山西省2016届高三第一学期期末数学试卷(理科)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.

1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（　　）

A．{1，2}    B．{3，4}    C．{1，2，3，4}    D．∅

2．已知复数z=，则|z|等于（　　）

A．1    B．2    C．    D．

3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（　　）

A．p是假命题    B．q是真命题    C．p∧（￢q）是真命题    D．（￢p）∧q是真命题

4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b    C．b＜c＜a    D．c＜b＜a

5．执行如图的程序框图输出的T的值为（　　）

A．4    B．6    C．8    D．10

6．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

8．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．16﹣π    B．16+π    C．16﹣2π    D．16+2π

9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（　　）

A．7    B．8    C．9    D．10

10．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（　　）

A．λ=μ    B．|λ|=|μ|    C．λ=﹣μ    D．λ=1﹣μ

11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（　　）

A．    B．2    C．3    D．

12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（　　）

A．（ln2，+∞）    B．（2ln2，+∞）    C．（﹣∞，ln2）    D．（﹣∞，2ln2）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.

13．（）6的展开式中，常数项为　　　　　　．（用数字作答）

14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是　　　　　　．

15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：

①f（）=；

②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；

③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．

其中所有正确结论的序号是　　　　　　．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1=3，a2+a3=36．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．

18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．

（1）其的值；

（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．

19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示：

（1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．

20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；

（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．

21．函数f（x）=axn（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．

（1）求a的值；

（2）求证：f（x）+lnx≤0；

（3）求证：f（x）＜．

请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．

（1）求证：BE•EF=CE•BF；

（2）求证：FE=FG．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（1）求A，B两点的极坐标；

（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．

[选修4-5：不等式选讲

24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．

（1）求f（x）的最大值；

（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．

2015-2016学年山西省太原市高三（上）期末数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.

1．已知全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，那么（∁UA）∩B=（　　）

A．{1，2}    B．{3，4}    C．{1，2，3，4}    D．∅

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据集合与它的补集关系，利用并集与交集的定义，即可求出结果．

【解答】解：∵全集U=Z，集合A={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，

∴（∁UA）∩B={1，2}．　

故选：A．

2．已知复数z=，则|z|等于（　　）

A．1    B．2    C．    D．

【考点】复数求模．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的公式计算．

【解答】解：∵z==，

∴|z|=1．

故选：A．

3．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（　　）

A．p是假命题    B．q是真命题    C．p∧（￢q）是真命题    D．（￢p）∧q是真命题

【考点】特称命题；全称命题．

【分析】首先，判断命题p和命题q的真假，然后，结合由逻辑联结词“且”、“或”、“非”构成的复合命题的真值表进行判断即可．

【解答】解：对于命题p：

∵x＞0，∴x+≥2=4，

∴命题p为真命题；

对于命题q：

∵对∀x∈R，2x＞0，

∴命题q为假命题，￢q为真命题，

故只有选项C为真命题．

故选：C．

4．设a=30.5，b=log32，c=cos，则（　　）

A．a＜b＜c    B．c＜a＜b    C．b＜c＜a    D．c＜b＜a

【考点】对数值大小的比较；运用诱导公式化简求值．

【分析】利用指数函数、对数函数与三角函数的单调性即可得出．

【解答】解：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=cos＜0，

∴a＞b＞c．

故选：D．

5．执行如图的程序框图输出的T的值为（　　）

A．4    B．6    C．8    D．10

【考点】循环结构．

【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件S≥15，计算输出T的值．

【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=0+0+1=1，T=0+2=2；

第二次运行S=1+2×2+1=6，T=2+2=4；

第三次运行S=6+2×4+1=15≥15，T=4+2=6；

满足条件S≥15，程序终止运行，输出T=6，

故选：B．

6．函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象大致是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数的图象．

【分析】对函数去掉绝对值符号，再结合余弦函数的图象，进而画出函数y=sinx||（0＜x＜π）的图象即可．

【解答】解：∵函数y=sinx||（0＜x＜π），

∴函数y=，

∴根据余弦函数的图象可得其图象为：

故选：B．

7．设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（　　）

A．0    B．1    C．2    D．3

【考点】绝对值三角不等式．

【分析】满足条件的点（x，y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，由此求得a的值．

【解答】解：设点M（a，a）

则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点（x，y）

构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：

令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，

故当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，

即2（1+a）﹣a=5，解得a=3．

故选：D．

8．某几何体三视图如下图所示，则该几何体的表面积为（　　）

A．16﹣π    B．16+π    C．16﹣2π    D．16+2π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，求出底面周长和面积，进而可得该几何体的表面积．

【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个以俯视图为底面的柱体，

底面面积S底=2×2﹣2×=4﹣，

底面周长C=4×1+2××π×2×1=4+π，

由该几何体的高h=2，

故该几何体的侧面积S侧=Ch=8+2π，

故该几何体的表面积S=S侧+2S底=16+π，

故选：B

9．已知函数f（x）=x2﹣ax+b（a＞0，b＞0）有两个不同的零点m，n，且m，n和﹣2三个数适当排序后，即可成为等差数列，也可成为等比数列，则a+b的值为（　　）

A．7    B．8    C．9    D．10

【考点】函数零点的判定定理；二次函数的性质．

【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到m+n=a，mn=b，再由m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于m，n的方程组，求得m，n后得答案．

【解答】解：由题意可得：m+n=a，mn=b，

∵a＞0，b＞0，

可得m＞0，n＞0，

又m，n，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，

可得①或②．

解①得：m=4，n=1；解②得：m=1，n=4．

∴a=5，b=4，

则a+b=9．

故选：C．

10．已知平面内点A，B，O不共线，，则A，P，B三点共线的必要不充分条件是（　　）

A．λ=μ    B．|λ|=|μ|    C．λ=﹣μ    D．λ=1﹣μ

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】利用平面向量共线定理，将用表示出来，再用，将表示出来，进而根据题干信息推出A，B，P三点共线的充要条件．

【解答】解：∵A，B，P三点共线，

∴存在一个数m，满足

∵

∴  即m（）=

∴

∵A，B，O三点不共线

∴m﹣μ=0，m+λ=0  即λ=﹣μ=﹣m

∴A，B，P三点共线的充要条件为λ=﹣μ

∴A，B，P三点共线的必要不充分条件为|λ|=|μ|

故选：B

11．在四面体ABCD中，已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°，AD=BD=3，CD=2，则四面体ABCD的外界球的半径为（　　）

A．    B．2    C．3    D．

【考点】球的体积和表面积．

【分析】设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上，且点N为△ABD的中心．设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD，从而可求DM，MN，进而可求四边形DMON的外接圆的直径，即可求得球O的半径．

【解答】解：设四面体ABCD的外接球球心为O，则O在过△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂线上．

由题设知，△ABD是正三角形，则点N为△ABD的中心．

设P，M分别为AB，CD的中点，则N在DP上，且ON⊥DP，OM⊥CD．

因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD与平面ABD所成角为θ，

∴cosθ=，sinθ=．

在△DMN中，DM==1，DN==．

由余弦定理得MN==．

∴四边形DMON的外接圆的半径OD==．

故球O的半径R=．

故选：D．

12．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜2f′（x）恒成立，且f（ln4）=2，则不等式f（x）＞e的解集是（　　）

A．（ln2，+∞）    B．（2ln2，+∞）    C．（﹣∞，ln2）    D．（﹣∞，2ln2）

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（ln4）=2，求得g（ln4）=1，继而求出答案．

【解答】解：∵∀x∈R，都有2f′（x）＞f（x）成立，

∴f′（x）﹣f（x）＞0，于是有（）′＞0，

令g（x）=，则有g（x）在R上单调递增，

∵不等式f（x）＞，

∴g（x）＞1，

∵f（ln4）=2，

∴g（ln4）=1，

∴x＞ln4=2ln2，

故选：B．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.共20分.

13．（）6的展开式中，常数项为　15　．（用数字作答）

【考点】二项式定理的应用．

【分析】本题是二项式展开式求项的问题，可由给出的式子求出通项表达式Tr+1=（﹣1）r•，令x的次数为0即可．

【解答】解：∵Tr+1=（﹣1）r•，

∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，

故答案为：15．

14．若a＞b＞c，且a+2b+c=0，则的取值范围是　（﹣3，﹣）　．

【考点】不等式的基本性质．

【分析】先将a+2b+c=0变形为b=﹣（a﹣c），代入不等式a＞b，b＞c，得到两个不等关系，解这两个不等式，即可求得a与c的比值关系．

【解答】解：∵a+2b+c=0，

∴a＞0，c＜0，

∴b=﹣（a+c），且a＞0，c＜0

∵a＞b＞c

∴a＞﹣（a+c），即c＞﹣3a，

解得＞﹣3，

将b=﹣（a+c）代入b＞c，得﹣（a+c）＞c，即a＜﹣3c，

解得＜﹣，

∴﹣3＜＜﹣．

故答案为：（﹣3，﹣）．

15．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=f（x）知函数的周期为6，求出f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）的值．

【解答】解：∵f（x+6）=f（x），

∴T=6，

∵当﹣3≤x＜﹣1时，当f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时．f（x）=x，

∴f（1）=1，

f（2）=2

f（3）=f（﹣3）=﹣1，

f（4）=f（﹣2）=0，

f（5）=f（﹣1）=﹣1，

f（6）=f（0）=0，

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1；

f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=336

故答案为：336．

16．如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论：

①f（）=；

②任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4；

③任意x1，x2∈（，π），且x1≠x2，都有＜0．

其中所有正确结论的序号是　①②　．

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】当0≤x≤arctan2时，f（x）=；当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣；当x=时，f（x）=2；当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．即可判断出．

【解答】解：当0≤x≤arctan2时，f（x）==；

当arctan2＜x＜，在△OBE中，f（x）=S矩形OABM﹣S△OME=2﹣=2﹣；

当x=时，f（x）=2；

当＜x≤π﹣arctan2时，同理可得f（x）=2﹣．

当π﹣arctan2＜x≤π时，f（x）=4﹣=4+．于是可得：

①==，正确；

②由图形可得：∀x∈[0，π]），f（x）+f（π﹣x）=4，

因此对任意x∈[0，]，都有f（﹣x）+f（+x）=4，故正确；

③不妨设x1＜x2，则＜0⇔f（x1）＞f（x2），显然不正确．

综上只有：①②正确．

故答案为：①②．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．设数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1=3，a2+a3=36．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q＞0，由于a1=3，a2+a3=36．根据等比数列的通项公式即可得出an．

（2）由于数列{bn}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，当n=1时， =3，解得b1．当n≥2时，可得=2，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1=3，a2+a3=36．

∴3（q+q2）=36，解得q=3．

∴an=3n．

（2）∵数列{bn}对任意的正整数n都有+++…+=2n+1，

∴当n=1时， =3，解得b1=9．

当n≥2时， +++…+=2n﹣1，

∴=2，∴bn=2an=2×3n．

∴bn=．

∴b1+b2+b3+…+b2015=9+2（32+33+…+32015）

=3+

=32016．

18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且c•cosA﹣acosC=b．

（1）其的值；

（2）若tanA，tanB，tanC成等差数列，求的值．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB，整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，利用同角三角函数基本关系式即可得解的值；

（2）利用等差数列的性质可得2tanB=tanA+tanC，设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，解得tanB=3x，由tanB=﹣tan（A+C），可得3x=，解得tanA的值，由题设可知，A为锐角，可求cosA，利用余弦定理即可得解的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）∵c•cosA﹣acosC=b．

∴由正弦定理可得：sinCcosA﹣sinAcosC=sinB=sin（A+C）=（sinAcosC+cosAsinC），…3分

∴整理可得：sinCcosA=5sinAcosC，

∴==…6分

（2）∵tanA，tanB，tanC成等差数列，

∴2tanB=tanA+tanC，

若设tanA=x，由（1）可得tanC=5x，可得：tanB=3x，

∵tanB=﹣tan（A+C），

∴3x=，解得x=，即tanA=，…10分

由题设可知，A最小，一定为锐角，

∴cosA=，

∴=﹣2cosA=﹣…12分

19．已知平行四边形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示：

（1）求证：AB⊥CD；

（2）若M为AD的中点，求二面角A﹣BM﹣C的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（1）推导出AB⊥BD，从而AB⊥面BCD，由此能证明AB⊥CD．

（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BM﹣C的余弦值．

【解答】证明：（1）∵AB=BD，∠A=45°，∴AB⊥BD，

又∵平面ABD⊥平面BCD，且BD是平面ABD与平面BCD的交线，

∴AB⊥面BCD，

∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．

解：（2）以B为原点，在平面BCD中过B作BD的垂线为x轴，

BD为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，

则B（0，0，0），C（1，1，0），

D（0，1，0），A（0，0，1），M（0，），

，

面ABM的法向量为=（1，0，0），

设平面BMC的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，﹣1，1），

cos＜＞===，

观察知二面角A﹣BM﹣C为钝角，

故二面角A﹣BM﹣C的余弦值为﹣．

20．某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．

（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；

（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．

（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．

【解答】（共13分）

解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．

则，．

因为事件A与B相互，

所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．  …

（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．

则．X的可能取值为：0，1，2，3．

．

=．

=．

．

X为分布列为：

21．函数f（x）=axn（1﹣x）（x＞0，n∈N*），当n=﹣2时，f（x）的极大值为．

（1）求a的值；

（2）求证：f（x）+lnx≤0；

（3）求证：f（x）＜．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】（1）求出函数的对数，根据n=2时，f（x）的极大值为，得到f（）=a•×=，解出即可；

（2）问题转化为证xn（1﹣x）+lnx≤0，设g（x）=xn（1﹣x）+lnx，根据函数的单调性证明即可；

（3）求出f（x）的最大值，问题转化为证明：＜，通过取对数结合换元思想以及函数的单调性证明即可．

【解答】解：（1）n=2时，f（x）=ax2（1﹣x），

∴f′（x）=ax（2﹣3x），

令f′（x）=0得：x=0或x=，

∵n=2时，f（x）的极大值为，

故a＞0，且f（）=a•×=，解得：a=1；

（2）要证f（x）+lnx≤0，即证xn（1﹣x）+lnx≤0，

设g（x）=xn（1﹣x）+lnx，定义域是（0，+∞），

则g′（x）=，

∵x＞0，∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）递增，

x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）递减，

∴g（x）的最大值是g（1）=0，∴g（x）≤0成立，命题得证；

（3）∵f（x）=xn（1﹣x），∴f′（x）=nxn﹣1﹣（n+1）xn=（n+1）xn﹣1（﹣x），

显然，f（x）在x=处取得最大值，f（）=，

因此只需证：＜，即证：＜，

两边取对数，原式ln＜﹣，

设t=（0＜t＜1），则n=， =1﹣t，

因此只需证：lnt＜t﹣1即可，

令ω（t）=lnt﹣t+1，∵0＜t＜1，

∴ω′（t）=﹣1＞0，ω（t）在（0，1）递增，

故ω（t）＜ω（1）=0成立，

即lnt＜t﹣1，结论成立．

请在22、23、24三体中任选一题作答，注意：只能做选做给定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]

22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BA，CD的延长线相交于点E，EF∥DA，并与CB的延长线交于点F，FG切⊙O于G．

（1）求证：BE•EF=CE•BF；

（2）求证：FE=FG．

【考点】与圆有关的比例线段．

【分析】（1）圆的内接四边形的性质，平行线的性质，判断△CFE∽△EFB，线段对应成比例，从而证得式子成立．

（2）根据 CFE∽△EFB，可得BE•EF=CF•BF，在根据圆的切线性质可得 FC2=FB•FC，从而证得结论成立．

【解答】证明：（1）∵EF∥DA，∴∠DAE=∠AEF，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠DAE=∠C，∴∠C=∠AEF，

又∠CFE=∠EFB，∴△CFE∽△EFB，∴=，∴BE•EF=CF•BF．

（2）∵CFE∽△EFB，∴=，∴EF•EF=FB•FC，

∵FG切⊙O于G，∴FC2=FB•FC，∴EF•EF=FG2，∴FG=FE．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．

（1）求A，B两点的极坐标；

（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（1）将t=﹣1代入得A，B的坐标，即可得到结论．

（2）求出曲线C2上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．

【解答】解：（1）经t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣，

则A（3，﹣），B（﹣3，），它们的极坐标为A（2，），B（2，）．

（2）曲线C2的极坐标方程为．

平方得ρ2==，

即3ρ2+ρ2sin2θ=12，

即3x2+3y2+y2=12，

即3x2+4y2=12，

即=1．

设P（2cosθ， sinθ），

则|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（sinθ+）2+（2cosθ+3）2+（sinθ﹣）2

=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），

∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，

即|PA|2+|PB|2的最大值是32．

[选修4-5：不等式选讲

24．设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．

（1）求f（x）的最大值；

（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（1）通过讨论x的范围，将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f（x）的最大值即可；

（2）问题转化为，解出即可．

【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|=，

如图示：

，

∴f（x）的最大值是3；

（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，

则，

解得：﹣3≤m≤1．

2016年7月31日