＝300＋400＋500＋700＋800

＝2700

（法2）：原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21

＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21

＝2700

（2）（法1）：原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）

＝200＋200＋200＋200＋200

＝1000

（法2）：原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15

＝200＋200＋200＋200＋200

＝1000

（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）

＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1

＝3

（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）

＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1

＝598

注：在（1）中，在加100时多加了1，所以要减去，这样保证结果不变，所以“多加的要减去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多减了2，所以要加上，所以“多减的要加上”；（4）中，少减了3，后面要再减去3，所以“少减的要再减”．

【答案】（1）2700；        （2）1000；        （3）3；        （4）598。

【巩固】计算：所得和数的数字之和是多少？ 

【考点】加补凑整           【难度】☆☆          【题型】解答        

【解析】原式

故所得数字之和等于.

【答案】。

【例 4】___________。

【考点】加补凑整           【难度】☆☆          【题型】填空 

【解析】

【答案】。

【巩固】计算：__________． 

【考点】加补凑整           【难度】☆          【题型】填空 

【解析】根据凑整的原则将10进行拆分为

【答案】。

【例 5】同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！ 也当一次小老师！ 

⑴ 　　1 

【考点】加补凑整           【难度】☆☆            【题型】解答

【解析】⑴（法一）：

由于此题的各个加数恰好接近整十、整百、整千……把每个加数加上1后就凑成了整十、整百、整千……然后从总和中减去5个补数的和．

原式

（法二）：

把加数19分解成，然后运用加法交换律和结合律进行巧算

原式

．

原式．(没有凑整的条件，我们可以创造凑整的条件)

【答案】（1）；       （2）。   

【巩固】计算：（1）9+99+999+……+999999999           

（2）

【考点】加补凑整           【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】（1）本题可以把所有的加数均看成整十、整百、整千……的数，最后再进行补数

原式＝10+100+1000+……+10000000000-9

＝1111111110-9

＝1111111101

（2）原式＝

＝

【答案】（1）1111111101；       （2）。  

三、基准数

【例 6】下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 

【考点】基准数           【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】当我们把几个比较接近的数相加时，可以先选一个与这些数都比较接近的数作为“基准数”，把加法转化成乘法，以达到简化运算的目的，然后再把原来每个数与基准数的差距“多退少补”，修正过来．原式

【答案】。

【巩固】计算：        

【考点】基准数           【难度】☆☆          【题型】填空

【解析】根据加法凑整的原则

【答案】

【例 7】⑴

⑵

【考点】基准数           【难度】☆☆          【题型】填空

【解析】⑴（法一）：原式=

              =

              =

              =2700

（法二）：原式=

     　        =

    　         =2700

⑵原式=

               =

               =3

【答案】⑴2700；         ⑵3。 

【巩固】下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 

【考点】基准数           【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可以选择一个合适的数，最好是整十、整百、整千的数作为基准数，再把大于基准数的加数分成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数减去某数的差的形式．本题中的数都接近或等于280，所以取280为基准数，可得下面解法．原式.    

【答案】。

四、乘5、15、25、125

【例 8】下面这些题你会算吗？ 

⑴　　⑵　

【考点】乘法凑整之乘5的倍数          【难度】☆☆         【题型】解答　

【解析】⑴

⑵

【答案】⑴           ⑵

【巩固】用简便方法计算下面各题． 

（1）　　　　（2）　　　

【考点】乘法凑整之乘5的倍数           【难度】☆☆         【题型】解答　

【解析】（1）

（2）

【答案】⑴；           ⑵。

五、乘9、99、999

【例 9】下面各题怎样算简便呢？

⑴　　　　　⑵　　　　　⑶

【考点】乘法凑整之乘9、99、999           【难度】☆☆         【题型】解答　

【解析】⑴利用公式，可以得出结果：；

⑵，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘”．

⑶，此题可用小技巧：“去1添补,中间隔9”法. 注意：只适用于“两位数乘”．

【答案】⑴　　　　　⑵　　　　　⑶

【巩固】相信你能快速的计算下面各题，我们一起来做做吧． 

⑴          ⑵         ⑶

【考点】乘法凑整之乘9、99、999            【难度】☆☆         【题型】解答　

【解析】利用乘法分配律的公式，可以得出结果，也可以记住下面的小技巧：一个数，在该数后添0，再减此数；一个数，在该数后添00，再减此数；一个数，在该数后添000，再减此数……

⑴

⑵，此题也可用小技巧：“去1添补”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘99”．

⑶，此题也可用小技巧：“去1添补，中间隔99”法，“补”就是“补数”，和为整十或整百或整千的两个数都可称为互补数.注意：只适用于“两位数乘9999”．

【答案】⑴；　　　　　⑵；　　　　　⑶。

六、乘11、111、101

【例 10】请你计算出下式结果，并总结规律．快点算吧！ 

    第一组： ⑴　　　  ⑵

    ⑶       　　  ⑷

    ⑸       　　 ⑹

    第二组： ⑴            ⑵

    ⑶         ⑷

    ⑸    ⑹

【考点】乘法凑整之乘11、111、101           【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】第一组：⑴          

⑵

⑶（有2个“1”，结果就有2组“79” ）          

⑷（有3个“1”，结果就有3组“23” ）

⑸ 

⑹（有几个“1”，结果就有几个“69” ）

第二组：⑴                

⑵

⑶（被乘数是3位数，乘数的1和1之间就夹了2个0）              

⑷

⑸           

⑹（被乘数是n位数，乘数1之间就夹了“”个0）

【答案】第一组：⑴          

⑵

⑶         

⑷

⑸ 

⑹

第二组：⑴                

⑵

⑶             

⑷

⑸           

⑹ 

【巩固】怎样才能算得又对又快？ 

    ⑴　　 ⑵　　　⑶　　 ⑷

【考点】乘法凑整之乘11、111、101           【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】⑴

⑵

⑶

⑷

【答案】    ⑴；　　 ⑵；　　　⑶；　　 ⑷。

七、除法

【例 11】小朋友们，下面的计算方法可要听仔细啦． 

⑴　　　　　　　   ⑵

⑶　　　　　　  ⑷

【考点】除法凑整         【难度】☆☆         【题型】解答

【解析】不同的算式有不同的特点,要学会挑选好办法去速算.我们刚刚学习了除法的运算定律,观察每个算式的特点,选择不同的定律进行计算.

⑴我们一眼就可以看出, ,所以运用除法的分配律可以简便运算.

⑵括号里三个数都很大,运用除法的分配律后可以使数变小,简便了我们的运算. 

⑶和9都不是50的倍数,但是它们的和却是50的倍数,运用除法分配律的逆运算,就可以得出结果啦. 

⑷这是一个连除, 计算起来会比较复杂,但是相比较就会简单一些,根据连除的性质: 交换除数的位置，商不变,得到比较简便的运算: ．

【答案】⑴；  　   ⑵；　　　　⑶；   　  ⑷。

【巩固】同学们，来个接力赛比一下吧． 

【考点】除法凑整         【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】依次为：、、、、、、、、、、、

【答案】、、、、、、、、、、、

八、乘除混合

【例 12】聪明的你一定能顺利的通过最后一关吧． 

⑴　　   ⑵　　　⑶　   　⑷　　　 

⑸　　 ⑹　　　　⑺

【考点】乘除法混合         【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】根据我们刚刚学过的乘、除法混合运算的性质,根据算式不同的特征选择不同的性质进行巧算, 可以减少计算时间并大大提高正确率,不信你就试试吧!

⑴利用带着符号搬家, ，；

⑵利用去括号的性质, ，；

⑶利用去括号的性质, ，

⑷利用去括号的性质, ，；

⑸利用添括号的性质, ，；

⑹利用添括号的性质, ，；

⑺利用两个数之积除以两个数之积的性质,

．

【答案】⑴；　  ⑵；　　　⑶；     ⑷；    ⑸；　　　⑹；  　  ⑺。

【巩固】你会应用计算性质吗？

    ⑴　　　 ⑵　　⑶　　　⑷

　　⑸　　 ⑹　　　⑺

【考点】乘除法混合         【难度】☆☆          【题型】解答

【解析】⑴原式=　　　    （2）原式=

⑶原式=　　　（4）原式=

⑸原式=　　　　　　　 （6）原式=

⑺原式=

【答案】⑴；　  ⑵；　　⑶；     ⑷；    ⑸；　　⑹； 　  ⑺。

课堂检测

1、(1997年“全国小学数学奥林匹克”竞赛试题)计算：

．

【考点】加补凑整           【难度】☆☆☆           【题型】解答 

【解析】（法一）：

原式 

（法二）：

原式

【答案】。

2、四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩(分数)如下：86，78，77，83，91，74，92，69，84，75 ．求这10名同学的总分． 

【考点】基准数           【难度】☆☆           【题型】解答

【解析】通常的做法是将这10个数直接相加，但这些数杂乱无章，直接相加既繁且易错．观察这些数不难发现，这些数虽然大小不等，但相差不大．我们可以选择一个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准，使计算简便化．这10个数与80的差如下：6，，，3，11，，12，，4，，其中“”号表示这个数比80小．于是得到：总和() ．

这道题所用的方法就叫做加法的基准数法．这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况．考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百且大小在中间部分的数．

【答案】。

3、下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 

【考点】乘法凑整之乘5的倍数           【难度】☆         【题型】解答　

【解析】不能被整除，但可以拆成，这样，可转化为再加上，这样就可速算了．

原式

【答案】650。

4、计算：        

【考点】乘法凑整之乘9、99、999           【难度】☆☆         【题型】填空　

【解析】原式

【答案】

5、          ． 

【考点】乘法凑整之乘11、111、101           【难度】☆☆          【题型】填空

【解析】原式．另，可由叠数的性质

        直接得出答案为．

【答案】    。

6、⑴；　　　　　 ⑵

⑶　　　　　⑷ 

【考点】乘除法混合         【难度】☆☆         【题型】解答

【解析】⑴ 利用“添括号”的性质， 

⑵ 利用“带着符号搬家”可以简便运算，

⑶ 利用“去括号”以及“带着符号搬家”可以简便运算，

⑷ 利用“添括号”的性质，

【答案】⑴；　   ⑵；　　　　⑶；   　  ⑷。 　 

家庭作业

1、（2＋4＋6＋……＋2006）－（1＋3＋5+7+……2005）＝              

【考点】分组凑整           【难度】☆☆          【题型】填空        

【解析】原式＝（2-1）+（4-3）+（6-5）+……+（2006-2005）

            ＝1+1+1+……+1

            ＝1×（2006÷2）

            ＝1003

【答案】。

2、某小组有20人，他们的数学成绩分别是：87、91、94、88、93、91、、87、92、86、90、92、88、90、91、86、、92、95、88，求这个组的平均成绩？ 

【考点】基准数           【难度】☆☆☆          【题型】解答

【解析】选90为基准数，平均成绩()

．

【答案】。

3、算式值的各位数字之和为        。

【考点】乘法凑整之乘9、99、999           【难度】☆☆         【题型】填空　

【解析】

所以它的各位数字之和为。

【答案】。

4、请你用简便方法计算出来． 

⑴     　  ⑵　　　　　⑶

【考点】除法凑整         【难度】☆☆          【题型】解答

【计算】我们知道在计算乘法时，都喜欢计算、、，其实在计算除法时，巧妙的运用这  些规律也能够使计算变得简单；还可以运用商不变的性质进行速算．

⑴

⑵

⑶

【答案】⑴；  　   ⑵；　　　　⑶。

5、巧算下列各题： 

⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ 

【考点】乘除法混合         【难度】☆☆           【题型】解答

【解析】⑴ 原式

⑵ 原式

⑶ 原式

⑷ 原式

【答案】⑴；　   ⑵；　　　　⑶；   　  ⑷。 　 

教学反馈

学生对本次课的评价