中考数学提升讲义-共顶点旋转模型及其延伸

一、题源分析

（人教版八年级上册第55页）如图， ,求证 

（人教版九年级上册第63页）如图，都是等边三角形，BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

二、共顶点旋转模型简要概述

共顶点模型，是指两个等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。例如上题中的三角形ADC和三角形ABE。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：

（1）寻找公共的顶点

（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边

（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

典例分析1：

（2014年河南）（1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE

填空：（1）∠AEB的度数为            ；

     （2）线段AD、BE之间的数量关系是        。

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。

思路点拨：

（1）第一问，考虑到两个等边三角形有一个公共顶点C，在点C处可以找到两组相等的边，列出来即可表示为：，观察边的形式，就可以得到全等的两个三角形是：.

（2）类比第一问，可以得到，故而全等的三角形为，之后再做计算即可。

典例分析2：

（2015年安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．    

（1）求证：AD＝BC；            （2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．

思路点拨：

（1）第一问，结合共顶点旋转全等模型即可

（2）类比第一问，全等模型的延伸，相似模型。根据，类比全等证明相似。

（3）结合前两问的相似即可得到即为相似比，亦即求解的值即可。

典例分析3：

（2011年广州中考）如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：。

思路点拨：

（1）第一问，共顶点旋转模型

（2）根据第一问的全等证明即可构造旋转模型求解。

三、共顶点旋转模型的应用

1．半角模型：所谓半角模型，是指在从角的顶点向角内部引出两条直线，这两条直线形成的夹角恰好等于原角的一半大小。

典例分析1：（2014年四川绵阳）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为　 　．

思路点拨：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90°即可。

典例分析2：（2016•南岗区模拟）已知△ABC是等边三角形，点D在△ABC外，连接BD、CD，且∠BDC=120°，BD=DC，点M，N分别在边AB，AC上，连接DM、DN、MN，∠MDN=60°，探究：△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

（1）如图1，当DM=DN时，=　　　　　　；

（2）如图2，当DM≠DN时，猜想=　　　　　　；并加以证明．

思路点拨：典型的半角模型，将三角形DCN绕点D逆时针旋转120°即可。

总结：

（1）半角模型的基本形式：大角包小角，小角得一半

（2）半角模型的解题方法：将被两条直线分开的两个角中任意一个旋转全角大小即可。

延伸例题：（2016春•黄岛区期中）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．

【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．

【类比引申】

如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　　　　　　关系时，仍有EF=BE+FD．

【探究应用】

如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=（40﹣40）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长为　　　　　　米．

2．K字模型：所谓K字模型，与半角模型类似，实则是指构成的图形类似于“K”字。

题源：人教版课本新课标八年级下册第30页，勾股定理的证明。

典例分析1：（2014年四川南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）

A．（﹣，1）    B．    （﹣1，）    C．    （，1）    D．    （﹣，﹣1）

思路点拨：过点C作x轴的垂线即可。

典例分析2：（2015山东省德州市）

（1）问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.

（2）探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.

（3）应用    

请利用（1）（2）获得的经验解决问题：

如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.    

总结：

K字形模型解题基本思路是：利用角的和相等的原理，证明K的两边的三角形相似或全等。在不相似或者全等时，构造三角形使两个三角形全等相似。

例如：（2016•洛阳模拟）（1）【问题发现】小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足∠ADE=60°，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线于点E，试探究AD与DE的数量关系．小明发现，过点D作DF∥AC，交AC于点F，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD与DE的数量关系：　　　　　　；

（2）【类比探究】如图2，当点D是线段BC上（除B，C外）任意一点时（其它条件不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

（3）【拓展应用】当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，请直接写出△ABC与△ADE的面积之比．