北京市西城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、单选题(共8题；共16分)

1．（2分）下列图案中，可以看成轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【解答】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．

故答案为：B．

【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。

2．（2分）下列运算中，结果正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；

B. ，不符合题意；    

C. ，不符合题意；    

D. ，符合题意；

故答案为：D

【分析】根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法及同底数幂的乘法逐项判断即可。

3．（2分）在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（　　) 

A．① B．② C．③ D．④

【答案】D

【解析】【解答】解：A、图①中BD不是AC边上的高，故A不符合题意；

B、图②中EA不是AC边上的高，故B不符合题意；

C、图③中BE不是AC边上的高，故C不符合题意；

D、图④中BD是AC边上的高，故D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据三角形高线的定义，逐项进行判断，即可得出答案.

4．（2分）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定ABC和ADC是全等三角形的依据是（　　）

A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS

【答案】A

【解析】【解答】在△ADC和△ABC中

∵

所以△ADC≌△ABC（SSS）

故答案为：A．

【分析】根据SSS证明三角形全等即可。

5．（2分）下列分式中，从左到右变形错误的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】【解答】A.，所以此选项变形不符合题意；

B.，所以此选项变形符合题意；

C.，所以此选项变形不符合题意；

D.，所以此选项变形不符合题意．

故答案为：B．

【分析】利用分式的基本性质及分式的加减法逐项判断即可。

6．（2分）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（　　）

A．10 B．8 C．7 D．4

【答案】C

【解析】【解答】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则

，即

又为整数，则整数m的最大值是7

故答案为：C

【分析】根据三角形的三边关系即可得出答案。

7．（2分）某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】【解答】解：由题意得：王老师花费20元买了本笔记本，

则可列方程为，

故答案为：C．

【分析】根据题意，设王老师花费20元买了本笔记本，即可列出方程。

8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（）．若ABC是等腰直角三角形，且，当时，点C的横坐标m的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，

点，

，

是等腰直角三角形，且，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

，

，

，

故答案为：B．

【分析】过点作轴于，由“AAS”证明，可得AO=BD=2，BO=CD=n=a，即可求解。

二、填空题(共8题；共9分)

9．（2分）计算：⑴＝　     　；⑵　     　．

【答案】；

【解析】【解答】（1）

（2）

故答案为：，．

【分析】（1）利用负指数幂的性质求解即可；

（2）利用0指数幂的的性质求解即可。

10．（1分）若分式  有意义，则  的取值范围是　     　.   

【答案】x≠2 

【解析】【解答】解：∵分式  有意义， 

∴x-2≠0，

解得x≠2，

故答案为：x≠2.

【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可.

11．（1分）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是　     　边形．

【答案】5

【解析】【解答】设这个多边形是n边形，由题意得，

(n-2) ×180°=540°,解之得，n=5.

【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式(n-2) ×180°及多边形的内角和等于540°即可建立方程，求解即可。

12．（1分）计算：　           　．

【答案】

【解析】【解答】解：=，

故答案为：．

【分析】利用单项式乘多项式的计算法则求解即可。

13．（1分）若是一个完全平方式，则k的值是　     　．

【答案】

【解析】【解答】解：是一个完全平方式，

即是一个完全平方式，

故答案为：

【分析】根据完全平方式的性质和特征求解即可。

14．（1分）如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为，小正方形面积为，则的结果是　     　（用含a，b的式子表示）．

【答案】4ab

【解析】【解答】∵为图2大正方形的面积；为小正方形面积，

∴为图1长方形面积

∴=2a×2b=4ab

故答案为：4ab

【分析】利用图形可得：为图1长方形面积，再计算即可。

15．（1分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与OAB全等，则满足条件的P点的坐标是　                    　．

【答案】或

【解析】【解答】解：如图，

①作关于的对称的点，连接

 B（4，2），则

②作关于（）对称的点，连接，

则

又

则点

故答案为：或

【分析】先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点坐标即可。

16．（1分）如图，中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为　     　．

【答案】

【解析】【解答】如图所示：

本题实际上相当于，以F为圆心，AF为半径作一个圆F，

当与CD相切或相交时，使AF=DF=半径，

据题意，当AF逐渐增大时，到与BC相切时，

即为AF最小值，即BF最大值，

此时，， ，

∴，

∵，， ，

∴，

∴，

故答案为：．

【分析】要使BF最大，则AF需要最小，而AF=FD，从而通过圆与BC相切来解决问题。

三、解答题(共10题；共91分)

17．（10分）分解因式：

（1）（5分）；

（2）（5分）．

【答案】（1）解：

=

=；

（2）解：

=

=．

【解析】【分析】（1）先提取公因式3，再利用完全平方公式因式分解即可；

（2）先提取公因式（m-2），再利用平方差公式因式分解即可。

18．（10分）   

（1）（5分）计算：）；

（2）（5分）先化简，再求值：，其中．

【答案】（1）解：原式，

；

（2）解：，

，

，

，

，

当时，原式．

【解析】【分析】（1）利用多项式乘多项式的计算法则求解即可；

（2）先利用分式的混合运算化简，再将a的值代入计算即可。

19．（5分）解方程：．

【答案】解：给方程两边乘以（x+1）（x－1），

得：，

，

，

解得：，

经检验，是原方程的解．

【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。

20．（10分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．

（1）（5分）求证：．

（2）（5分）若，，求∠F的度数．

【答案】（1）证明：

，

即

又，

（2）解：，，

【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A=∠D，再证明AC=BD，最后利用“SAS”证明即可；

（2）先利用三角形的内角和求出∠E，再根据全等三角形的性质可得=105°。

21．（10分）如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：

平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（－3，1），（－1，4），

（1）（5分）①请在图中画出平面直角坐标系xOy；

②点C的坐标是                  ▲                  ，点C关于x轴的对称点的坐标是                  ▲                  ；

（2）（5分）设l是过点C且平行于y轴的直线，

①点A关于直线l的对称点的坐标是  ▲  ；

②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置；

③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）．

【答案】（1）解：平面直角坐标系xOy如图所示

由图象可知C点坐标为（1，2）

点是 C点关于x轴对称得来的

则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数

即点坐标为（1，-2）．

（2）①（5，1）

②连接①所得B，B交直线x=1于点P

由两点之间线段最短可知为B时最小

又∵点是点A关于直线l的对称点

∴

∴为B时最小

故P即为所求点．

③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y）

有（m+x）÷2=1，y=n

即x=2-m，y=n

则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2

即对称点坐标为（2-m，n）．

【解析】【解答】（2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1

①A点坐标为（-3，1），

关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变

则为坐标为（5，1）

【分析】（1）①根据A、B两点坐标作出平面直角坐标系即可；

②根据轴对称的性质解决问题即可；

（2）①利用轴对称的性质解决问题；

②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求；

③利用中点坐标公式解决问题即可。

22．（10分）已知：如图1，线段a，b（）．

（1）（5分）求作：等腰ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．

作法：①作线段．

②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．

③在MN上取一点C，使．

④连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形．

用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；

（2）（5分）求作：等腰PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．

作法：①作直线l，在直线l上取一点G．

②过点G作直线l的垂线GH．

③在GH上取一点P，使PG＝  ▲  ．

④以P为圆心，以  ▲  的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．

⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．

请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

【答案】（1）解：如图，ABC就是所求作的等腰三角形；

（2）解：作法：①作直线l，在直线l上取一点G．

②过点G作直线l的垂线GH．

③在GH上取一点P，使PG＝a．

④以P为圆心，以b的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．

⑤连接PE，PF，则PEF就是所求作的等腰三角形．

如图，PEF就是所求作的等腰三角形．

故答案为：a，b．

【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）根据要求作出图形即可。

23．（7分）   

（1）（2分）如果，那么m的值是　     　 ，n的值是　     　  ；

（2）（5分）如果，

①求的值；

②求的值．

【答案】（1）-1；-6

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴a+b=-2，ab=；

①

=ab-2a-2b+4

=ab-2（a+b）+4

=-2×（-2）+4

=；

②

=

=

=

=

=13．

【解析】【解答】解：（1）∵，

∴，

∴，

∴m=-1，n=-6，

故答案为：-1， -6；

【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据待定系数法可得m、n的值；

（2）①先根据同（1）的方法求出a、b的值，再代入计算即可；

②利用分式的加减化简，再计算即可。

24．（15分）在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．

（1）（5分）如图1，当点E与点D重合时，求证：；

（2）（5分）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，

①依题意，补全图形；

②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．

（3）（5分）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．

【答案】（1）解：∵，

∴是等腰三角形，

∵，

∴，，

∵AD为ABC的中线，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（2）解：，证明如下：

如图2，在线段AB上取点G，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴；

（3）解：当时，如图3所示：

与（2）同理：在线段AB上取点H，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等腰三角形，AD为的中线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

当时，如图4所示：

在线段AB的延长线上取点N，使，

∵，

∴是等边三角形，

∴，

∵

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

∴，  

∴，

∴．

【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，证出AD=AF，则可得出结论；

（2）①由题意画出图形即可；

②在AC上截取AG=AE，连接EG，证明，再由全等三角形的性质可得AF=GC，则可得出结论；

（3）方法同（2）可得结论。

25．（2分）观察下列等式：

①；

②；

③；

④；

……

根据上述规律回答下列问题：

（1）（1分）第⑤个等式是　                  　；

（2）（1分）第n个等式是　                        　（用含n的式子表示，n为正整数）．

【答案】（1）

（2）

【解析】【解答】（1）第5个等式为：；

（2）第n个等式为：．

【分析】（1）通过观察前几项的算式和序号的关系可直接求出第5个等式的值；

（2）根据前几项的算式和序号的关系归纳总结可得规律。

26．（12分）对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为，定义为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为，将的面积记为，则称为ABC关于直线l的对称度．

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（－3，0），C（3，0）．

（1）（2分）过点M（m，0）作垂直于x轴的直线，

①当时，ABC关于直线的对称度的值是 　     　：

②若ABC关于直线的对称度为1，则m的值是　     　．

（2）（5分）过点N（0，n）作垂直于y轴的直线，求△ABC关于直线的对称度的最大值．

（3）（5分）点P（－4，0）满足，点Q的坐标为（t，0），若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．

【答案】（1）；0

（2）解：过点N（0，n）作垂直于y轴的直线，要使得△ABC关于直线的对称度的最大值，

则需要使得最大，如下图：

当时，取到最大，

根据，可得为的中位线，

，

，

△ABC关于直线的对称度的最大值为：；

（3）解：若存在直线，使得APQ关于该直线的对称度为1，

即为等腰三角形即可，

①当时，为等腰三角形，如下图：

，

；

②当时，为等腰三角形，如下图：

，

；

③当时，为等腰三角形，如下图：

设，则，

根据勾股定理：，

，

解得：，

（不是整数，舍去），

综上：满足题意的整数的值为：4或1．

【解析】【解答】解：（1）①当时，根据题意作图如下： 

，

为等腰直角三角形，

，

，

根据折叠的性质，

，

，

关于直线的对称度的值是：，

故答案是：；

②如图：

根据等腰三角形的性质，当时，有

，

ABC关于直线的对称度为1，

故答案是：0；

 【分析】（1）①根据对称度的定义，求出S0和S的值即可；

②当三角形ABC关于直线的对称度为1时，，此时m=0；

 （2）求出S0的最大值，可得结论；

 （3）由题意三角形APQ关于该直线的对称度为1，推出三角形APQ是等腰三角形，求出整数t的值即可。

试题分析部分

1、试卷总体分布分析