数列基础知识

基础知识梳理

一、数列

1、数列的定义

数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它的有限子集{1,2,3,4，……，n}的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为 通常简记为 ，其中是数列的第n项，也叫通项。

 注意：

1）与是不同的概念，表示数列而表示的是这个数列的第n项

2）数列与集合的区别

集合中元素性质：确定性，无序性，互异性；

数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。

2、数列的通项公式

当一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，就把这个公式叫数列的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。

3、数列的表示方法

数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种：

1）解析法:通项公式和递推公式两种；

2）列表法

3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）

4、数列的分类

(1)有穷数列和无穷数列

(2)单调数列，搬动数列，常数列

5、 

6、等差数列

1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示

定义的表示为：或者

公差可正可负或为零，为零时，数列为常数列。

2）等差数列的通项公式

对于第二个公式要求 是数列中的项即可，也可表示为

3）等差数列的增减性

4）等差中项

任意两个数有且仅有一个等差中项 ，即。

5）等差数列前项和公式（倒序相加法）

第二个公式可整理成，设 则，可看成是关于的二次函数（常数项为0）那么可以得出一下结论：

7、等比数列

1) 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用字母 表示

定义的表示为：或者

公比；当时，数列为常数列。

2）等比数列的通项公式

3）等比数列的增减性

4）等比中项

如果在 中间插入一个数 使 成等比数列，那么叫做的等比中项。

如果是的等比中项，那么 ；只有同号的两个数才有等比中项。

 一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。

5）等比数列前项和公式

等比数列前项和公式的特点：当 可以化为

 ，那么

二、等差数列、等比数列的性质

1.等差数列的性质

(1)若公差 ，此数列为递增数列；若公差，此数列为递减数列；若，此数列为常数列。

(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地若项数为奇数，还等于中间项的2倍。

(3)若 ，

特别地若

此条性质可推广到多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的项数相同。

(4)等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等差数列，但剩下的项不一定是等差数列

(5)等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即 是等差数列。

(6)若数列 和数列是等差数列，则也是等差数列，其中 为常数。

(7)项数为偶数 的等差数列，有

项数为奇数 的等差数列，有

2.等比数列的性质

(1)单调性

(2)有穷等比数列中, 与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项数为奇数，还等于中间项的平方。

(3)若 ，

特别地若

(4) 等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等比数列，但剩下的项不一定是等比数列.

(5) 

(6) 等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列，即 是等比数列。

(7) 若数列 和数列是等比数列，则也是等比数列，其中 为常数。

三、等差数列、等比数列的判断方法

1.等差数列的判定方法

(1)定义法: 

(2)通项公式法: 

(3)中项公式法: 

(4)前n项和公式法: 

2.等比数列的判定方法

(1)定义法: 

(2)通项公式法: 

(3)中项公式法: 

(4)前n项和公式法: