三角恒等变换高考试题精选(二)

一．选择题（共15小题）

1．已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

2．若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

3．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）

A．    B．    C．1    D．

4．若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

5．若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）

A．    B．    C．    D．

6．若tanα=2tan，则=（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

7．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）

A．3α﹣β=    B．3α+β=    C．2α﹣β=    D．2α+β=

8．已知，则tan2α=（　　）

A．    B．    C．    D．

9．已知，则等于（　　）

A．    B．    C．    D．

10．已知sin2α=，则cos2（）=（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

11．若，则cos2α+2sin2α=（　　）

A．    B．1    C．    D．0

12．若，则=（　　）

A．1    B．    C．    D．

13．已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　）

A．    B．    C．    D．

14．设，且，则（　　）

A．    B．    C．    D．

15．已知，则=（　　）

A．    B．    C．    D．

二．填空题（共8小题）

16．设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　   　．

17．已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　   　．

18．已知，则=　   　．

19．若，则=　   　．

20．已知tanα=2，则=　   　．

21．化简：﹣=　   　．

22．若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=　   　，tan2α=　   　．

23．已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是　   　．

三．解答题（共7小题）

24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．

（Ⅰ）求△ABC的面积；

（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．

26．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

27．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．

（Ⅰ）证明：tan=；

（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

28．已知 tanα=2．

（1）求tan（α+）的值；

（2）求 的值．

29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．

30．已知α∈（，π），sinα=．

（1）求sin（+α）的值；

（2）求cos（﹣2α）的值．

三角恒等变换高考试题精选（二）

参与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．（2017•新课标Ⅲ）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

【解答】解：∵sinα﹣cosα=，

∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=，

∴sin2α=﹣，

故选：A．

2．（2016•新课标Ⅱ）若cos（﹣α）=，则sin2α=（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，

∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，

法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，

∴（1+sin2α）=，

∴sin2α=2×﹣1=﹣，

故选：D．

3．（2016•新课标Ⅲ）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（　　）

A．    B．    C．1    D．

【解答】解：∵tanα=，

∴cos2α+2sin2α====．

故选：A．

4．（2016•新课标Ⅲ）若tanθ=﹣，则cos2θ=（　　）

A．﹣    B．﹣    C．    D．

【解答】解：由tanθ=﹣，得cos2θ=cos2θ﹣sin2θ

==．

故选：D．

5．（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=tan[（α+β）﹣α]===，

故选：A．

6．（2015•重庆）若tanα=2tan，则=（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【解答】解：tanα=2tan，则==

===========3．

故答案为：3．

7．（2014•新课标Ⅰ）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（　　）

A．3α﹣β=    B．3α+β=    C．2α﹣β=    D．2α+β=

【解答】解：由tanα=，得：

，

即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，

sin（α﹣β）=cosα=sin（），

∵α∈（0，），β∈（0，），

∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．

故选：C．

8．（2013•浙江）已知，则tan2α=（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵，又sin2α+cos2α=1，

联立解得，或

故tanα==，或tanα=3，

代入可得tan2α===﹣，

或tan2α===

故选C

9．（2017•自贡模拟）已知，则等于（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵，∴sin（α+）==，

而 cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin=，

∴sinα=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=，

则=sinαcos+cosαsin+sinα=sinα+cosα=﹣，

故选：A．

10．（2017•泉州模拟）已知sin2α=，则cos2（）=（　　）

A．﹣    B．    C．﹣    D．

【解答】解：==，

由于：，

所以：=，

故选：D．

11．（2017•平罗县校级一模）若，则cos2α+2sin2α=（　　）

A．    B．1    C．    D．0

【解答】解：由，得

=﹣3，

解得tanα=2，

所以cos2α+2sin2α====．

故选A．

12．（2017•龙凤区校级模拟）若，则=（　　）

A．1    B．    C．    D．

【解答】解：，则===．

故选：B．

13．（2017•潮州二模）已知sin（α）=，则cos（α+）=（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，

故选：A．

14．（2017•龙凤区校级模拟）设，且，则（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵，∴，

∴，

∵，，

∴，即，

故选：B．

15．（2017•泸州模拟）已知，则=（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由，

可得：cos（）=sin[﹣（）]=．

那么：=cos2（）=2cos2（）﹣1=2×=．

故选：B．

二．填空题（共8小题）

16．（2017•上海）设a1、a2∈R，且+=2，则|10π﹣α1﹣α2|的最小值等于　　．

【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，

要使+=2，

∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．

则：，k1∈Z．

，即，k2∈Z．

那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．

∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．

故答案为：．

17．（2017•新课标Ⅰ）已知α∈（0，），tanα=2，则cos（α﹣）=　　．

【解答】解：∵α∈（0，），tanα=2，

∴sinα=2cosα，

∵sin2α+cos2α=1，

解得sinα=，cosα=，

∴cos（α﹣）=cosαcos+sinαsin=×+×=，

故答案为：

18．（2017•黄石港区校级模拟）已知，则=　　．

【解答】解：∵，

∴

=

=+

=

=

故答案为：

19．（2017•张家界一模）若，则=　　．

【解答】解：，则=cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=，

故答案为：．

20．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=　1　．

【解答】解：tanα=2，则===1．

故答案为：1．

21．（2017•厦门一模）化简：﹣=　4　．

【解答】解：由﹣==．

故答案为4．

22．（2017•永康市模拟）若sin（α+）=3sin（﹣α），则cos2α=　﹣　，tan2α=　﹣　．

【解答】解：∵sin（α+）=3sin（﹣α），∴sinα+cosα=3cosα，∴tanα=，

则cos2α====﹣，

∴tan2α===﹣，

故答案为：﹣；．

23．（2017•重庆模拟）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则的值是　　．

【解答】解：由sinθ+cosθ=，sin2θ+cos2θ=1

解得：或，

∵θ∈（0，π），

∴，

则==．

故答案为：．

三．解答题（共7小题）

24．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，

故由sinB=，可得cosB=．

由已知及余弦定理，有=13，

∴b=．

由正弦定理，得sinA=．

∴b=，sinA=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，

cos2A=1﹣2sin2A=﹣．

故sin（2A+）==．

25．（2017•嘉定区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB．

（Ⅰ）求△ABC的面积；

（Ⅱ）求sin（2A﹣B）．

【解答】解：

解法一：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．

又∵a﹣b=2，

∴a=4，b=2． 

cosB===． 

sinB===． 

∴S△ABC=acsinB==． 

（II）cosA===．

sinA===．  

sin2A=2sinAcosA=2×．

cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣． 

∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB

==． 

解法二：（I）由sinA=2sinB⇒a=2b．

又∵a﹣b=2，

∴a=4，b=2． 

又c=4，可知△ABC为等腰三角形． 

作BD⊥AC于D，则BD===． 

∴S△ABC==．

（II）cosB===． 

sinB===． 

由（I）知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B． 

∴sin（2A﹣B）=sin（π﹣2B）=sin2B

=2sinBcosB  

=2××=．

26．（2016•山东）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理，；

∴，带入（1）得：；

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；

又a，b＞0；

∴；

∴由余弦定理，=；

∴cosC的最小值为．

27．（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．

（Ⅰ）证明：tan=；

（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．

【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．

（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，

在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，

所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，

则：cosA===．

于是sinA==，

连结AC，同理可得：cosB===，

于是sinB==．

所以tan+tan+tan+tan===．

28．（2015•广东）已知 tanα=2．

（1）求tan（α+）的值；

（2）求 的值．

【解答】解：tanα=2．

（1）tan（α+）===﹣3；

（2）====1．

29．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（+A）=2．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若B=，a=3，求△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）由tan（+A）=2．可得tanA=，

所以==．

（Ⅱ）由tanA=，A∈（0，π），可得sinA=，cosA=．

又由a=3，B=及正弦定理，可得b=3，

由sinC=sin（A+B）=sin（A+），可得sinC=．

设△ABC的面积为S，则S=absinC=9．

30．（2014•江苏）已知α∈（，π），sinα=．

（1）求sin（+α）的值；

（2）求cos（﹣2α）的值．

【解答】解：α∈（，π），sinα=．∴cosα=﹣=

（1）sin（+α）=sincosα+cossinα==﹣；

∴sin（+α）的值为：﹣．

（2）∵α∈（，π），sinα=．∴cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=﹣

∴cos（﹣2α）=coscos2α+sinsin2α==﹣．

cos（﹣2α）的值为：﹣．