实验三 协整与误差修正模型

一、实验项目：协整与误差修正模型

二、实验目的

1、准确掌握单位根检验方程的形式和检验原理；

2、准确掌握单整、协整和误差修正模型的概念和形式；

3、学会用单位根检验方法对样本序列之间的短期、长期关系进行分析。

三、预备知识

（一）几种典型的非平稳随机过程

1、随机游走过程

这里ut是白噪声，满足；； 

随机游走序列的平稳性处理

xt是随机游走序列

Δxt是平稳时间序列。

结论：随机游走序列xt的一阶差分Δxt是平稳时间序列。

2、带漂移项的随机游走序列

其中，μ是一非0常数，称为漂移项。带漂移项的随机游走序列的一阶差分：

表明平均每步漂移的间隔是μ，是向上漂移还是向下漂移，取决于μ的符号是正还是负。

3、带趋势项的随机游走序列

其中，μ称为漂移（位移）项，βt称为趋势项。

（二）单位根检验

1、DF检验

考虑三个随机过程。

其中ut是白噪声，ρ是系数，μ是常数，βt是时间趋势项。对金融序列，绝大多数ρ>0。

对三个序列，若ρ<1，则xt是平稳的；若ρ=1，则xt是非平稳的；而若ρ>1，则xt是强非平稳的,是爆炸性的,没有意义的。因此，检验xt的平稳性，只要检验ρ是否严格小于1。

为了推导统计量的方便，在实际检验时，以上三个序列减去xt-1，得到：

其中δ=ρ-1。检验假设为

原假设（xt非平稳）；备择假设（xt平稳）

参数δ估计值的显著性检验的统计量不服从t分布，迪克—福勒(Dickey-Fuller)这两人于1979年给出了检验用的模拟临界值表，查附表2（DF的t检验临界值表），有了临界值表就可以进行DF检验。

DF检验是做左单端检验，检验规则是：

若DF<临界值，则拒绝H0，认为xt是平稳的；若DF>临界值，则接受H0，认为xt是非平稳的。

2、ADF检验（扩展DF检验）

DF检验适用于AR（1）过程。如果序列存在高阶滞后相关，就会破坏随机扰动项是白噪声假设，这时使用ADF检验含有高阶序列相关的序列有单位根检验。

ADF检验，除检验方程不同外，ADF检验的检验假设、检验规则等都与DF检验相同。

ADF检验用于序列AR（p）过程。检验方程为：

ADF检验中很重要的问题是滞后阶数p的选择，通常用AIC准则来确定

（三）单整、协整与误差修正模型

1、单整

设yt是非平稳序列，若yt必须经过d阶差分才变为平稳序列，则称原序列yt是d阶单整的时间序列，记为yt~I（d）。

D是单整的阶数，也是序列包含单位盆腔的个数。

2、协整

两个序列的协整概念

如果两个时间序列都是d阶单整的，即，，且这两个序列的线性组合是d-b（3、误差修正模型（ECM）

（1）回归模型向ECM过渡

在以下回归模型中

当两序列不是协整的，则模型可能是伪回归，模型意义不大；就算两序列协整，甚至长期均衡，也要考察偏离模型情况。所以考虑以下ECM

合并常数项：（k0），得到ECM

一般形式的ECM

（**）

两个变量的自回归分布滞后模型：

（*）(没有差分项)

（**）是误差修正模型，（*）是自回归分布滞后模型，两模型是等价的；误差修正模型常用于描述短期动态金融时间序列。

（2）误差修正模型的优点

1）效避免多重共线性

估计模型时，模型（*）包含多阶滞后项，变量之间往往产生多重共线性，从而影响估计精度，而一阶差分消除了模型可能存在的多重共线性。

2）经济解释

当Δx=0，Δy=0时，误差修正模型（**）就是长期均衡模型y=kx，因此误差修正模型（**）描述了变量向长期均衡状态调整的非均衡动态调整过程。

其中(y-kx)t-1表示上一期变量偏离均衡水平的误差，称为误差修正项。误差修正模型的意义：y短期变化由两项决定：一是y和x的短期变化；二是y偏离上一期的均衡程度，系数是λ。

3）当变量序列不平稳时，采用ECM可避免伪回归

在建模型时，除了进行差分避免多重共线性和伪回归外，还可用ECM方法。因为变量一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了伪回归。

（3）误差修正模型的建模

第一步：建立长期关系模型

用最小二乘法建立y关于x协整回归方程，并且检验其残差序列的平稳性。若残差是平稳的，说明这些变量之间存在相互协整关系，因此长期关系模型的变量选择是合理的，回归是有意义的。

即使y关于x不协整，建立y关于x回归模型的ECM也使模型效果得到改善。

第二步：建立短期动态关系，即建立误差修正模型

模型作用：分析解释变量的变动对被解释变量（的变动）的影响；分析上一期变量偏离均衡水平的误差（误差修正项）(y-kx)t-1对被解释变量（的变动）的影响。如果还要分析解释变量的更多滞后期，则可以相应地引入这些滞后变量，如模型

四、实验内容

对我国上证A股指数（SHA）、B股指数（SFB）1998年1月9日至2008年3月7日周收盘价数据，实验以下内容。

1、上证A股指数（SHA）、B股指数（SFB）单位根检验；

2、上证A股指数（SHA）、B股指数（SFB）协整检验；

3、建立上证B股指数（SFB）关于上证A股指数（SHA）的误差修正模型。

五、实验软件环景：Eviews软件。

六、实验步骤：

（一）创建Eviews工作文件（Workfile）

从Eviews主选单中选“File/New\ Workfile”，选择“irregular or undated”选项，输入“Start date:1 End date:500”。

（二）录入数据，并对序列进行初步分析

1、导入数据

Quick/Empty Group

在Ser01输入SHA数据，改变量名：点击Ser01全选第一列，在命令栏输入SHA；在Ser02输入SHB数据，改变量名：点击Ser02全选第一列，在命令栏输入SHB。将文件保存命名，注意存放地址。

2、序列初步分析

分别选定变量SHA，SHB，双击，View\\Graph\\Line，输出SHA，SHB的曲线：

图1  SHA周收盘价序列折线图

图2  SHB周收盘价序列折线图

从图1和图2可以看出，上证A、B股指数辕收盘价数据序列都是非平稳的，但两者具有大致相同的趋势和变化规律，说明两者可能存在协整关系。

（三）单位根检验

为了避免虚假回归，对两序列进行单位根检验。

1、SHA序列单位根检验

在SHA页面上，选View\\Correlogram\\Level

图3   SHA序列相关分析图

     从图3的SHA序列自相关系数（AC）看，SHA序列确实是非平稳的。（因为自相关系数缓慢地下降）

图4   SHA序列一次差分后相关分析图

从图4的SHA一次差分序列自相关系数（AC）看，k=1，2，3处，自相关系数显著不为0，反映出高阶的序列相关。

从图1和图2分析，序列是随机游走，没有漂移（位移）项和趋势项，所以选择模型，所以检验选择没有漂移（位移）项和趋势项的模型。从图4判断知，序列有高阶序列相关，所以选择ADF进行单位根检验。要选择ADF检验的的阶数p的问题，通过AIC准则确定，AIC值越小越好，从p=1开始。

由上面分析，选择模型进行单位检验（Unit Root Test）。假设；备择假设。

在工作文件窗口，选定变量SHA，双击它，在SHA页面上，点击View\\Unit Root Test\\ADF，表示已经进入扩展的DF检验。在Test for unit root in中，选择Level(对水平变量进行单位根检验，检验系数对应的项SHAt-1)（后面的1st和2st表示检验系数队赢得项为一阶差分项和二阶差分项）\None(不含漂移项和时间趋势项)\，并且在lag length\specifi中取1（表示差分滞后项数取1，即p=1）

图5   SHA序列单位根检验（p=1）

此时（p=1），AIC的值为11.70607。为了最终确定p的取值，击破分别p=2，3，4，…直到AIC值上升为止。

SHA序列单位根检验（p=2）

SHA序列单位根检验（p=3）

将AIC的值汇总如下表1

表1                  AIC汇总表

从图6得到检验模型的结果

图6中已有ADF检验统计量观察值为t=0.961082，以及概率1%、5%和10%对应的临界值（不用查附表2）分别为：-2.569633，-1.941463和-1.616270。比较得知，t=0.961082比所有临界值都大。对应的概率0.9110也比1%、5%和10%都大。所以这次ADF检验接受SHA序列非平稳的原假设。（表明用AR（1）或者AR（p)模型生成的序列不一定是平稳的，模型只是给出序列生成的方式，是否平稳还要从检验统计量和伴随概率判断）

对SHA序列一次差分进行ADF检验

与上不同的是

在Test for unit root in中，选择1st difference(对SHA序列的一次差分进行单位根检验)，其它都相同。经过比较，AIC的最小值出现在p=2，所以在lag length\specifi中取2（表示差分滞后项数取2，即p=2）。

从图7看到，SHA一次差分序列的ADF检验统计量观察值为t=-10.12007，比概率1%、5%和10%对应的三个临界值都小。对应的概率0.0000也比1%、5%和10%都小。所以这次ADF检验拒绝SHA一次差分序列非平稳的原假设。即认为SHA一次差分序列是平稳的。

所以ΔSHA~I（0），因此SHA~I（1）。

同理检验得到ΔSHB~I（0），因此SHB~I（1）。

（四）协整检验

用OLS方法建立SHB关于SHA的回归方程

图8   SHB关于SHA的线性回归

t=（-5.415480）（42.72059）

p=（0.0000） （0.0000）

R2=0.785627    DW=0.034183

检验残差是否平稳，先生成残差变量：GENR e=resid

在工作文件窗口，选定变量e，双击e，在e页面上，点击View\\Unit Root Test\\ADF，选择Level(检验的模型为被检验变量是e的差分，检验系数对应的项是et-1)\\None(不含常数项，不含时间项)。因为AIC最小值出现在p=2，所以在lag length\specifi中取2（表示差分滞后项数取2，即p=2）。得到结果

从图9看到，SHB关于SHA协整回归残差SHA的ADF检验统计量观察值为t=-1.988142，比概率5%、10%对应的两个临界值都小，对应的概率 0.0449也比5%、10%小。所以在5%、10%的概率下，ADF检验得到拒绝残差序列非平稳的原假设。即认残差序列是平稳的，即残差e~I（0）。

所以在5%的概率水平下，SHB与SHA序列存在协整关系，其协整方程为：

t=（-5.415480）（42.72059）

p=（0.0000） （0.0000）

R2=0.785627    DW=0.034183

但是如果显著性水平取1%，则残差序列是非平稳的，因此在这一条件下，SHB与SHA序列不存在协整关系。

（五）建立误差修正模型（ECM）

由上面得知，在5%的显著性水平下，SHB与SHA序列存在协整关系。建立误差修正模型可分析向长期均衡状态调整的非均衡动态调整过程。

原来协整模型形式如下

（*）

修正误差模型

（由*变换得到）

（**）

其中

误差修正模型（**）只是模型（*）的适当变形，这两模型是等价的。与一般的修正误差模型比较

要建立的修正误差模型的简单形式为

生成所需要的序列

修正误差模型需要的变量：

解释变量：εt-1，ΔSHAt解释变量

被解释变量：ΔSHBt

在工作文件窗口的命令区，生成残差序列，以及ΔSHAt，ΔSHBt序列：

GENR E=RESID

GENR DSHA=SHA-SHA(-1)

GENR DSHB=SHB-SHB(-1)

（3）建立修正误差模型

最小二乘估计的命令

OLS：DSHB  C  DSHA  E(-1)

得到回归结果为

图10  修正误差模型输出结果（包含常数）

从图10的结果得到，常数不显著，所以省去常数项，重新定义方程。

OLS：DSHB DSHA E(-1)

图11  修正误差模型输出结果（不包含常数）

由图11得到所要建ECM为：

（**）

t=（0.003569）   （0.008135）

p=（0.0000）     （0.0210）

R2=0.315254     DW=1.721283

（六）误差修正模型经济解释或应用

由上面协整检验，已经得到SHB与SHA之间的协整方程（长期均衡方程，或长期均衡状态）是：

（*）

由（**）知，SHB的短期波动（ΔSHB）由两部分构成：

1、一部分是SHA的短期波动（ΔSHA）影响，系数是0.053238，表明SHA的短期波动对SHB有正向影响（正相关）。SHA每增加1单位，使SHB增加0.053288单位。

2、另一部分是偏离长期均衡的影响（εt-1），系数（误差修正系数）是-0.018842，当每周SHB短期波动偏离长期均衡时，将以-0.018842的调整力度将非均衡状态拉回到均衡状态。