2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级(上)期末数学试卷

1．（3分）估计√3的值约为（）

A．2.73B．1.73C．﹣1.73D．﹣2.73

2．（3分）已知点A（4，5），则点A关于x轴对称的点A′的坐标是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（4，﹣5）3．（3分）如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（）

A．10米B．16米C．15米D．14米

4．（3分）下列语句正确的是（）

A．4是16的算术平方根，即±√16=4

B．﹣3是27的立方根

C．√的立方根是2

D．1的立方根是﹣1

5．（3分）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝5，b＝12，c＝13

C．∠A＝∠B+∠C D．a2+b2＝c2

6．（3分）如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD，CD＝7，长方形ABCD 的周长为（）

A．32B．33C．34D．35

7．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如表：

则成绩发挥最稳定的是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

8．（3分）如图，AD 是△ABC 的高，BE 是△ABC 的角平分线，BE ，AD 相交于点F ，已知

∠BAD ＝42°，则∠BFD ＝（ ）

A ．45°

B ．54°

C ．56°

D ．66°

9．（3分）已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx +b ＞0

的解集是（ ）

A ．x ＜﹣2

B ．x ＞﹣2

C ．x ＜﹣1

D ．x ＞﹣1

10．（3分）一次函数y ＝mx +n 与正比例函数y ＝mnx （m 、n 为常数，且m ≠0），它们在同

一坐标系中的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．（4分）当x 时，二次根式√6−2x 有意义．

12．（4分）如果{x =3y =2

是方程5x +by ＝35的解，则b ＝ ． 13．（4分）已知：如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是 ．

14．（4分）如图，将长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，若

AB ＝5，AD ＝13，则EF ＝ ．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15．（10分）计算：

（1）(√3−π)0+（﹣1）2019−√273

−√24； （2）3√5（2−√5）﹣（√5−√3）（√5+√3）．

16．（10分）解下列方程组和不等式组．

（1）方程组：{3x −4y =−17x −3y =−4

； （2）不等式组：{2x−13−5x+12≤15x −1＜3(x +1)

．

17．（8分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）．

（1）请画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；

（2）请画出△ABC 关于原点对称的△A 2B 2C 2；

（3）P 为x 轴上一动点，当AP +CP 有最小值时，求这个最小值．

18．（8分）如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，∠C ＝70°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥

AB 于点E ．

（1）求∠EDA 的度数；

（2）若AB ＝10，AC ＝8，DE ＝3，求S △ABC ．

19．（8分）某商场花9万元从厂家购买A 型和B 型两种型号的电视机共50台，其中A 型

电视机的进价为每台1500元，B 型电视机的进价为每台2500元．

（1）求该商场购买A 型和B 型电视机各多少台？

（2）若商场A 型电视机的售价为每台1700元，B 型电视机的售价为每台2800元，不考虑其他因素，那么销售完这50台电视机该商场可获利多少元？

20．（10分）如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2

与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．

（1）求P 点的坐标；

（2）求△APB 的面积；

（3）x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

21．（4分）如果一组数据﹣3，﹣2，0，1，x ，6，9，12的平均数为3，那么这组数据的中

位数是 ．

22．（4分）对于整数a ，b ，c ，d ，符号|a b c

d |表示运算ad ﹣bc ，已知1＜|1b d 4

|＜3，则bd 的值是 ．

23．（4分）若方程组{y =kx +3y =(3k +1)x +2

无解，则y ＝kx ﹣2图象不经过第 象限．

24．（4分）如图，以AB 为斜边的Rt △ABC 的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN ，

正方形BCPQ ，正方形ACEF ，且边EF 恰好经过点N ．若S 3＝S 4＝5，则S 1+S 5＝ ．（注：图中所示面积S 表示相应封闭区域的面积，如S 3表示△ABC 的面积）

25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B （﹣1，3），点A （﹣5，0），点P 是直

线y ＝x ﹣2上一点，且∠ABP ＝45°，则点P 的坐标为 ．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26．（8分）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣

土清运完毕，每天至少需要清运渣土12720m 3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共80辆．已知每辆大车每天运送渣土200m 3，每辆小车每天运送渣土120m 3，大、小车每天每辆租车费用分别为1200元，900元，且要求每天租车的总费用不超过85300元．

（1）施工方共有多少种租车方案？

（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？

27．（10分）已知：△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．

（1）如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，过B 作BE ⊥AD 于E ，交AC 于点F ．求证：AD ＝BF ；

（2）如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；

（3）如图3，点D 在CB 延长线上，AE ＝AD 且AE ⊥AD ，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若AC ＝3MC ，请直接写出DB BC 的值．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A （√32，32

）和B （2√3，0），且与y 轴交于点D ，直线OC 与AB 交于点C ，且点C 的横坐标为√3．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）连接OA ，试判断△AOD 的形状；

（3）动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．

2019-2020学年四川省成都市青羊区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择理（本大鞋共10个小题，每小3分，共30分）

1．（3分）估计√3的值约为（）

A．2.73B．1.73C．﹣1.73D．﹣2.73

【考点】估算无理数的大小．

【答案】B

【分析】先求出√3的范围，即可求出答案．

【解答】解：∵1＜√3＜2，

∴√3的值约为1.73，

故选：B．

2．（3分）已知点A（4，5），则点A关于x轴对称的点A′的坐标是（）A．（﹣5，﹣4）B．（﹣4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（4，﹣5）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【答案】D

【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：点A（4，5），则点A关于x轴对称的点A′的坐标是（4，﹣5），

故选：D．

3．（3分）如图，一棵大树在离地面6米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C的8米处，则大树断裂之前的高度为（）

A．10米B．16米C．15米D．14米

【考点】勾股定理的应用．

【答案】B

【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【解答】解：由题意得BC＝6，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB=√BC2+AC2=√62+82=10米．所以大树的高度是10+6＝16米．

故选：B．

4．（3分）下列语句正确的是（）

A．4是16的算术平方根，即±√16=4

B．﹣3是27的立方根

C．√的立方根是2

D．1的立方根是﹣1

【考点】平方根；算术平方根；立方根．

【答案】C

【分析】根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和算术平方根的概念解答即可．【解答】解：A、4是16的算术平方根，即√16=4，故A错误；

B、﹣3是﹣27的立方根，故B错误；

C、√=8，8的立方根是2，故C正确；

D、1的立方根是1，故D错误．

故选：C．

5．（3分）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．a＝5，b＝12，c＝13

C．∠A＝∠B+∠C D．a2+b2＝c2

【考点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理．

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°

∴∠C＝5×15°＝75°，

∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；

B、∵52+122＝132，

∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；

C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C

∴∠A＝90°，

∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D 、a 2

+b 2

＝c 2

，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A ．

6．（3分）如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABCD ，CD ＝7，长方形ABCD 的周长为（ ）

A ．32

B ．33

C ．34

D ．35

【考点】二元一次方程组的应用． 【答案】C

【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长×2＝小长方形的宽×5；小长方形的长+宽＝7，据此可以列出方程组求解． 【解答】解：设小长方形的长为x ，宽为y ． 由图可知{5y =2x x +y =7

解得{x =5y =2

．

所以长方形ABCD 的长为10，宽为7， ∴长方形ABCD 的周长为2×（10+7）＝34， 故选：C ．

7．（3分）甲、乙、丙、丁四位选手各进行了10次射击，射击成绩的平均数和方差如表：

则成绩发挥最稳定的是（ ） A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【考点】算术平均数；方差． 【答案】A

【分析】根据方差的意义比较出甲、乙、丙、丁的大小，即可得出答案．

∴成绩发挥最稳定的是甲，

故选：A．

8．（3分）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°，则∠BFD＝（）

A．45°B．54°C．56°D．66°

【考点】三角形内角和定理．

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ABF，根据三角形的外角性质求出即可．

【解答】解：∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB＝90°，

∵∠BAD＝42°，

∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝48°，

∵BE是△ABC的角平分线，

∴∠ABF=1

2∠ABD＝24°，

∴∠BFD＝∠BAD+∠ABF＝42°+24°＝66°，

故选：D．

9．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（）

A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜﹣1D．x＞﹣1

【考点】一次函数与一元一次不等式．

【答案】A

【分析】写出一次函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可．

【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），∴不等式kx+b＞0的解集为x＜﹣2．

故选：A．

10．（3分）一次函数y＝mx+n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，且m≠0），它们在同一坐标系中的大致图象是（）

A．B．

C．D．

【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数的性质；正比例函数的性质．

【答案】A

【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．

【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项正确；

B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，

两结论不一致，故本选项不正确；

C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，

两结论不一致，故本选项不正确；

D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，

两结论不一致，故本选项不正确．

故选：A．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）当x≤3时，二次根式√6−2x有意义．

【考点】二次根式有意义的条件．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．

【解答】解：由题意得，6﹣2x ≥0， 解得，x ≤3， 故答案为：≤3．

12．（4分）如果{x =3

y =2是方程5x +by ＝35的解，则b ＝ 10 ．

【考点】二元一次方程的解．

【答案】见试题解答内容

【分析】由方程的解与方程的关系，直接将给出的解代入二元一次方程即可求出b ． 【解答】解：∵{

x =3

y =2

是方程5x +by ＝35， ∴3×5+2b ＝35， ∴b ＝10， 故答案为10．

13．（4分）已知：如图，∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是 125° ．

【考点】平行线的判定与性质．

【答案】见试题解答内容

【分析】由∠1＝∠2及对顶角相等可得出∠1＝∠5，利用“同位角相等，两直线平行”可得出l 1∥l 2，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠6的度数，再利用对顶角相等可得出∠4的度数．

【解答】解：给各角标上序号，如图所示． ∵∠1＝∠2，∠2＝∠5， ∴∠1＝∠5， ∴l 1∥l 2，

∴∠3+∠6＝180°． ∵∠3＝55°，

∴∠6＝180°﹣55°＝125°， ∴∠4＝∠6＝125°． 故答案为：125°．

14．（4分）如图，将长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，若

AB ＝5，AD ＝13，则EF ＝ 135 ．

【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．

【答案】见试题解答内容

【分析】由翻折的性质得到AF ＝AD ＝13，在RT △ABF 中利用勾股定理求出BF 的长，进而求出CF 的长，再根据勾股定理可求EC 的长．

【解答】解：∵四边形ABCD 是长方形，

∴∠B ＝90°，

∵△AEF 是由△ADE 翻折，

∴AD ＝AF ＝13，DE ＝EF ，

在Rt △ABF 中，AF ＝13，AB ＝5，

∴BF =√AF 2−AB 2=√169−25=12，

∴CF ＝BC ﹣BF ＝13﹣12＝1．

∵EF 2＝EC 2+CF 2，

∴EF 2＝（5﹣EF ）2+1，

∴EF =135

， 故答案为：135．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分）

15．（10分）计算：

（1）(√3−π)0+（﹣1）2019−√273

−√24； （2）3√5（2−√5）﹣（√5−√3）（√5+√3）．

【考点】实数的运算；平方差公式；零指数幂．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）原式利用零指数幂法则，乘方的意义，以及平方根、立方根定义计算即可求出值；

（2）原式利用单项式乘以多项式法则，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．

【解答】解：（1）原式＝1﹣1﹣3﹣2√6

＝﹣3﹣2√6；

（2）原式＝6√5−15﹣（5﹣3）

＝6√5−15﹣2

＝6√5−17．

16．（10分）解下列方程组和不等式组．

（1）方程组：{3x −4y =−17x −3y =−4

； （2）不等式组：{2x−13−5x+12≤15x −1＜3(x +1)

．

【考点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）①﹣②×3得出5y ＝﹣5，求出y ，把y ＝﹣1代入①求出x 即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．

【解答】解：（1）{3x −4y =−17①x −3y =−4②

①﹣②×3得：5y ＝﹣5，

解得：y ＝﹣1，

把y ＝﹣1代入②得：x +3＝﹣4，

解得：x ＝﹣7，

所以方程组的解为：{x =−7y =−1

；

（2）{2x−13−5x+12≤1①5x −1＜3(x +1)②

解不等式①得：x ≥﹣1，

解不等式②得：x ＜2，

∴不等式组的解集，﹣1≤x ＜2．

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）P为x轴上一动点，当AP+CP有最小值时，求这个最小值．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；

（3）直接利用轴对称求最短路线得出P点位置，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；

（3）如图所示：P点即为所求，

当AP+CP有最小值时，这个最小值为：√22+52=√29．

18．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）求∠EDA的度数；

（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

【考点】角平分线的性质．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据角平分线的性质解答即可；

（2）根据三角形的面积公式解答即可．

【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，

∴∠BAC＝60°

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=1

2

∠BAC=30°

∵DE⊥AB，

∴∠DEA＝90°

∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°

（2）过点D作DF⊥AC于点F．

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3

又AB＝10，AC＝8，

∴S△ABC=1

2

×10×3+12×8×3=27．

19．（8分）某商场花9万元从厂家购买A型和B型两种型号的电视机共50台，其中A型电视机的进价为每台1500元，B型电视机的进价为每台2500元．

（1）求该商场购买A 型和B 型电视机各多少台？

（2）若商场A 型电视机的售价为每台1700元，B 型电视机的售价为每台2800元，不考虑其他因素，那么销售完这50台电视机该商场可获利多少元？

【考点】二元一次方程组的应用．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据A 型、B 型两种型号的电视机共50台，共用9万元列出方程组解答即可；

（2）算出各自每台的利润乘台数得出各自的利润，再相加即可．

【解答】解：（1）设该商场购买A 型电视机x 台，B 型电视机y 台，

由题意得

{x +y =501500x +2500y =90000

， 解得：{x =35y =15

答：该商场购买A 型电视机35台，B 型电视机15台．

（2）35×（1700﹣1500）+15×（2800﹣2500）

＝7000+4500

＝11500（元）

答：销售完这50台电视机该商场可获利11500元．

20．（10分）如图，已知直线l 1：y 1＝2x +1与坐标轴交于A 、C 两点，直线l 2：y 2＝﹣x ﹣2

与坐标轴交于B 、D 两点，两直线的交点为P 点．

（1）求P 点的坐标；

（2）求△APB 的面积；

（3）x 轴上存在点T ，使得S △ATP ＝S △APB ，求出此时点T 的坐标．

【考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）解析式联立构成方程组，该方程组的解就是交点坐标；

（2）利用三角形的面积公式解答；

（3）求得C 的坐标，因为S △ATP ＝S △APB ，S △ATP ＝S △ATC +S △PTC ＝|x +12|，所以|x +12|=32，解得即可．

【解答】解：（1）由{y =2x +1y =−x −2

，解得{x =−1y =−1， 所以P （﹣1，﹣1）；

（2）令x ＝0，得y 1＝1，y 2＝﹣2

∴A （0，1），B （0，﹣2），

则 S △APB =

12×（1+2）×1=32；

（3）在直线l 1：y 1＝2x +1中，令y ＝0，解得x =−12，

∴C （−12，0），

设T （x ，0），

∴CT ＝|x +12|，

∵S △ATP ＝S △APB ，S △ATP ＝S △ATC +S △PTC =12•|x +12|•（1+1）＝|x +12|， ∴|x +12|=32，

解得x ＝1或﹣2，

∴T （1，0）或（﹣2，0）．

四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

21．（4分）如果一组数据﹣3，﹣2，0，1，x ，6，9，12的平均数为3，那么这组数据的中

位数是 1 ．

【考点】算术平均数；中位数．

【答案】见试题解答内容

【分析】本题可结合平均数的定义先算出x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．

【解答】解：数据﹣3，﹣2，0，1，x ，6，9，12的平均数为3，

即有18（﹣3﹣2+0+1+x +6+9+12）＝3，求得x ＝1． 将这组数据从小到大重新排列后为﹣3，﹣2，0，1，1，6，9，12；

这组数据的中位数是

1+12=1． 故填1．

22．（4分）对于整数a ，b ，c ，d ，符号|a b c

d |表示运算ad ﹣bc ，已知1＜|1b d 4

|＜3，则bd 的值是 2 ．

【考点】解一元一次不等式组． 【答案】见试题解答内容

【分析】根据题中已知条件得出关于bd 的不等式，直接进行解答即可．

【解答】解：已知1＜|

1b d 4|＜3，即1＜4﹣bd ＜3 所以{4−bd ＞14−bd ＜3

解得1＜bd ＜3因为b ，d 都是整数，则bd 一定也是整数，因而bd ＝2．

23．（4分）若方程组{y =kx +3y =(3k +1)x +2

无解，则y ＝kx ﹣2图象不经过第 一 象限． 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程（组）．

【答案】见试题解答内容

【分析】根据两直线平行没有公共点得到k ＝3k +1，解得k =−12，则一次函数y ＝kx ﹣2

为y =−12x ﹣2，然后根据一次函数的性质解决问题．

【解答】解：∵方程组{y =kx +3y =(3k +1)x +2

无解， ∴k ＝3k +1，解得k =−12，

∴一次函数y ＝kx ﹣2为y =−12x ﹣2，

一次函数y =−12x ﹣2经过第二、三、四象限，不经过第一象限．

故答案为一．

24．（4分）如图，以AB 为斜边的Rt △ABC 的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN ，

正方形BCPQ ，正方形ACEF ，且边EF 恰好经过点N ．若S 3＝S 4＝5，则S 1+S 5＝ 5 ．（注：图中所示面积S 表示相应封闭区域的面积，如S 3表示△ABC 的面积）

【考点】勾股定理．

【答案】见试题解答内容

【分析】如图，连接MQ ，作MG ⊥EC 于G ，设PC 交BM 于T ，MN 交EC 于Q ′．证明△ABC ≌△MBQ （SAS ），推出∠ACB ＝∠BQM ＝90°，由∠PQB ＝90°，推出M ，P ，Q 共线，由四边形CGMP 是矩形，推出MG ＝PC ＝BC ，证明△MGQ ′≌△BCT （AAS ），推出MQ ′＝BT ，由MN ＝BM ，NQ ′＝MT ，可证△NQ ′E ≌MTP ，推出S 1+S 5＝S 3＝5．

【解答】解：如图，连接MQ ，作MG ⊥EC 于G ，设PC 交BM 于T ，MN 交EC 于Q ′． ∵∠ABM ＝∠CBQ ＝90°，

∴∠ABC ＝∠MBQ ，

∵BA ＝BM ，BC ＝BQ ，

∴△ABC ≌△MBQ （SAS ），

∴∠ACB ＝∠BQM ＝90°，

∵∠PQB ＝90°，

∴M ，P ，Q 共线，

∴MG＝PC＝BC，

∵∠BCT＝∠MGQ′＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQM+∠CBT＝90°，

∴∠MQ′G＝∠BTC，

∴△MGQ′≌△BCT（AAS），

∴MQ′＝BT，

∵MN＝BM，

∴NQ′＝MT，

∵∠MQ′G＝∠BTC，

∴∠NQ′E＝∠MTP，

∵∠E＝∠MPT＝90°，

则△NQ′E≌MTP（AAS），

∴S1+S5＝S3＝5．

故答案为：5．

25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，3），点A（﹣5，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为（﹣2，﹣4）．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【答案】见试题解答内容

【分析】将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（2，﹣1），取AA′

的中点K（−3

2，−

1

2），直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P．求出直线BK的解析式，

利用方程组确定交点P 坐标即可

【解答】解：将线段BA 绕点B 逆时针旋转90°得到线段BA ′，则A ′（2，﹣1），

取AA ′的中点K （−32，−12），

直线BK 与直线y ＝x ﹣2的交点即为点P ．

设直线PB 的解析式为y ＝kx +b ，

把B （﹣1，3），K （−32，−12）代入得{−k +b =3−32k +b =−12

， 解得{k =7b =10

∵直线BK 的解析式为y ＝7x +10，

由{y =7x +10y =x −2

， 解得{x =−2y =−4

， ∴点P 坐标为（﹣2，﹣4），

故答案为（﹣2，﹣4）．

五、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26．（8分）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣

土清运完毕，每天至少需要清运渣土12720m 3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共80辆．已知每辆大车每天运送渣土200m 3，每辆小车每天运送渣土120m 3

，大、小车每天每辆租车费用分别为1200元，900元，且要求每天租车的总费用不超过85300元．

（1）施工方共有多少种租车方案？

（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？

【考点】一元一次不等式组的应用． 【答案】见试题解答内容

【分析】（1）设大车租x 辆，则小车租（80﹣x ）辆．列出不等式组，求整数解即可解决问题．

（2）设租车费用为w 元，则w ＝1200x +900（80﹣x ）＝300x +72000，利用一次函数的增减性，即可解决问题．

【解答】解：（1）设大车租x 辆，则小车租（80﹣x ）辆．

由题意{200x +120(80−x)≥127201200x +900(80−x)≤85300

， 解得39≤x ≤4413， ∵x 为整数，

∴x ＝39或40或41或42或43或44．

∴施工方共有6种租车方案．

（2）设租车费用为w 元，则w ＝1200x +900（80﹣x ）＝300x +72000，

∵300＞0，

∴w 随x 增大而增大，

∴x ＝39时，w 最小，最小值为83700元．

27．（10分）已知：△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．

（1）如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，过B 作BE ⊥AD 于E ，交AC 于点F ．求证：AD ＝BF ；

（2）如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE ⊥AD ，且AE ＝AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；

（3）如图3，点D 在CB 延长线上，AE ＝AD 且AE ⊥AD ，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若AC ＝3MC ，请直接写出DB BC 的值．

【考点】三角形综合题．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）欲证明BF ＝AD ，只要证明△BCF ≌△ACD 即可；

（3）利用（2）中结论即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

∵BE⊥AD于E，

∴∠AEF＝∠BCF＝90°，

∵∠AFE＝∠CFB，

∴∠DAC＝∠CBF，

∵BC＝CA，

∴△BCF≌△ACD，

∴BF＝AD．

（2）结论：BD＝2CF．

理由：如图2中，作EH⊥AC于H．

∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，

∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，

∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，

∴△ACD≌△EHA，

∴CD ＝AH ，EH ＝AC ＝BC ，

∵CB ＝CA ，

∴BD ＝CH ，

∵∠EHF ＝∠BCF ＝90°，∠EFH ＝∠BFC ，EH ＝BC ，

∴△EHF ≌△BCF ，

∴FH ＝CF ，

∴BD ＝CH ＝2CF ．

（3）如图3中，同法可证BD ＝2CM ．

∵AC ＝3CM ，设CM ＝a ，则AC ＝CB ＝3a ，BD ＝2a ，

∴DB BC =2a 3a =23

． 28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 经过点A （

√32，32）和B （2√3，0），且与y 轴交于点D ，直线OC 与AB 交于点C ，且点C 的横坐标为√3．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）连接OA ，试判断△AOD 的形状；

（3）动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动，运动时间为t 秒，同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动，当点Q 到达点D 时，P ，Q 同时停止运动．设PQ 与OA 交于点M ，当t 为何值时，△OPM 为等腰三角形？求出所有满足条件的t 值．

【考点】一次函数综合题．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b ，即可求解；

（2）由点A 、B 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，故DO 2＝OA 2+AD 2

，即可求解；

（3）点C （√3，1），∠DBO ＝30°，则∠ODA ＝60°，则∠DOA ＝30°，故点C （√3，

1），则∠AOC ＝30°，∠DOC ＝60°，OQ ＝CP ＝t ，则OP ＝2﹣t ．①当OP ＝OM 时，

OQ ＝QH +OH ，即√32（2﹣t ）+12（2﹣t ）＝t ，即可求解；②当MO ＝MP 时，∠OQP ＝90°，故OQ =12

OP ，即可求解；③当PO ＝PM 时，故这种情况不存在．

【解答】解：（1）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{32=√32k +b 0=2√3k +b

，解得：{k =−√33b =2

，

故直线AB 的表达式为：y =−

√33x +2；

（2）直线AB 的表达式为：y =−√33x +2，则点D （0，2），

由点A 、B 、D 的坐标得：AD 2＝1，AO 2＝3，DO 2＝4，

故DO 2＝OA 2+AD 2

，

故△AOD 为直角三角形；

（3）直线AB 的表达式为：y =−√33x +2，故点C （√3，1），则OC ＝2，

则点C是AB的中点，故∠COB＝∠DBO＝30°，则∠AOC＝30°，∠DOC＝60°，OQ＝CP＝t，则OP＝OC﹣PC＝2﹣t，

①当OP＝OM时，如图1，

则∠OMP＝∠MPO=1

2（180°﹣∠AOC）＝75°，故∠OQP＝45°，

过点P作PH⊥y轴于点H，

则OH=1

2OP=

1

2（2﹣t），

由勾股定理得：PH=√3

2（2﹣t）＝QH，

OQ＝QH+OH=√3

2（2﹣t）+1

2（2﹣t）＝t，

解得：t=2√3 3；

②当MO＝MP时，如图2，

则∠MPO＝∠MOP＝30°，而∠QOP＝60°，∴∠OQP＝90°，

故OQ=1

2OP，即t=

1

2（2﹣t），

解得：t=2 3；

③当PO＝PM时，

则∠OMP＝∠MOP＝30°，而∠MOQ＝30°，故这种情况不存在；

综上，t=2

3或

2√3

3

．