指数函数定义域与值域以及单调性

1.形如的函数的定义域是使有意义的的集合.

2.形如的值域都是先求出的值域，再有单调性得出的值域，若，要对进行分类讨论.

例1  求函数的值域 

解：    .

练习： 求下列函数的值域

（1）             （2）                  （3）  

（4）                 （5）

指数函数单调性的应用

一、 幂的大小比较

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；

例1  

  解：构造函数在上是增函数

练习：  比较的大小

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断.

例2  的大小

在轴右侧，底大图高，所以

练2：比较的大小

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较

例3  比较

解：因为所以.又因为在轴右侧，底大图高，所以

练3：比较的大小

（4）对于三个（或三个以上）的幂的大小比较，则应先根据值的大小进行分组，再比较各组数的大小即可.

例4  比较的大小.

解：将分成如下三类：（1）负数；（2）大于0小于1的数；（3）大于1的数        

练4  比较的大小

2、解简单的不等式

对于形如的不等式，解此等不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，则需进行讨论，即=

例1   已知求的取值范围.

解：因为所以在R上是增函数.

所以，解得  所以的取值范围是

练1   已知，求的取值范围.

练案

选择题

1.函数的定义域、值域分别为（   ）

A.定义域是R,值域是R                  B.定义域是R,值域是

C.定义域是R,值域是           D.以上都不对

2.（2013湖北）已知全集为R，集合A=，B= =(  )

A.                            B.   

C.                  D. 

3.下列函数中，值域是的是（   ）

A.       B.      C.     D. 

4.函数的定义域是（   ）

A.     B.     C.      D. 

5.已知，则的大小关系是（  ）

A.  B.  C.    D. 

填空

1.函数的值域为        .

2.函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为        .

3.方程的实数解的个数为         .

4.函数满足，且对任意实数都有则的大小关系是         .

3、大题

1.设是R上的偶函数.

（1）求的值；（2）证明：在上为增函数.