2022年新高考数学模拟试卷(8)

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）已知集合，2，，，3，，则图中阴影部分表示的集合是　　

A．，    B．，3，    C．    D．，2，3，

2．（5分）已知，，对应的复数为，则　　

A．    B．    C．    D．

3．（5分）已知等差数列的前项和为，且，，则的最大值为　　

A．225    B．223    C．221    D．219

4．（5分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是　　

A．    B．    C．    D．

5．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角为　　

A．    B．    C．    D．

6．（5分）设是上的奇函数且满足，当时，，则　　

A．    B．    C．    D．

7．（5分）已知，，，，则的值为　　

A．    B．    C．    D．

8．（5分）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为　　

A．    B．    C．    D．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）若的展开式中含项，则的值可能是　　

A．6    B．9    C．12    D．14

10．（5分）若，，则　　

A．    B．    C．    D．

11．（5分）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为△的内心，若成立，则下列结论正确的有　　

A．当轴时，    B．离心率    

C．    D．点的横坐标为定值

12．（5分）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中　　

A．与是异面直线    

B．与是相交直线    

C．存在内切球，其表面积为    

D．存在外接球，其体积为

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）设，若的概率为0.45，则的概率为　　．

14．（5分）已知椭圆的上、下顶点分别为，，，为椭圆的左、右焦点，且离心率为，则四边形的面积为　　．

15．（5分）已知函数有且仅有3个不同的零点，，且，则　　．

16．（5分）圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是　　．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知中，内角，，的对边分别为，，，，．

（1）求；

（2）若点与点在两侧，且满足，，求四边形面积的最大值．

18．（12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

（2）以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差．

参考公式和数表如下：

，．

（1）求、的坐标；

（2）试求的通项公式；

（3）点、之间的距离记为，是否存在最小的正实数，使得对一切的自然数恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

20．（12分）已知直线与曲线相交于，两点．

（1）当实数为何值时，？

（2）是否存在实数，使得是坐标原点）？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）如图1，正方形，边长为，，分别为，中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中点位置记为，如图2．

（1）求证：；

（2）当时，求半平面与半平面所成二面角的余弦值．

22．（12分）已知函数，，

（1）若函数在点，（1）处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）设，且有两个极值点，，其中，求的最小值（注：其中为自然对数的底数）．

2022年新高考数学模拟试卷（8）

参与试题解析

一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（5分）已知集合，2，，，3，，则图中阴影部分表示的集合是　　

A．，    B．，3，    C．    D．，2，3，

【解答】解：由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，

故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集）

即．

故选：．

2．（5分）已知，，对应的复数为，则　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：，，

，，对应的复数为，

则，

故选：．

3．（5分）已知等差数列的前项和为，且，，则的最大值为　　

A．225    B．223    C．221    D．219

【解答】解：法一：设等差数列的公差，

，，

，，

解得，，，

，

当时，取得最大值225．

法二：设等差数列的公差，

，，

，，

解得，，，

，

时，，

当时，取得最大值且．

故选：．

4．（5分）甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：三个人排成一排的所有情况有：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙乙甲，丙甲乙，共6种，

其中乙在中间有2种，

乙在中间的概率为．

故选：．

5．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角为　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：根据题意，设向量，的夹角为，

若，则，，

若，则，

解可得，

又由，故，

故选：．

6．（5分）设是上的奇函数且满足，当时，，则　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：根据题意，满足，即，

则是周期为2的周期函数，

又由为奇函数，则，

当时，，则，

故，

故选：．

7．（5分）已知，，，，则的值为　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由于，，

所以，

且，，

所以．

所以，，

由于，，

所以，

，

所以．

故选：．

8．（5分）正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由边长为2，可得正八面体上半部分的斜高为，高为，

则其体积为，其表面积为，

所以此正八面体的体积与表面积之比为．

故选：．

二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（5分）若的展开式中含项，则的值可能是　　

A．6    B．9    C．12    D．14

【解答】解：的展开式的通项为，

令，可得，

当时，；当时，；

当时，，故正确答案为，．

故选：．

10．（5分）若，，则　　

A．    B．    C．    D．

【解答】解：由，，得，，

则，，，

故选：．

11．（5分）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为△的内心，若成立，则下列结论正确的有　　

A．当轴时，    B．离心率    

C．    D．点的横坐标为定值

【解答】解：当轴时，，

此时，所以错误；

，，

整理得为双曲线的离心率），

，，所以正确．

设△的内切圆半径为，

由双曲线的定义得，，，，，

，

，

故，所以正确．

设内切圆与、、的切点分别为、、，

可得，．

由，，

可得，可得的坐标为，

即Ⅰ的横坐标为，故正确；

故选：．

12．（5分）佩香囊是端午节传统习俗之一．香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫开窍的功效．因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目．图1的平行四边形由六个边长为1的正三角形构成．将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊．那么在图2这个六面体中　　

A．与是异面直线    

B．与是相交直线    

C．存在内切球，其表面积为    

D．存在外接球，其体积为

【解答】解：折叠后与重合，与重合，

因为与是相交直线，故选项错误，选项正确；

是等边三角形，为的中心，则，

连结，则有平面，

在中，由勾股定理可得，

由对称性可得，，

由于，所以不是外接球的球心，

除点以外的其它点，无法保证到五个顶点，，，，的距离都相等，

故此六面体无外接球，故选项错误；

由对称性，到六个面的距离相等，

故为六面体内切球的球心，

在中，即为内切球的半径，

，

因为，，

所以，

所以，

故，

所以，

故选项正确．

故选：．

三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）设，若的概率为0.45，则的概率为　0.95　．

【解答】解：，正态分布曲线的对称轴为，

，，

则，

．

故答案为：0.95．

14．（5分）已知椭圆的上、下顶点分别为，，，为椭圆的左、右焦点，且离心率为，则四边形的面积为　2　．

【解答】解：椭圆的上、下顶点分别为，，，为椭圆的左、右焦点，

椭圆的离心率为，

可知，，所以，，△等腰直角三角形，

所以四边形的面积为：．

故答案为：2．

15．（5分）已知函数有且仅有3个不同的零点，，且，则　　．

【解答】解：因为函数有且仅有3个不同的零点，，且，

所以有且仅有3个不同的实数根，即有且仅有3个不同的实数根，

令，，则与的图象有且仅有3个不同的公共点，

因为且，所以是的一个零点，

又因为的图象关于点对称，直线恒过定点，

所以，且，

所以．

故答案为：．

16．（5分）圆锥底面半径为10，母线长为40，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是　　．

【解答】解：圆锥的侧面展开图为半径为40，弧长为的扇形，

最短距离为的长．

扇形的圆心角为

．

故答案为：．

四．解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知中，内角，，的对边分别为，，，，．

（1）求；

（2）若点与点在两侧，且满足，，求四边形面积的最大值．

【解答】解：（1）由以及正弦定理可知，

，

即．

，，

，．

，

，可得，可得．

（2）设，由余弦定理，可得，

可得四边形的面积

，（其中，

故四边形面积的最大值为．

18．（12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）

（2）以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差．

参考公式和数表如下：

，．

根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）女生选做几何题的概率为，

记6名女生选做几何题的人数为，则服从二项分布，

根据二项分布的期望公式可得数学期望，

根据二项分布的方差公式可得方差为．

19．（12分）如图，坐标原点，从直线上的一点作轴的垂线，垂足记为，过作的平行线，交直线于点，再从作轴的垂线，垂足记为，依次重复上述过程得到一系列点：，，，，，，，记点的坐标为，，2，3，，，现已知．

（1）求、的坐标；

（2）试求的通项公式；

（3）点、之间的距离记为，是否存在最小的正实数，使得对一切的自然数恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1），即有，，

，，，，

可得，解得，

则，

由，，，

，可得，解得，

；

（2）由，，，，

，可得

，化为，

即为，

可得数列为首项是4，公比为2的等比数列，

则，

可得，；

（3）

，

，

假设存在最小的正实数，使得对一切的自然数恒成立，

可得，故存在这样的，且的最小值为．

20．（12分）已知直线与曲线相交于，两点．

（1）当实数为何值时，？

（2）是否存在实数，使得是坐标原点）？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）联立直线与曲线的方程：，整理可得：，因为由两个交点，所以，

解得：或，

代入直线中可得，或，

所以弦长，

由题意可得，整理可得：，解得或；

所以的值为或；

（2）要使，则由（1）设，则，，

，，，

所以，解得：，

所以．

21．（12分）如图1，正方形，边长为，，分别为，中点，现将正方形沿对角线折起，折起过程中点位置记为，如图2．

（1）求证：；

（2）当时，求半平面与半平面所成二面角的余弦值．

【解答】（1）证明：取中点，连，，，

因为为正方形，所以，，

又，平面，

平面，

所以平面，而平面，

所以．

又，分别为，中点，所以，

所以．

（2）因为，所以为等边三角形，，

又，，即．

解法1：如图建立空间直角坐标系，

则，．

平面法向量，

设平面法向量，

由，，，

记半平面与半平面所成二面角为，则为锐角，所以，

即半平面与半平面所成二面角的余弦值为．

解法2：记半平面与半平面交线为，交于，连接，

因为，平面，平面，

所以平面，

又平面平面，

所以．

又由（Ⅰ）知平面，所以，，

所以，

所以即为半平面与半平面所成二面角的平面角．

中，，

所以．

即半平面与半平面所成二面角的余弦值为．

22．（12分）已知函数，，

（1）若函数在点，（1）处的切线与直线平行，求实数的值；

（2）设，且有两个极值点，，其中，求的最小值（注：其中为自然对数的底数）．

【解答】解：（1），

函数在点，（1）处的切线与直线平行，

（1），

解得；

（2），

由题意得方程的两根分别为，，且，

所以，

则

设，则

当时，恒成立，所以在上单调递减，

所以，即的最小值为．